lewitron.pdf

Lewitron – prosta zabawka fizyczna

o nie tak prostej teorii działania

Krzysztof BYCZUK *

Lewitacjąnazywamystan,wktórymciałopozostajewspoczynku,jednocześnie

niemającbezpośredniegokontaktuzżadnyminnymciałem.Osiągnięciestanu

statycznejlewitacjiniejestjednakmożliwe.

Każdywie,żejednoimiennebiegunymagnesówodpychająsię.Wydajesięwięc,

żemożnabyumieścićwystarczającosilnemagnesy,jedennaddrugim,takaby

tennagórzeunosiłsięswobodniewpowietrzubezżadnegobezpośredniego

wsparcia.Doświadczeniejednakpokazuje,żetosięnigdynieudaje:górny

magnesobracasięizostajeprzyciągniętyprzezdolny.

W1842rokuSamuelEarnshawudowodniłzaskakującetwierdzenie:

w pustej przestrzeni nie istnieje żadna statyczna (czyli niezmieniająca się

w czasie) konguracja pól elektrycznych, magnetycznych i grawitacyjnych,

dla której energia potencjalna miałaby lokalne minimum.

Oznaczato,że,niezależnieodsposobuwzajemnegoustawieniaładunków

elektrycznych,dipolimagnetycznychimaswobszarachpomiędzynimi,energia

potencjalnapólniemalokalnegominimum,awięcżadneciałoniebędzie

znajdowałosięwstanierównowagitrwałej.Zpunktuwidzeniamechaniki

Newtonaielektrodynamikiklasycznejstatycznalewitacjaniejestwięcmożliwa.

Zauważmy,żeztwierdzeniaEarnshawawynika,iżstabilnemolekułychemiczne

takżeniepowinnyistnieć.Faktycznie,wyjaśnieniastabilnościmateriinależy

szukaćwmechanicekwantowej.

Rys. 1. Schemat budowy lewitronu.

Zasadnicze elementy to duży magnes

w podstawie oraz magnetyczny bączek.

Bieguny magnesów muszą być przeciwnie

skierowane.

WlatachdziewięćdziesiątychXXwiekupojawiłasięwsprzedażyzabawka

onazwie„lewitron”.Zabawkaskładasięzdużegoisilnegomagnesustałego

wykonanegozmateriałówceramicznychorazmałegobączka,takżewykonanego

zmagnesuosymetriiosiowej.Masabączkawynosiokoło18g.Wzestawie

jestteżkilkapierścieniomasach:3,1,0,4,0,2i0,1g.Dodatkowoznajduje

sięwkomplecieplastikowapłytkaorazwniektórychwersjachmałysilniczek

dowprawieniabączkawruchobrotowy.

Zabawapoleganarozkręceniubączkanapłytceumieszczonejnadmagnesem

stałym.Następnieumiejętnieunosimypłytkęzkręcącymsiębączkiem

domomentu,ażzacznieonsamunosićsięwpolugrawitacyjnym,wirującnad

magnesem.Wtedypłytkęodsuwamy.Wtymstanie lewitacji dynamicznej bączek

pozostajeokoło2do3minut.

Rys. 2. Kolejne etapy wprowadzania bączka w stan dynamicznej lewitacji: i) rozkręcamy bączek

na plastikowej płytce, ii) unosimy płytkę do góry, iii) odsuwamy płytkę, pozostawiając bączek

wirującego w powietrzu.

Uniwersytet Augsburski (Niemcy)

i Uniwersytet Warszawski

Oczywiście,wprowadzeniebączkawstandynamicznejlewitacjiwymagapewnej

wprawy,bardzodokładnegoustawieniamagnesutrwałegowpoziomieoraz

dobraniaciężarubączkazapomocądołączonychpierścieni.Ważneteżjest,aby

bączekwirowałzodpowiedniąprędkościąkątową,anizawolno,anizaszybko.

LewitronzostałwynalezionyiopatentowanyprzezRoyaHarringaw1983roku

wUSA.Teoretycznezrozumienie,jakdziałalewitron,pojawiłosięjednak

dopierow1996roku.

Jak lewitron (nie) działa

Abybączekunosiłsięwpolugrawitacyjnym,musinaniegodziałaćsiła

równoważącaprzyciąganieziemskie.Jednoimiennebiegunymagnesu

wpodstawieiwbączkumusząwięcbyćzwróconeprzeciwniedosiebie,jak

narysunku1.Ponadtogdybybączekniewirował,tonatychmiastodwróciłby

sięispadłnapodstawę.Majednaksporymomentpędu,któryjestzachowany

wczasieruchu,couniemożliwiaprzewróceniesię.

Pozostajejednakproblemzistnieniemrównowagitrwałejtakiegoukładu.

Bardzodobrzetowidać,gdypróbujemydostroićzabawkędodziałania.Przy

nieudanychpróbachzauważamy,żewirującybączekfaktyczniesięnieodwraca

(momentpędujestzachowany),jednak„wypływa”zobszarunadmagnesem

ispadapozapodstawą.

Jeślibączekmamomentmagnetyczny imasę m ,toznajdującsięwpolu

magnetycznymoindukcji B ( r ),którazależyoddanegopunktuwprzestrzeni,

orazwpolugrawitacyjnymonatężeniug,maenergiępotencjalnąrówną

U ( r )= − B ( r )+ m g z,

gdzie z jestwysokościąnadpowierzchniąZiemi.Wpustejprzestrzenipola

magnetyczneigrawitacyjnespełniajątwierdzenieEarnshawa.Możnawykazać,

żeenergiapotencjalnawtymukładziemapunktsiodłowy.Wpewnymkierunku

przyoddalaniusięodpołożeniarównowagi U rośnie,alewinnymmaleje.Nawet

gdybączekznajdziepunktrównowagitrwałejwzdłużjednegokierunku,to

uciekaztegoobszaruwkierunkuprostopadłym,gdyżwzględemniegobyłato

równowaganietrwała.

Jak więc lewitron naprawdę działa

Lewitującybączekwykonujetrzyrodzajeruchów:szybkiruchobrotowywokół

własnejosi,wolniejsząprecesjęosiobrotuorazpowolnyruchśrodkamasy

bączkanaboki.Doświadczalneoszacowaniecharakterystycznychczęstościtych

ruchówdajedlaruchuwirowego f wirowy ≈ 25Hz,dlaprecesji f precesja ≈ 5Hz

idlaruchówbocznych f boczny ≈ 1Hz.Skaleczasowedlatychtrzechrodzajów

ruchusąróżne:

f boczny ≪ f precesja ≪ f wirowy .

Mówimyo separacji skal czasowych wtymukładzie.Upraszczatozagadnienie,

bokażdyztychtrzechruchówmożnaterazrozpatrywaćniezależnie,stosując

przybliżenie adiabatyczne ,wktórymbadającjedentypruchu,zaniedbujesię

ruchypozostałe,znacznieodeńszybszelubwolniejsze.

Bardzoważnymiwielkościamiwfizycesąte,któreniezmieniająsięwczasie,takzwane

wielkościzachowane. Przykładamisąenergia,pędlubmomentpędudlaizolowanegoukładu

fizycznego. Gdyukładniejestizolowanyioddziałujezotoczeniem, np.jedenzparametrów

układuzmieniasięwczasie,wspomnianewielkościniesąjużzazwyczaj zachowane. Gdy

jednakjakiśparametrukładuzmieniasiędużowolniejniżtypoweskaleczasoweinnych

procesówwukładzie,topewneinnewielkościfizycznemogąbyćwprzybliżeniuzachowane.

Takieniezmiennikipowolnychruchównazywamy niezmiennikamiadiabatycznymi .

Jakoprzykładrozważmywahadłomatematyczne, któregodługośćzmieniasiępowoli

wstosunkudookresudrgań,np.ktośpowoliwyciągakulkęzlinkąwgórę.Powolnazmiana

długościwahadłaoznacza, że

l ( t )

d l ( t )

d l ≪

T ,

l/ gokresemjegodrgań.Energia

układu E niejeststała,alemożnawykazać, żewielkości E ( t )

Wahadło o powoli zmieniającej się

długości.

l ( t ), T ( t ) /

l ( t )i E ( t ) T ( t )

sąwprzybliżeniustałe.

gdzie l jestchwilowądługościąwahadła, a T =2

Precesjaosilewitronuzachodziszybciejniżruchnaboki.Efektżyroskopowy

zkoleiwciągłysposóbustawiaośprecesjibączkarównolegledolokalnego

kierunkuzewnętrznegopolamagnetycznego B ( r ).Dziękitemuuśredniony

względemczasumomentmagnetycznybączkajestzawszeustawionyrównolegle

iprzeciwniedozewnętrznegopola,więcsiłymagnetyczneprzeciwdziałają

siłomgrawitacji.Możnasobiewyobrazić,żebączekpowoliporuszasięnaboki,

aszybkaprecesjazawszeznajdujenowąośprecesjidladanegopołożeniabączka.

Rys. 3. Precesja osi bączka wokół

lokalnego kierunku pola magnetycznego.

Woptymalnychwarunkach,czyligdybączekjestwstanielewitacjidynamicznej,

wielkość

B ( r )

jestniezmiennikiemadiabatycznymukładu.Innymisłowy,dlaruchów

dostateczniepowolnychwporównaniuzprecesjąiwirowaniemwielkośćta

jeststaławczasie.Dziękitemuenergiępotencjalnącałegoukładu,którajest

wogólnościfunkcjądługościwektoraindukcjipolamagnetycznego B ikąta,

jakitenwektortworzyzmomentemmagnetycznymbączka ,możnazapisać

jakofunkcjęwyłączniedługościwektoraindukcji B ( r ) , któregodługość B ma

lokalneekstremumitymsamymistniejepunktrównowagitrwałej.Pozostajeto

wzgodziezprzytoczonymnapoczątkutwierdzeniemEarnshawa,gdyżdotyczy

onotylkostatycznychkonfiguracji,anaszukładjestdynamiczny.

AutordziękujezawsparcieDFGSFB484.

Literatura

1. M.V. Berry, Proc. R. Soc. London A 452, 1207 (1996).

2. M.D. Simon, L.O. Heinger i S.L. Ridgway, Am. J. Phys. 65, 286 (1997).

3. T.B. Jones, M. Washizu i R. Gans, J. Appl. Phys. 82, 883 (1997).

4. H.R. Dullin i R.W. Easton, Physica D 126, 1 (1999).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: