Def. Iloczynem kartezjańskim niepustych zbiorów A i B nazywamy zbiór AxB={(a,b):aA, bB}
Def.Zbiorem liczb zespolonych nazywamy zbiór C=IRxIR=IR2 z działaniami: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),
(a,b)*(c,d)=(ac-cd,ad+bc) (a,0)=a, (0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1, (0,1)=i, i2=-1; a,cIR
a*c=(ac,0) a+c=(a+c,0) (a,0)*(c,0)=(ac,0)=ac
(a+0)+(c,0)=(a+c,0)=a+c; (a,b)=a *(1,0)+b*(0,1)=a+Bi
(x,y)=, (c,d)(x,y)*(c,d)=(a,b);(x,y)=(a,b)-(c,d)
(x,y)+(c,d)=(a,b),Z=(a,b)=a+bi; Rez=a-część rzeczywista liczby z, Imz=b- część urojona liczby z; ;
lizba sprzężona do z =a-bi; *z=(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=2; def. Argumentem liczby zespolonej z0
nazywamy taką liczbę rzeczywistą , że sin=, cos= argumentem głównym liczby z nazywamy argument z przedziału
(-, Argi=, Argi=+2k, kZ
Def. Postacią trygonometryczną liczby z=a+bi nazywamy liczbę: gdzie =argz
Tw. Jeżeli:
oraz
to
wnioski
(WZÓRDEMOIVERA):jeżelito
Pierwiastkiem liczb zespolonych:def pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z nazywamy każde rozwiązanie równania wn=z
,
n=+2k, ,
Tw. Wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby
dane są wzorem
W=(cos+isin)
Gdzie k=0,1…,n-1
Funkcja wykładnicza. Def: jeżeli z=x+iy, to
Funkcja ez jest okresowa o okresie 2i; własności:
1)ez1*ez2=ez1+z2 2)ez1/ez2=ez1-z2
3)ez+2i=ez,,4)ez0
Uwaga: dla dowolnej liczby zespolonej z mamy z=nei-postać wykładnicza liczby zespolonej, gdzie=,=argz ;
rei=re0(cos+isin)=r(cos+isin)=z
Logarytmem naturalnym liczby z=nei nazywami każdą z liczb: l nr+i(+2k), k należy do Z, jeżeli =argz, to lnr+i nazywamy logarytmem głownym liczby z i oznaczmy Ln z.
bakusiaa