Całki powierzchniowe.pdf

Lista nr 4

EiT sem.III, studia zaoczne, 2006/07.

Calki powierzchniowe.

1. Obliczyc calki powierzchniowe niezorientowane:

(x 2 +y 2 )dS, gdzieS: p x 2 +y 2 z1,

(8−2z)dS, gdzieS:z= 4− 1 2 x 2 − 1 2 y 2 dlaz>0,

x 2 y 2 dS, gdzieS:z= p R 2 −x 2 −y 2 .

2. Obliczyc calke

(x+y+z)dS, jezeliSjest trojkatem o wierzcholkachA(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),a>0, traktujac

go jako gladki plat powierzchniowy wzgledem plaszczyzny: a)OXY, b)OYZ, c)OXZ.

3. Obliczyc pole plataSokreslonego ponizej:

a)S={z= 2xydlax 2 +y 2 a 2 }

b)S={z=x 2 +y 2 dlax 2 +y 2 a 2 }

c)S={z=x 2 −y 2 dlax 2 +y 2 a 2 }

d)S={z= p x 2 +y 2 dlax 2 +y 2 a 2 }

e)S={z= p 1−x 2 −y 2 dlax 2 +y 2 1}

4. Obliczyc pole tej czesci walcax 2 +z 2 =R 2 , ktora lezy wewnatrz walcax 2 +y 2 =R 2 .

5. Obliczyc pole powierzchni, jaka ze sferyx 2 +y 2 +z 2 =R 2 wycina walecx 2 +y 2 =Rx.

6. Obliczyc calki powierzchniowe zorientowane:

(xdydz+ydzdx+zdxdy)dSpo powierzchni kulix 2 +y 2 +z 2 =R 2 , zorientowanej wewnetrznie,

4 −x 2 −y 2 , ktora lezy w pierwszej

(x 2 dydz+y 2 dzdx+z 2 dxdy)dS, jezeliSjest zewnetrzna czescia paraboloidyz=

osemce przestrzeni.