Zbigniew Baranowski

WYCENA NIERUCHOMOŚCI W PODEJŚCIU DOCHODOWYM

MATEMATYCZNE PODSTAWY WYCENY

Źródła zmiany wartości pieniądza w czasie :

Przyrost wartości kapitału z upływem czasu  jest naturalną  konsekwencją jego udziału w racjonalnym procesie pracy.

Tym samym można stwierdzić, że przyszłej wartości kapitału odpowiada jego mniejsza wartość w  chwili obecnej.

Zmiana wartości pieniądza w czasie spowodowana jest również inflacją, która objawia się wzrostem cen powodowanym nadmierną podażą pieniądza w stosunku do dostępnych na rynku  towarów i usług.

  Podstawowe formuły matematyczne dotyczące przyszłej wartości pieniądza. Oprocentowanie proste i oprocentowanie złożone.

                         PV0 – kapitał początkowy,

                         FV1  - kapitał po upływie jednego roku.

           Wskaźnik R tempa rocznego przyrostu kapitału :

                                         R =

                                             __   ___   

W przypadku depozytu PVo złożonego do banku na 1 rok, przy tempie R rocznego przyrostu (oprocentowaniu rocznym), na koniec roku będziemy dysponowali kwotą FV1 :

FV1 = PV0 + RPV0 = PV0 (1 + R)

  W przypadku pobranego kredytu :

                     Kwota zwrotu = Kwota kredytu + Odsetki od kredytu

Odsetki od kredytu są ceną za udostępnienie określonej kwoty   na określony okres czasu.

Roczne (za 360 dni) odsetki od kredytu =

  =  Kwota kredytu x Roczna ( R ) stopa procentowa  kredytu.

Przy naliczenia odsetek za korzystanie z kredytu w okresie „t” dni,                                                                                                                   

       odsetki  za ten okres  = Kwota kredytu x R

gdzie :  t  -  okres korzystania z kredytu w dniach,

            R -  roczna stopa oprocentowania kredytu,

         360 – długość roku bankowego w dniach.

    Oznaczając przez „r” oprocentowanie kredytu za okres  „t” dni   

  można napisać :             

R = r

Przykład :

Oblicz kwotę zwrotu (KZ) dla kredytu K= 100 000zł. udzielonego na 3 m-ce (90 dni), oprocentowanego stopą roczną   R = 40 %        i spłaconego jednorazowo.

Oprocentowanie za 3 m-ce    r = 40 % =  10% = 0,10

  KZ = 100 000 + 100 000 10% = 100 000(1 + 0,10) = 110 000zł,

  gdzie 100 000 10 % = 10 000 zł.  jest kwotą odsetek za 3 m-ce.       

Gdyby zaistniała potrzeba naliczenia odsetek za okres dłuższy, np. równy  „n” wielokrotności  3 m-cy, który możemy  przyjąć za okres bazowy,  odsetki te można naliczyć wg.  wzoru :

Odsetki = K x (r x n).

Przyjmując dane z Przykładu 1 ale przy założeniu, że kwota zwrotu KZ będzie spłacona jednorazowo po upływie 1 roku, tzn. po  n = 4 okresach bazowych otrzymamy :

KZ = 100 000 + 100 000(0,10 4) =

        = 100 000 (1 +  0,40) = 140 000zł.

Przykład : Oblicz maksymalną roczną R stopę oprocentowania kredytu zaciągniętego na inwestycję wymagającą  bieżącego  zaangażowania 20 tys. zł, która w ciągu 3 m-cy ma przynieść       25 tys. zł. przychodu. Kredyt zostanie spłacony  po 3 m-cach.

         Założenie wstępne : odsetki nie mogą przekroczyć dochodu =

          = 25 000 zł – 20 000 zł = 5 000 zł.

Ponieważ :                                                      

                    Ods. = Kredyt x R , to  R = - R                                                                   

stąd :            

             R = 1 = 100 %

Uogólnionym zapisem wyżej podanych sposobów  naliczania odsetek od kapitału początkowego,  proporcjonalnie do upływu czasu  oraz do wysokości oprocentowania za okres bazowy, jest formuła porocentu prostego :

     FVn  =  PVo  + PVo (r n)  = PVo ( 1  +  r n)

       gdzie :

FVn  -  końcowa wartość kapitału wraz z odsetkami naliczonymi

             za  „n” okresów bazowych,

PVo  -  kapitał początkowy oprocentowany w „n” okresach

             bazowych,

     r  -   wysokość oprocentowania za 1 okres bazowy, wyrażona w 

             liczbie dziesiętnej,

     n  -  liczba okresów bazowych,

       -  symbol mnożenia ;

Łatwo zauważyć, że tempo narastania odsetek w oprocentowaniu prostym ma charakter liniowy,  proporcjonalny do upływu czasu  i oprocentowania odniesionego do określonej jednostki czasu.

                                                                        r                           R

      0                                     t                              1 rok (360 dni)

Oprocentowanie złożone

W oprocentowaniu złożonym odsetki za kolejne okresy bazowe  naliczane są od kapitału początkowego powiększanego o naliczone wcześniej odsetki.

Po upływie 1-szego okresu bazowego :    

FV1 = PV0 + rPV0 = PV0 (1 + r),

Po upływie 2-giego okresu bazowego :

        FV2 = FV1 + rFV1 = FV1(1 + r) = PV0(1 + r)(1 +r) =

       = PV0(1 + r)2

Po upływie n –tego okresu bazowego :

FVn = PV0(1 + r)n    , co wyraża formułę % składanego

Przykład   

Jakim kapitałem FV3 można dysponować po 3 latach,

składając do banku kapitał PV0 = 455 zł przy rocznym  

oprocentowaniu (tempie pomnażania) r = 30 %  /0,30/

Rozwiązanie :  FVn = PV0(1 + r)n

FV3 = 455zł x (1 + 0,30)3 = 455 x 2,197 = 1 000 zł.

FV3  ---------------------------------------------------

                                                                              ∆3 = rFV2

FV2 --------------------------------------------

                                                   ∆2 = rFV1

FV1 -------------------------------

PVo --------------- ∆1=rPVo         

  lata

       0                  1                  2                 3             

                            FV3 = PVo + ∆1  + ∆2  + ∆3

Rodzaje stóp procentowych.

Stopa procentowa nominalna i efektywna stopa procentowa

1.     Stopa procentowa nominalna określa  wysokość oprocentowania kapitału w okresie bazowym. Np. : jeżeli bank oprocentowuje depozyty stopą  20 % w skali roku a odsetki dolicza raz w roku, to roczna stopa procentowa nominalna wynosi 20 % i w takim samym stopniu następuje realny przyrost kapitału.

2.     Efektywna roczna stopa procentowa

    Jeżeli ww. bank, stosując roczną stopę procentową R doliczałby odsetki  

    do kapitału początkowego w okresach śródrocznych, to przyrost kapitału 

    po upływie jednego roku byłby wyższy, tzn. efektywna roczna stopa 

    procentowa byłaby wyższa od stopy procentowej R. 

    Przykład :

Bank podaje, że roczne oprocentowanie depozytów R wynosi 20% przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Jaką efektywną roczną stopę procentową oferuje w ten sposób bank swoim klientom ?

□  20 %     ?

□  21 %     ?

□  21,5 %  ?

    Rozwiązanie :

Efektem oprocentowania depozytu 1 raz w roku byłby 20 % przyrost depozytu tzn. stopa procentowa nominalna byłaby równa stopie efektywnej. Ponieważ bank oprocentowuje depozyty 2 x w roku, doliczając odsetki do depozytu po upływie ½  roku, to efekt takiego oprocentowania wyraża  formuła procentu składanego :

                  FVn  =  PVo(1  +  r)n .

W konkretnym przypadku liczba okresów  oprocentowania „n”  w ciągu roku = 2 a półroczna stopa oprocentowania r=R/2 = 10 %.

Wobec powyższego wysokość depozytu wraz z odsetkami będzie wynosiła : 

Depozyt = PVo(1 + 0,10)2   = 1,21 PVo = (1 + 0,21)PVo    

Oznacza to że Efektywna Roczna Stopa Procentowa (ERSP) = 0,21 = 21%

3.     Realna stopa procentowa

Stopę tę wyodrębniamy przy określaniu bezpiecznych lokat bankowych.

1 + stopa procentowa bezpiecznej lokaty bankowej =

     = (1+ realna stopa procentowa)(1+stopa procentowa inflacji),

Stąd :          

                                      1 + stopa procentowa lokat bankowych   

  1 + realna stopa   =   ---------------------------------------------------  -  1   

                                                    1 + stopa procentowa inflacji

  W przypadku niewielkich stóp procentowych, realną stopę procentową można określić w sposób uproszczony ale z wystarczającą dokładnością, jako różnicę pomiędzy stopą lokat bankowych a stopą inflacji.

Np. : p...