Zagadnienia do Matury Ustnej z Matematyki.doc

Zagadnienia do Matury Ustnej z Matematyki

(profil matematyczno – informatyczny)

1.      Zasada indukcji matematycznej i jej zastosowanie.

Jeżeli twierdzenie T jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n0, i dla każdej liczby naturalnej k ³ n0 prawdziwa jest implikacja: T(k) Þ T(k+1). Twierdzenie T jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n ³ n0.

2.      Styczna do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x0.

y = f(x)        A = (x0,f(x0))

y – f(x0) = f’(x0) × (x – x0)

3.      Dowód: funkcja f(x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie o odciętej x0 = 0.

Mamy wykazać, że nie istnieje pochodna funkcji f(x) = |x|  w punkcie x0 = 0.

              Badamy istnienie granicy funkcji:

                                                          nie istnieje

              Zatem pochodna tej funkcji w punkcie x0 = 0 nie istnieje.

4.      Twierdzenie o trzech ciągach i jego zastosowanie.

Z:     i     

T:

              Zastosowanie:

5.      Wyprowadzanie wzorów na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego (wzory Viete’a)

Jeżeli a ¹ 0 i x1, x2 są pierwiastkami trójmianu y = ax2+bx+c zachodzą związki:

              Dowód:

              Z założenia

              Dla każdej liczby x prawdziwa jest równość:

              ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)

              ax2 + bx + c = ax2 – axx2 – axx1 + ax1x2

              ax2 + bx + c = ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2

Równość ta zachodzi dla każdej wartości x wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy zmiennej x i wyrazy stałe są odpowiednio równe:

b = – a (x1 + x2)  /:a                            c = a x1x2

6.      Definicja funkcji parzystej i nieparzystej i jej zastosowanie w zadaniach.

Funkcja y = f(x) jest parzysta Û

Funkcja y = f(x) jest nieparzysta Û

7.      Wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie.

Okręgi rozłączne zewnętrznie:                            Okręgi przecinające się:

B

B

A

A

|AB| > R + r                                                                      |R – r| < |AB| < R + r             

Okręgi rozłączne wewnętrznie:                            Okręgi współśrodkowe:

A

B

|AB| < |R – r|                                                                       |AB| = 0

Okręgi styczne zewnętrznie:                                          Okręgi styczne wewnętrznie:

B

A

B

A

|AB| = R + r                                                                      |AB| = |R –r| > 0

8.     

C

9.      Twierdzenie sinusów i jego dowód.

γ

γ

C’

α

β

B

A

c

Jeżeli w  Δ ABC, |AB| = c ; |AC| = b ; |BC| = a  

i   |∢CAB|= a  i  |∢ABC|=b  i  |∢ACB|= g   to:

gdzie R to promień okręgu opisanego na Δ ABC.

Dowód:

|∢ACB| = |∢AC’B|  – jako kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku.

Δ ABC’ jest prostokątny bo |∢...