Wykład 23 - Przepływy Potencjalne (cz.1).pdf
(
1004 KB
)
Pobierz
J. Szantyr – Wykład nr 23 – Przepływy potencjalne 1
Jeżeli przepływ płynu jest bezwirowy, czyli wszędzie lub prawie
wszędzie w polu przepływu jest to oznacza, że istnieje
funkcja skalarna , taka że . Przepływ taki
nazywamy przepływem potencjalnym, a funkcję φ nazywamy
potencjałem prędkości.
rot
u
=
0
u
=
grad
J
J
(
x
,
y
,
z
,
t
)
¶
J
¶
J
¶
J
u
x
=
u
y
=
u
z
=
Mamy:
¶
y
¶
z
¶
x
W przypadku przepływu potencjalnego płynu
nieściśliwego równanie zachowania masy
przekształca się w równanie Laplace’a:
2
2
2
¶
R
¶
J
¶
J
¶
J
+
div
(
R
u
)
=
0
®
divgrad
J
=
D
J
=
+
+
=
0
Pierre Laplace
1749 - 1827
2
2
2
¶
t
¶
x
¶
y
¶
z
Równanie Laplace’a jest liniowe, co oznacza, że suma jego rozwiązań
jest również rozwiązaniem. W praktyce więc można składać bardzo
skomplikowane funkcje potencjału, opisujące złożone przepływy, z
funkcji opisujących tzw. przepływy elementarne.
Przepływy potencjalne szczególnie dobrze nadają się do
modelowania matematycznego ruchu płynu w obszarach poza
warstwami przyściennymi i śladami, gdzie wpływ lepkości płynu
na obraz przepływu jest pomijalnie mały. Sposób tworzenia
złożonych przepływów potencjalnych zostanie pokazany na
przykładzie przepływów płaskich (czyli dwuwymiarowych).
¶
J
¶
Y
¶
J
¶
Y
u
x
=
=
u
y
=
=
−
W tym przypadku mamy:
¶
x
¶
y
¶
y
¶
x
gdzie:
gdzie:
J
(
x
,
y
)
- potencjał prędkości
J
(
x
,
y
)
=
C
- linie ekwipotencjalne
- funkcja prądu
Y
(
x
,
y
)
- linie prądu
Y
(
x
,
y
)
=
C
Elementarne przepływy potencjalne
1. Przepływ jednorodny
¶
J
¶
J
u
x
=
a
=
u
y
=
b
=
¶
y
¶
x
Potencjał prędkości:
J
(
x
,
y
)
=
a
×
x
+
b
×
y
=
u
×
x
+
u
×
y
x
y
Linie ekwipotencjalne:
a
u
y
=
−
x
+
C
=
−
x
x
+
C
y
=
−
x
+
C
=
−
x
+
C
b
u
y
Linie prądu:
Funkcja prądu:
u
b
Y
(
x
,
y
)
=
a
×
y
−
b
×
x
=
u
×
y
−
u
×
x
y
y
=
x
+
C
=
x
+
C
x
y
a
u
x
2. Źródło (dodatnie lub ujemne)
Źródło jest punktem osobliwym w polu
przepływu, w którym następuje wypływ płynu
o określonym natężeniu objętościowym Q.
Wypływ ten odbywa się jednakowo we
wszystkich kierunkach. W przypadku źródła
ujemnego (czyli ujścia), płyn dopływa do
źródła i w nim „znika”. Mamy więc:
Q
u
r
=
±
u
Q
=
±
ru
lub:
gdzie:
- prędkość promieniowa
r
r
2
r
¶
J
Q
Q
u
r
=
=
±
®
J
=
±
ln
r
¶
r
2
P
r
2
P
Stałe wartości potencjału
Φ
występują dla stałych wartości promienia
r,
czyli linie ekwipotencjalne są współśrodkowymi okręgami.
W układzie współrzędnych prostokątnych mamy:
Q
y
Q
x
u
=
u
sin
Q
=
u
=
u
cos
Q
=
y
r
x
r
2
2
2
2
2
P
x
+
y
(
)
2
P
(
x
+
y
)
y
gdzie:
Q
=
arctg
x
i dalej mamy:
Q
xdx
Q
ydy
różniczka zupełna
d
J
=
+
2
2
2
2
różniczka zupełna
potencjału:
d
J
=
2
2
+
2
2
2
P
(
x
+
y
)
2
P
(
x
+
y
)
Q
ydx
Q
xdy
różniczka zupełna
funkcji prądu:
d
Y
=
−
2
2
2
2
2
P
(
x
+
y
)
2
P
(
x
+
y
)
i dalej, po scałkowaniu mamy:
1
Q
Q
P
y
Linie prądu są półprostymi
wychodzącymi ze źródła
2
2
J
=
ln
(
x
+
y
)
Y
=
arctg
2
2
P
2
x
Plik z chomika:
rajmundos9
Inne pliki z tego folderu:
Wykład 10 - Stan Naprężenia W Płynie.pdf
(643 KB)
Wykład 11 - Równanie Naviera - Stokesa.pdf
(173 KB)
Wykład 12 - Równanie Zachowania Energii.pdf
(131 KB)
Wykład 13 - Równanie Bilansu Entropii.pdf
(339 KB)
Wykład 14 - Zamknięty Układ Równań Mechaniki Płynów.pdf
(206 KB)
Inne foldery tego chomika:
# Kurs języka angielskiego -1000 godzin nauki PL
# Niemiecki
_ Sieci Instalacje Maszyny
02 Robert Kiyosaki - Kwadrant Przepływu Pieniędzy
03 Robert Kiyosaki - Inwestycyjny Poradnik Bogatego Ojca
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin