Logika rozmyta - podstawy.pdf - Książki Różne techniczne (1111) - ALL_THE_BEST

1 Podstawy logiki

1.1 Zbiór rozmyty

Pojęcie zbioru rozmytego zostało wprowadzone przez L. A. Zadeha w 1965. Celem

wprowadzenia tego pojęcia była chęć modelowania procesów złożonych, w szczególności

obejmujących udział czynnika ludzkiego. W logice klasycznej element może należeć do

zbioru lub do niego nie należeć. Przynależność do zbioru jest więc zdefiniowana funkcją

przyjmującą dwie wartości: 0 lub 1. W odróżnieniu od zbioru klasycznego funkcja

przynależności zbioru rozmytego może przyjmować dowolne wartości ze zbioru <0, 1>.

Taki sposób klasyfikacji jest bardziej zbliżony do ludzkiego procesu myślenia, który jest z

natury mglisty. Wprowadzając pewną dozę niedokładności, zyskujemy odporność

systemu, która umożliwia modelowanie złożonych procesów.

Rysunek 1-1. Przykładowy zbiór klasyczny (nierozmyty) oraz jego funkcja przynale żności.

Rysunek 1-2. Przykładowy zbiór rozmyty wraz z funkcją przynależności.

Stosowanie zbiorów rozmytych w systemach sterownia pozwala na dokładniejsze

odwzorowanie pojęć stosowanych przez ludzi, które często są subiektywne i

nieprecyzyjne. Stopniowe przejście między przynależnością do zbioru a jej brakiem

pozwala nam uniknąć ścisłej klasyfikacji elementów, która często jest niemożliwa.

Logika rozmyta jest w rzeczywistości uogólnieniem logiki klasycznej, podobnie jak liczby

zespolone są uogólnieniem liczb rzeczywistych. Także wiele operacji i definicji

rozmytej i regulatorów

rozmytych

Podstawy logiki rozmytej i regulatorów rozmytych

dotyczących zbiorów rozmytych to proste rozszerzenia definicji znanych z logiki

klasycznej.

1.2 Podstawowe operacje na zbiorach rozmytych

W większości przypadków istnieje wiele możliwości uogólniania operacji na zbiorach

klasycznych na zbiory rozmyte. W niniejszym podrozdziale skupimy się na wybranych

operacjach, które są najczęściej stosowane w regulatorach o logice rozmytej.

1.2.1 Suma zbiorów

Niech zbiory A i B będą podzbiorami rozmytymi zbioru X. Ich suma jest podzbiorem

rozmytym C zbioru X, takim że dla każdego x ˛X:

C(x) = Max[A(x), B(x)] = A(x) B(x)

1.2.2 Iloczyn zbiorów

Niech zbiory A i B będą podzbiorami rozmytymi zbioru X. Ich iloczyn jest podzbiorem

rozmytym C zbioru X, takim że dla każdego x ˛X:

C(x) = Min[A(x), B(x)] = A(x) B(x)

1.2.3 Dopełnienie zbioru

Niech zbiór A będzie podzbiorem rozmytym zbioru X. Dopełnienie zbioru A jest

podzbiorem rozmytym B zbioru X, takim że dla każdego x ˛X:

B(x) = 1 – A(x)

1.3 Wartości lingwistyczne

Zbiór rozmyty często używany jest do określenia znaczenia pojęcia stosowanego w języku

naturalnym. Wyrazy używane do określania różnych wielkości często nie niosą ze sobą

precyzyjnej informacji o wartości. Gdy mówimy na przykład, że jest ciepło , nie mamy na

myśli konkretnej wartości, tylko pewien zakres temperatur. Taki sposób rozumowania

pozwala nam na budowanie zdań typu:

X jest ciepło

gdzie X może oznaczać na przykład temperaturę powietrza

W ten sposób reprezentujemy swoją wiedzę o zjawisku, unikając podawania konkretnych

wartości. W powyższym zdaniu ciepło jest przykładem zmiennej lingwistycznej. Taki

sposób prezentacji umożliwia nam zastosowanie zbiorów rozmytych do przedstawienia

wartości lingwistycznych.

Stosując wartości lingwistyczne, świadomie rezygnujemy z podawania dokładnych

wartości. Określenie ciepło może oznaczać zarówno 20 stopni, jak i 30. Wiedza na temat

temperatury przedstawiona w postaci wartości lingwistycznej nie daje nam pewności co do

jej rzeczywistej wartości, ale wystarcza na przykład do tego, by się odpowiednio ubrać.

Podstawy logiki rozmytej i regulatorów rozmytych

zimno

ciepło

gorąco

-5

temperatura [C]

Rysunek 1-3. Wartości lingwistyczne i odpowiadające im zbiory rozmyte

Łatwo zauważyć, że do zbioru ciepło należy zarówno wartość 20 jak i 30 stopni. Różnica

polega jedynie na różnym stopniu przynależności tych wartości do zbioru. Analogicznie

wartość np. 25 stopni należy jednocześnie do zbioru ciepło , jak i gorąco . Jest to różnica w

stosunku do logiki konwencjonalnej, w której granice zbiorów są zarysowane ostro, i jeżeli

jakaś wartość jest duża to nie może być jednocześnie średnia.

1.4 Regulatory rozmyte

Jednym z typowych zastosowań praktycznych logiki rozmytej jest użycie jej przy

projektowaniu regulatorów. Struktura typowego regulatora rozmytego o dwóch wejściach i

jednym wyjściu przedstawiona jest na rysunku 2.4.

m A11

x 1

m A21

INFERENCJA

(wnioskowanie)

FUZYFIKACJA

(rozmywanie)

m B12

y wyn

DEFUZYFIKACJA

(ostrzenie)

x 2

m Bnn

x*, x* - ostre wartości sygnałów wejściowych

x, x, ...x - stopnie przynależności ostrych wartości

wejściowych do odpowiednich wejściowych zbiorów rozmytych

(y) - wynikowa funkcja przynależności wyjścia

y* - ostra wartość sygnału wyjściowego

wyn

Rysunek 1-4. Struktura przykładowego regulatora rozmytego o 2 wej ściach i jednym wyjściu.

Na wejścia regulatora rozmytego wprowadzone zostają ostre wartości x 1 *, x 2 *.

UWAGA : Od tego momentu gwiazdka przy symbolu wartości oznaczać będzie, iż mamy

do czynienia z wartością ostrą – to znaczy rzeczywistą wartością sygnału przed fuzyfikacją

lub po defuzyfikacji.

1.4.1 Fuzyfikacja

W bloku FUZYFIKACJA przeprowadzana jest operacja rozmywania czyli obliczania

stopnia przynależności do poszczególnych zbiorów rozmytych A i , B j wejść. Aby operację

tę przeprowadzić blok FUZYFIKACJA musi posiadać dokładnie zdefiniowane funkcje

przynależności m Ai (x 1 ), m Bj (x 2 ) do zbiorów rozmytych poszczególnych wejść. Przykład

przedstawiony jest na rysunku 2.5.

(x*)

Podstawy logiki rozmytej i regulatorów rozmytych

m (x)

A 1

A 2

m (x)

B 1

B 2

m A11

m B22

(x*)

m A21

(x*)

m B12

(x*)

Rysunek 1-5. Przykładowe zbiory rozmyte dla sygnałów wejściowych x 1 * i x 2 * wraz z ilustracją

obliczania stopnia przynależności m Ai (x 1 *) i m Bj (x 2 *) sygnałów do poszczególnych zbiorów.

Obliczone i podane na wyjściu bloku FUZYFIKACJA wartości stopni przynależności

m Ai (x 1 *), m Bj (x 2 *) informują o tym, jak wysoka jest przynależność ostrych wartości wejść

x 1 *, x 2 * do poszczególnych zbiorów rozmytych wejść, tzn. na przykład jak bardzo

wartości te są małe (A 1 , B 1 ) lub duże (A 2 , B 2 ).

x 1

x 2

1.4.2 Inferencja

Blok INFERENCJA oblicza na podstawie wejściowych stopni przynależności m Ai (x 1 ),

m Bj (x 2 ) tzw. wynikową funkcję przynależności m wyn (y) wyjścia regulatora. Funkcja ta ma

często złożony kształt, a jej obliczanie odbywa się w drodze tzw. inferencji

(wnioskowania), która może być matematycznie zrealizowana na wiele sposobów. Aby

przeprowadzić obliczenia inferencyjne blok INFERENCJA musi zawierać następujące,

ściśle zdefiniowane elementy:

• bazę reguł,

• mechanizm inferencyjny,

• funkcje przynależności wyjścia y modelu.

Baza reguł zawiera reguły logiczne określające zależności przyczynowo-skutkowe

istniejące w systemie pomiędzy zbiorami rozmytymi wejść i wyjść. Przykładowo, baza

reguł może mieć postać:

reguła 1: JEŚLI (x=A) I (x=B) TO (y=C)

reguła 2: JEŚLI (x=A) I (x=B) TO (y=C)

reguła 3: JEŚLI (x=A) LUB (x=B) TO (y=C)

przesłanki operator konkluzja

Rysunek 1-6. Przykładowa baza reguł regulatora rozmytego.

Przykładowe zbiory rozmyte wejść (A 1 – mały, A 2 – duży) zdefiniowane są na rysunku

2.5, a zbiory rozmyte wyjścia (C 1 – mały, C 2 – średni, C 3 – duży) zdefiniowane są na

rysunku 2.7.

(x*)

Podstawy logiki rozmytej i regulatorów rozmytych

m (y)

C 1

C 2

C 3

Rysunek 1-7. Przykładowe zbiory rozmyte wyjścia: C 1 - mały, C 2 - średni, C 3 - duży.

Mechanizm inferencyjny realizuje zadanie bloku INFERENCJA, tzn. obliczanie

wynikowej funkcji przynależności m wyn (y). Składa się on z następujących części:

1. Części, która na podstawie stopni spełnienia przesłanek poszczególnych reguł z

uwzględnieniem wykorzystywanych w nich operatorów (I albo LUB) oblicza

stopień aktywizacji konkluzji reguł.

2. Części określającej wynikową postać funkcji przynależności wyjścia m wyn (y) na

podstawie stopni aktywizacji konkluzji poszczególnych reguł.

Mając daną funkcję przynależności wyjścia m wyn (y) regulator może obliczyć ostrą wartość

wyjściową y*. Operację tę realizuje blok DEFUZYFIKACJA.

WSKAZÓWKA : Przykład obliczania wynikowej funkcji przynależności został

przedstawiony w punkcie 1.6.4.

UWAGA : Stopnie aktywacji konkluzji poszczególnych reguł mogą być dodatkowo

modyfikowane za pomocą tzw. wag. Operacja taka polega na mnożeniu odpowiednich

stopni konkluzji przez ustalone wcześniej współczynniki. Stanowi to pewne wzbogacenie

mechanizmu inferencji i daje dodatkowe możliwości regulacji parametrów regulatora.

Chociaż wagi nie są używane w typowych zastosowaniach logiki rozmytej,

zdecydowaliśmy się uwzględnić je w naszym regulatorze w celach badawczych.

1.5 Defuzyfikacja

Przez defuzyfikację zbioru rozmytego scharakteryzowanego wyjściową funkcją

przynależności m wyn (y) uzyskaną w wyniku inferencji należy rozumieć operację określania

ostrej wartości y*, reprezentującej ten zbiór w sposób jak najbardziej "sensowny".

Oczywiście mogą istnieć różne kryteria oceny sensowności reprezentanta y* zbioru

rozmytego. O ilości tych kryteriów świadczy ilość metod defuzyfikacji, z których

najbardziej znane to:

• Metoda środka maksimum ( Middle of Maxima )

• Metoda pierwszego maksimum ( First of Maxima )

• Metoda ostatniego maksimum ( Last of Maxima )

• Metoda środka ciężkości ( Center of Gravity )

• Metoda wysokości ( Height Method )

Wszystkie te metody zostały zaimplementowane w programie dla sterownika PLC, zostaną

więc opisane szerzej w kolejnych paragrafach.

Logika rozmyta - podstawy.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: