prcenty_podwyzki_i_obnizki_wielokrotne.pdf

Kilkukrotne podwyższanie i obniżanie

liczby o różne procenty

Przedmowa

Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozu-

mieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona dla gimnazjalistów oraz osób starszych

które chcą sobie przypomnieć wszystko na ich temat. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione „na

chłopski rozum” z zachowaniem poprawności matematycznej.

Pełną wersję dotyczącą procentów i promili znajdziesz tu:

http://matematyka.strefa.pl/procenty_i_promile.pdf

Swoje uwagi możesz napisać na: matematyka@amorki.pl

Spis tematów

1. Kilkukrotne procentowe podwyższanie lub obniżanie liczby. .................................................................................... 2

— podwyższanie liczby o różne procenty ............................................................................................................... 2

— obniżanie liczby o różne procenty ...................................................................................................................... 4

— naprzemienne obniżanie lub podwyższanie liczby o różne procenty ................................................................. 5

— obliczanie liczby która po podwyżkach i obniżkach procentowych da ustaloną liczbę ...................................... 9

— obliczanie niewiadomej podwyżki lub obniżki procentowej ............................................................................. 11

— obliczanie o ile procent liczba końcowa jest wyższa lub niższa od liczby początkowej .................................... 20

Wersja z dnia: 27.09.2011 http://matematyka.strefa.pl Procenty — strona 1

Jak oblicza ć cen ę produktu po wielokrotnej podwy ż ce lub obni ż ce o zadany procent? Jak wykonuje si ę dwukrotne i trzykrotne podwy ż szanie i obni ż anie ceny towaru o wskazany procent? Znajdziesz tu zadana i ć wiczenia na kilkukrotne podwy ż ki i obni ż ki procentowe. Jest pokazane tak ż e jak znale źć liczb ę (cen ę towaru) je ś li wiadomo o ile procent nast ą piła obni ż ka lub podwy ż ka. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie z matematyki do gimnazjum.

Temat: Kilkukrotne procentowe podwyższanie i obniżanie liczby.

Do tej pory pokazywałem w jaki sposób zwiększa lub pomniejsza się liczbę o zadany procent. Teraz pokażę Ci jak

szybko można obliczyć wynik końcowy jeśli będzie kilka obniżek lub kilka podwyżek lub trochę obniżek trochę pod-

wyżek. Stosowanie proporcji do tego typu zadań zupełnie się nie nadaje, bo obliczanie wyniku za ich pomocą choć

jest poprawne to strasznie czasochłonne. Pokażę Ci oczywiście tę czasochłonność, ale główny nacisk położę na sto-

sowanie najszybszego sposobu, a nie tego z proporcjami proponowanego przez wielu nauczycieli w szkołach.

Podwyższanie liczby o różne procenty

Bierzmy się więc do roboty. Przypuśćmy, że coś kosztuje 800 zł i że sklep cenę tego czegoś podnosi o 10% potem

o 20% tej nowej wartości, a następnie jeszcze o 15% poprzedniej wartości. Jak szybko obliczyć cenę końcową tego

produktu po tych 3-ch podwyżkach? W oparciu o sposoby pokazane na stronie 47 (pełnej wersji) masz takie oblicze-

nia:

Sposób 1

Sposób 2

Obliczasz ile wynosi 10% z 800 zł , czyli o ile złotych

podniesiono cenę za pierwszym razem.

10%

Zapisujesz sposób 1 w postaci jednego działania:

[ ( 800 zł + 10%

800 zł

z liczby

)+ 20% z liczby

( 800 zł + 10%

800 zł

z liczby

) ] +

z liczby

800 zł = 0,1⋅800 zł = 80 zł

+ 15% z liczby

[ ( 800 zł + 10%

800 zł

z liczby

)+ 20% z liczby

( 800 zł + 10%

800 zł

z liczby

) ] =

Obliczasz cenę po pierwszej podwyżce.

800 zł + 80 zł = 880 zł

= [ 800 zł+80 zł +20%⋅ 800 zł+80 zł ]+15%⋅(800 zł+80 zł+20%⋅ 800 zł+80 zł =

= 880 zł+20%⋅880 zł+15%⋅ 880 zł+20%⋅880 zł = 880 zł+176 zł+15%⋅ 880 zł+176 zł =

Obliczasz ile wynosi 20% z powyższej liczby, czyli o ile

złotych podniesiono cenę za drugim razem.

20%

z liczby

880 zł

= 0,2⋅880 zł = 176 zł

= 880 zł+176 zł+15%⋅1056 zł = 1056 zł+158,40 zł = 1214,40 zł

Obliczasz cenę po drugiej podwyżce.

880 zł+176 zł = 1056 zł

Brrr. Aż wstrętu można się nabawić do matematyki jak się widzi takie obliczenia.

Obliczasz ile wynosi 15% z powyższej liczby, czyli o ile

złotych podniesiono cenę za trzecim razem.

Sposób 3

15%

z liczby

1056 zł

= 0,15⋅1056 zł = 158,40 zł

800 zł⋅ 110%

⋅ 120%

⋅ 115%

= 1214,40 zł

Obliczasz cenę po trzeciej podwyżce.

i od razu masz cenę końcową. Szybko i sprawnie. Zastanawiasz się skąd się wzięło np. 110%? Otóż liczbę wyjściową

(w tym przypadku 800 zł) zawsze przyjmujesz za 100%. Zwiększając ją o 10% dostaniesz 110% tej liczby. Zgadza

się? A skąd się wzięło 120%? Bo druga podwyżka była o 20%. Dlaczego pod liczbą 110% jest napisane 1,1? Bo za-

miana procentów na ułamek dziesiętny polega na przesunięciu przecinka o 2 miejsca w lewo i skasowaniu symbo-

lu % (ostatniego zera za przecinkiem można nie pisać).

1056 zł+158,40 zł = 1214,40 zł

A teraz zobacz sposób wykorzystujący proporcję (uwielbianą przez wielu nauczycieli w szkołach). Będzie ona robiona

dokładnie w takich samych etapach jak powyższy sposób 1.

Wersja z dnia: 27.09.2011 http://matematyka.strefa.pl Procenty — strona 2

Sposób 4

Obliczasz ile wynosi 10% z 800 zł , czyli o ile złotych pod-

niesiono cenę za pierwszym razem. Wypisujesz w po-

prawny sposób dane z zadania:

Obliczasz ile wynosi 20% z obliczonej w poprzednim eta-

pie liczby, czyli o ile złotych podniesiono cenę za drugim

razem. Wypisujesz w poprawny sposób dane z zadania:

Obliczasz ile wynosi 15% z obliczonej w poprzed-

nim etapie liczby, czyli o ile złotych podniesiono

cenę za trzecim razem. Wypisujesz dane:

100% — 800 zł

10% —

100% — 880 zł

20% —

100% — 1056 zł

15% —

Układasz proporcję:

100%

Układasz proporcję:

100%

Układasz proporcję:

100%

10% = 800 zł

20% = 880 zł

15% = 1056 zł

Skracasz symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 10 (przez 10).

Skracasz symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 20 (przez 20).

Skracasz symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 15

(przez 5).

1 = 800 zł

1 = 880 zł

3 = 1056 zł

Mnożysz po skosie.

10 = 800 zł /: 10

5 = 880 zł /: 5

20 = 3168 zł /: 20

= 80 zł

= 176 zł

= 158,40 zł

Obliczasz cenę po pierwszej podwyżce.

Obliczasz cenę po drugiej podwyżce.

Obliczasz cenę po trzeciej podwyżce.

1056 zł+158,40 zł = 1214,40 zł

800 zł + 80 zł = 880 zł

880 zł+176 zł = 1056 zł

Jak widzisz, każdy ze sposobów dał ten sam wynik, choć czas spędzony na obliczenia był bardzo zróżnicowany. Po-

trafisz sobie wyobrazić ile miejsca oraz czasu potrzeba byłoby na obliczenia sposobem 4-tym gdyby takich podwyżek

było np. 9? Jeśli tak, to teraz wyobraź sobie ile miejsca oraz czasu potrzeba byłoby na te same obliczenia sposobem

3-cim. Jeśli nie wiesz, to Ci podpowiem — jedną linijkę (ok. 1 minuty na obliczenia). Teraz widzisz przewagę sposobu

3 nad sposobem 4? Jeśli tak, to nie dziw się, dlaczego wszędzie poniżej będę uparcie stosować tylko sposób 3.

Ćwiczenie: Cenę samochodu kosztującego 100000 zł najpierw podniesiono o 8%, potem tę powiększoną cenę

zwiększono o 6%, a następnie jeszcze o 10% i o 2%. Jak na postawie przedstawionego wyżej sposobu 3

zapisać działanie wyliczające cenę końcową tego samochodu? [Odp. 100000 zł⋅108%⋅106%⋅110%⋅102%.]

Ćwiczenie: Cenę roweru kosztującego 4000 zł najpierw podniesiono o 2%, potem tę powiększoną cenę zwiększono

o 3%, a następnie jeszcze o 5%. Jak na postawie przedstawionego wyżej sposobu 3 zapisać działanie

wyliczające cenę końcową tego roweru? [Odp. 4000 zł⋅102%⋅103%⋅105%.]

Ćwiczenie: Cenę zabytkowego pianina kosztującego 8000 zł najpierw podniesiono o 4,8%, potem tę powiększoną

cenę zwiększono jeszcze o 6,5%. Jak na postawie przedstawionego wyżej sposobu 3 zapisać działanie

wyliczające cenę końcową tego pianina? [Odp. 8000 zł⋅104,8%⋅106,5%.]

Ćwiczenie: Cenę domu luksusowego samochodu kosztującego 600000 zł najpierw podniesiono o 12% jego warto-

ści, potem tę powiększoną cenę zwiększono jeszcze o 4% tej ceny, a po kilku miesiącach zwiększono

jeszcze o 1,6% ostatniej ceny. Ile wynosi cena końcowa tego samochodu? [Podpowiedź. Aby zamienić procenty na

ułamki dziesiętne wystarczy przesunąć przecinek o 2 miejsca w lewo. Odp. 710062,08 zł.]

Ćwiczenie: Cenę książki kosztującej 91 zł najpierw podniesiono o 7,1% jej ceny, potem tę powiększoną cenę zwięk-

szono jeszcze o 3,1% jej ceny, a po 2 miesiącach dodatkowo zwiększono ją jeszcze o 9% jej ceny. Ile

wynosi cena końcowa tej książki? [Podpowiedź. Zastosuj sposób 1. Cenę książki po każdej podwyżce zaokrąglij do 1 gr. Odp. 109,53 zł.]

Ćwiczenie: Cenę bułki kosztującej 88 gr najpierw podniesiono o 4% jej ceny, potem tę powiększoną cenę zwięk-

szono jeszcze o 2% jej ceny, a następnie jeszcze o 15% jej ceny. Ile złotych kosztuje ta bułka po tych

trzech podwyżkach? [Podpowiedź. Zastosuj sposób 1. Cenę bułki po każdej podwyżce zaokrąglij do 1 gr. Odp. 1,08 zł.]

Ćwiczenie: Na 8 sesjach Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie cena akcji firmy X codziennie drożała od-

powiednio o: 2,46%; 1,00%; 3,16%; 5,04%; 6,04%; 0,52%; 0,8%; 4,05%. Ile wynosi cena tej akcji po tych

8 sesjach, jeśli 8 sesji wcześniej była ona warta 5,46 zł? [Podpowiedź. Pamiętaj o każdorazowym zaokrąglaniu jej nowej ceny do

1 grosza. Odp. 6,84 zł.]

Wersja z dnia: 27.09.2011 http://matematyka.strefa.pl Procenty — strona 3

Obniżanie liczby o różne procenty

Przypuśćmy, że coś kosztuje 800 zł i że sklep cenę tego czegoś obniżył o 10% potem o 20% tej nowej wartości, a na-

stępnie jeszcze o 15% poprzedniej wartości. Jak szybko obliczyć cenę końcową tego produktu po tych 3-ch obniż-

kach? W oparciu o sposoby pokazane na stronie 39 (pełnej wersji) masz takie obliczenia:

Sposób 1

Sposób 2

Obliczasz ile wynosi 10% z 800 zł , czyli o ile złotych ob-

niżono cenę za pierwszym razem.

Zapisujesz sposób 1 w postaci jednego działania:

[ ( 800 zł − 10%

800 zł

z liczby

)− 20% z liczby

( 800 zł − 10%

800 zł

z liczby

) ] −

10%

z liczby

800 zł = 0,1⋅800 zł = 80 zł

− 15% z liczby

[ ( 800 zł − 10%

800 zł

z liczby

)− 20% z liczby

( 800 zł − 10%

800 zł

z liczby

) ] =

Obliczasz cenę po pierwszej obniżce.

800 zł − 80 zł = 720 zł

Obliczasz ile wynosi 20% z powyższej liczby, czyli o ile

złotych obniżono cenę za drugim razem.

= 800 zł−80 zł −20%⋅ 800 zł−80 zł −15%⋅(800 zł−80 zł−20%⋅ 800 zł−80 zł =

= 720 zł−20%⋅720 zł−15%⋅ 720 zł−20%⋅720 zł = 720 zł−144 zł−15%⋅ 720 zł−144 zł =

20%

z liczby

720 zł

= 0,2⋅720 zł = 144 zł

= 720 zł−144 zł−15%⋅576 zł = 576 zł−86,40 zł = 489,60 zł

Obliczasz cenę po drugiej obniżce.

Brrr. Aż wstrętu można się nabawić do matematyki jak się widzi takie obliczenia.

720 zł−144 zł = 576 zł

Obliczasz ile wynosi 15% z powyższej liczby, czyli o ile

złotych obniżono cenę za trzecim razem.

Sposób 3

15%

z liczby

576 zł

= 0,15⋅576 zł = 86,40 zł

800 zł⋅ 90%

⋅ 80%

⋅ 85%

= 489,60 zł

Obliczasz cenę po trzeciej obniżce.

i od razu masz cenę końcową. Szybko i sprawnie. Zastanawiasz się skąd się wzięło np. 90%? Otóż liczbę wyjściową

(w tym przypadku 800 zł) zawsze przyjmujesz za 100%. Pomniejszając ją o 10% dostaniesz 90% tej liczby. A skąd

się wzięło 80%? Ano stąd, że druga obniżka była o 20%. Odejmując od 100% wysokość drugiej obniżki, dostaniesz

80%. Zgadza się? Tak samo z 3-cią obniżką. Dlaczego pod liczbą 90% jest napisane 0,9? Bo zamiana procentów na

ułamek dziesiętny polega na przesunięciu przecinka o 2 miejsca w lewo i skasowaniu symbolu % (ostatniego zera

za przecinkiem można nie pisać).

576 zł−86,40 zł = 489,60 zł

A teraz zobacz sposób wykorzystujący proporcję (uwielbianą przez wielu nauczycieli w szkołach). Będzie ona robiona

dokładnie w takich samych etapach jak powyższy sposób 1.

Sposób 4

Obliczasz ile wynosi 10% z 800 zł , czyli o ile złotych obni-

żono cenę za pierwszym razem. Wypisujesz w poprawny

sposób dane z zadania:

Obliczasz ile wynosi 20% z obliczonej w poprzednim eta-

pie liczby, czyli o ile złotych obniżono cenę za drugim ra-

zem. Wypisujesz w poprawny sposób dane z zadania:

Obliczasz ile wynosi 15% z obliczonej w poprzed-

nim etapie liczby, czyli o ile złotych obniżono cenę

za trzecim razem. Wypisujesz dane:

100% — 800 zł

10% —

100% — 720 zł

0% —

100% — 576 zł

15% —

Układasz proporcję:

100%

Układasz proporcję:

100%

Układasz proporcję:

100%

10% = 800 zł

20% = 720 zł

15% = 576 zł

Skracasz symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 10 (przez 10).

Skracasz symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 20 (przez 20).

Skracasz symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 15

(przez 5).

1 = 800 zł

1 = 720 zł

3 = 576 zł

Mnożysz po skosie.

10 = 800 zł /: 10

Mnożysz po skosie.

5 = 720 zł /: 5

20 = 1728 zł /: 20

= 80 zł

Obliczasz cenę po pierwszej obniżce.

= 144 zł

Obliczasz cenę po drugiej obniżce.

= 86,40 zł

Obliczasz cenę po trzeciej podwyżce.

576 zł−86,40 zł = 489,60 zł

800 zł − 80 zł = 720 zł

720 zł−144 zł = 576 zł

Jak widzisz, każdy ze sposobów dał ten sam wynik, choć czas spędzony na obliczenia był bardzo zróżnicowany. Po-

trafisz sobie wyobrazić ile miejsca oraz czasu potrzeba byłoby na obliczenia sposobem 4-tym gdyby takich obniżek

było np. 9? Jeśli tak, to teraz wyobraź sobie ile miejsca oraz czasu potrzeba byłoby na te same obliczenia sposobem

3-cim. Jeśli nie wiesz, to Ci podpowiem — jedną linijkę (ok. 1 minuty na obliczenia). Teraz widzisz przewagę sposobu

3 nad sposobem 4? Jeśli tak, to nie dziw się, dlaczego wszędzie poniżej będę uparcie stosować tylko sposób 3.

Wersja z dnia: 27.09.2011 http://matematyka.strefa.pl Procenty — strona 4

Ćwiczenie: Cenę samochodu kosztującego 100000 zł najpierw obniżono o 8%, potem tę pomniejszoną cenę obni-

żono o 6%, a następnie jeszcze o 10% i o 2%. Jak na postawie przedstawionego wyżej sposobu 3 zapi-

sać działanie wyliczające cenę końcową tego samochodu? [Odp. 100000 zł⋅92%⋅94%⋅90%⋅98%.]

Ćwiczenie: Cenę roweru kosztującego 4000 zł najpierw obniżono o 2%, potem tę pomniejszoną cenę obniżono

o 3%, a następnie jeszcze o 5%. Jak na postawie przedstawionego wyżej sposobu 3 zapisać działanie

wyliczające cenę końcową tego roweru? [Odp. 4000 zł⋅98%⋅97%⋅95%.]

Ćwiczenie: Cenę zabytkowego pianina kosztującego 8000 zł najpierw obniżono o 4,8%, potem tę pomniejszoną

cenę obniżono jeszcze o 6,5%. Jak na postawie przedstawionego wyżej sposobu 3 zapisać działanie wy-

liczające cenę końcową tego pianina? [Odp. 8000 zł⋅95,2%⋅93,5%.]

Ćwiczenie: Cenę domu luksusowego samochodu kosztującego 600000 zł najpierw obniżono o 12% jego wartości,

potem tę pomniejszoną cenę obniżono jeszcze o 4% tej ceny, a po kilku miesiącach obniżono jeszcze

o 1,6% ostatniej ceny. Ile wynosi cena końcowa tego samochodu? [Podpowiedź. Aby zamienić procenty na ułamki dzie-

siętne wystarczy przesunąć przecinek o 2 miejsca w lewo. Odp. 498769,92 zł.]

Ćwiczenie: Cenę książki kosztującej 91 zł najpierw obniżono o 7,1% jej ceny, potem tę pomniejszoną cenę obniżo-

no jeszcze o 3,1% jej ceny, a po 2 miesiącach dodatkowo obniżono ją jeszcze o 9% jej ceny. Ile wynosi

cena końcowa tej książki? [Podpowiedź. Zastosuj sposób 1. Cenę książki po każdej podwyżce zaokrąglij do 1 gr. Odp. 74,55 zł.]

Ćwiczenie: Cenę bułki kosztującej 88 gr najpierw obniżono o 4% jej ceny, potem tę pomniejszoną cenę obniżono

jeszcze o 2% jej ceny, a następnie jeszcze o 15% jej ceny. Ile złotych kosztuje ta bułka po tych trzech

podwyżkach? [Podpowiedź. Zastosuj sposób 1. Cenę bułki po każdej podwyżce zaokrąglij do 1 gr. Odp. 0,70 zł.]

Ćwiczenie: Siostra pani Bogusi w pierwszych 2 tygodniach poprzedniego miesiąca sprzedała 40% sprowadzonego

do swojego sklepu towaru. W następnych 2 tygodniach sprzedała jeszcze 80% tego towaru który pozo-

stał. Jaki procent sprowadzonego towaru pozostał pani Marysi na koniec poprzedniego miesiąca?

[Odp.: 12%.]

Ćwiczenie: Na 8 sesjach Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie cena akcji firmy X, zakupionych przez pana

Czesława codziennie spadała odpowiednio o: 2,46%; 1,00%; 3,16%; 5,04%; 6,04%; 0,52%; 0,8%; 4,05%.

Ile wynosi obecnie ich cena jednostkowa, jeśli pan Czesław kupował je po 5,46 zł za sztukę? [Podpowiedź.

Pamiętaj o każdorazowym zaokrąglaniu jej nowej ceny do 1 grosza. Odp. 4,32 zł.]

Naprzemienne obniżanie lub podwyższanie liczby o różne procenty

Zakładam, że w oparciu o sposób 3 umiesz już podwyższać wielokrotnie cenę o podane procenty oraz wielokrotnie

ją obniżać. Dla formalności przypomnę tylko, że:

— liczbę wyjściową (np. cenę produktu) przyjmujesz zawsze za 100%,

— jeśli zwiększasz liczbę np. o 8% jej wartości, to mnożysz tę liczbę przez 108% czyli przez 1,08

— jeśli zmniejszasz liczbę np. o 8% jej wartości, to mnożysz tę liczbę przez 92% czyli przez 0,92.

W poprzednich podtematach zadania były takie, że albo konsekwentnie występowały podwyżki, albo konsekwent-

nie obniżki. W tym podtemacie będziesz mieć trochę podwyżek trochę obniżek, ale sposób postępowania jest do-

kładnie taki sam jak w sposobie 3 (strony: 36, 47 w pełnej wersji tego opracowania).

Przypuśćmy, że coś kosztuje 380 zł i że sklep cenę tego czegoś najpierw obniżył o 10% wartości, potem tę pomniej-

szoną cenę podniósł o 30% jej wartości, a następnie ponownie obniżył, ale o 20% . Jak szybko obliczyć cenę końcową

tego produktu po tych 3-ch obniżkach? W oparciu o sposoby nr 3 pokazane na stronach 39 oraz 47 (w pełnej wersji

tego opracowania) masz takie obliczenia:

380 zł⋅ 90%

⋅ 80%

⋅ 130%

= 355,68 zł

Oj chyba coś nie tak. Błędu w powyższych obliczeniach nie widać, a rozum podpowiada, że:

−10%+30%−20%=0%

Wersja z dnia: 27.09.2011 http://matematyka.strefa.pl Procenty — strona 5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: