MATERIAŁY POMOCNICZE

DO MATURY

Z MATEMATYKI

1. Zbiory. Działania na zbiorach.

Zbiór, element zbioru – pojęcia pierwotne.

Jeśli x należy do ( jest elementem ) zbioru A, to piszemy xÎA, jeśli y nie należy do zbioru A, piszemy yÏA.

Każdy zbiór jest wyznaczony przez swoje elementy.

Zbiór skończony – zbiór o skończonej liczbie elementów.

Zbiór pusty ( symbol Æ ) – zbiór, do którego nie należy żaden element.

Zbiór nieskończony – zbiór, który nie jest ani skończony, ani pusty.

Równość zbiorów:

A = B Û (dla każdego x : xÎA Û xÎB )

Zawieranie się zbiorów, podzbiory:

A Ì B Û ( dla każdego x: xÎA Þ xÎB )

Zbiory rozłączne - zbiory nie mające żadnego elementu wspólnego.

Suma zbiorów A È B:

xÎA È B Û ( xÎA lub xÎB )

Iloczyn zbiorów A Ç B:

xÎA Ç B Û ( xÎA i xÎB )

Różnica zbiorów A \ B:

xÎA \ B Û ( xÎA i xÏB )

Dopełnienie zbioru A ( symbol A’ ):

Jeśli wszystkie rozpatrywane przez nas zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru X, to zbiór X nazywamy przestrzenią.

Jeśli X jest przestrzenią i A Ì X, to A’ = X \ A

Iloczyn kartezjański ( produkt ) zbiorów A ´ B:

Parę elementów (x,y), w której wyróżniono element x jako pierwszy nazywamy parą uporządkowaną.

( x, y )ÎA´B Û ( xÎA i yÎB )

Zestawienie niektórych praw rachunku zbiorów:

2. Układy równań i nierówności.

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Nierówności z wartością bezwzględną

< a , to xÎ( -a, a )                                          > a , to xÎ( -¥, -a ) È ( a, ¥ )

, to xÎ[ -a, a ]                                          , to xÎ( -¥, -a ] È [ a, ¥ )

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązaniem układu równań liniowych ( stopnia pierwszego ) z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą uporządkowaną parę liczb spełniających oba równania układu.

Dany jest układ równań                                            (*)

Wyznacznikami układu nazywamy liczby:

W = = a1 × b2 - a2 × b1;

Wx = = c1 × b2 - c2 × b1;

Wy = = a1 × c2 - a2 × c1;

Układ równań (*) nazywamy układem równań:

a)      niezależnych Û W ¹ 0, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

x = ,  y =,

geometryczną interpretacją układu są dwie proste przecinające się,

b)     zależnych Û W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań ( x, y ) takich, że xÎR, a y = -x + ;

geometryczną interpretacją układu są dwie proste pokrywające się;

c)      sprzecznych Û W = 0 i Wx ¹ 0 lub Wy ¹ 0, zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym, geometryczną interpretacją układu są dwie różne proste równoległe.

3. Funkcja kwadratowa.

Funkcją kwadratową ( trójmianem kwadratowym ) nazywamy funkcję f określoną wzorem postaci

f(x) =ax2+bx+c,

gdzie a, b, c Î R  i  a ¹ 0.

Kanoniczną postacią trójmianu kwadratowego nazywamy postać

,

gdzie D =b2-4ac. Liczbę D nazywamy wyróżnikiem trójmianu.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

·         funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2 wtedy i tylko wtedy, gdy D>0, wtedy ,        ,

·         funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe x1 wtedy i tylko wtedy, gdy D=0,

,

·         funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy D<0.

Iloczynowa postać funkcji kwadratowej:

·         jeżeli D>0, to trójmian kwadratowy y = ax2+bx+c (a¹0) można przedstawić w postaci iloczynu y = a(x-x1)(x-x2),

gdzie x1, x2 oznaczają miejsca zerowe trójmianu;

·         jeżeli D=0, to trójmian kwadratowy y= ax2+bx+c (a¹0) można przedstawić w postaci iloczynu

y = a(x-x1)2,

gdzie x1 jest miejscem zerowym trójmianu.

Wzory Viete’a

Jeżeli trójmian kwadratowy y= ax2+bx+c (a¹0) ma miejsce zerowe (dwa lub jedno) x1, x2, to

,

.

Wykres funkcji kwadratowej y= ax2+bx+c, gdzie a¹0, jest krzywą zwaną parabolą. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: .