1
Algebra liniowa
Definicja. Strukturę
nazywamy macierzą o m wierszach i n kolumnach.
Uwagi. Zdefiniowaną wyżej macierz zapisujemy krótko lub lub (jeśli znany jest zakres indeksów i,j). Jeśli to macierz jest kwadratowa. Wówczas elementy tworzą przekątną tej macierzy. Rozważać będziemy również macierze jednokolumnowe i jednowierszowe postaci:
, .
Macierz, w której wszystkie elementy są zerami, nazywa się macierzą zerową. Macierz kwadratowa jest trójkątna górna [dolna], jeśli wszystkie jej elementy leżące pod [nad] przekątną są zerowe. Macierz kwadratową nazywamy macierzą jednostkową, jeżeli . Macierz jednostkową wymiaru oznaczamy przez :
.
Transpozycją macierzy A nazywamy macierz powstałą z A przez zamianę wierszy na kolumny (lub kolumn na wiersze), bez zmiany ich kolejności. Zatem jeśli
, to .
Definicja. Jeśli , , , to:
1. ;
2. ;
3. .
Mnożenie macierzy A i B jest określone tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
Definicja. Niech , . Wtedy iloczynem A i B nazywamy macierz taką, że dla .
Przykłady.
1. Obliczyć iloczyn macierzy
i .
Mnożenie AB jest wykonalne (ale BA – nie).
2. Następujący przykład dowodzi, że mnożenie macierzy nie jest przemienne:
Twierdzenie (własności działań na macierzach).
1. Prawo przemienności dodawania: .
2. A + [0] = A.
3. Prawo łączności dodawania: .
4. i .
5. Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: i .
6. Prawo łączności mnożenia: .
7.
(zakładamy tu, że odpowiednie działania na macierzach są wykonalne).
Uwagi. Zwróćmy uwagę, że macierz zerowa gra rolę elementu neutralnego względem dodawania macierzy, a macierz jednostkowa – elementu neutralnego względem mnożenia macierzy.
Definicja (rekurencyjna wyznacznika macierzy). Niech . Wyznacznikiem z macierzy A nazywamy liczbę |A| określoną następująco:
1. Jeśli , to |A|:=.
2. Jeśli , to |A|:= (jest to tzw. rozwinięcie wg. 1. wiersza), gdzie: nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy A, jest wyznacznikiem z podmacierzy macierzy A powstałej przez usunięcie z A wiersza i kolumny zawierających element
Uwagi. Wyznacznik |A| oznaczamy także przez ( z ang. „determinant”=”wyznacznik”). Bezpośrednio z definicji obliczamy, że .
Twierdzenie Laplace’a. Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny przez dopełnienia algebraiczne tych elementów, tzn.
dla (rozwinięcie wyznacznika według i-tego wiersza),
dla (rozwinięcie wyznacznika według i-tej kolumny).
1a. .
1b. Metoda Sarrusa:
=20+6-6+2+15+24=61.
2.
Twierdzenie. Wartość wyznacznika nie ulega zmianie, jeśli:
1. wspólny czynnik występujący we wszystkich elementach jakiejś kolumny [wiersza] wyłączymy przed wyznacznik;
2. do elementów jakiegoś wiersza [kolumny] dodamy odpowiednie elementy innego wiersza [kolumny], pomnożone przez dowolną liczbę.
Wniosek. Jeśli wyznacznik zawiera dwie kolumny [wiersze] identyczne to jest zerowy.
Twierdzenie. .
1. Obliczyć .
Wykonujemy równocześnie kilka przekształceń: pierwszą kolumnę odejmujemy (tzn. mnożymy przez -1 i dodajemy) od kolumny drugiej, trzeciej i czwartej. Dostajemy
. Ostatni wyznacznik obliczono metodą Sarrusa.
2. .
Od trzeciego wiersza odjęliśmy drugi wiersz, a od drugiego – pierwszy.
3. Obliczyć .
Ostatnią kolumnę odejmujemy kolejno od pierwszej, drugiej i trzeciej, a następnie wyłączamy wspólne czynniki przez wyznacznik. Otrzymujemy
Dodając do ostatniego wiersza wszystkie pozostałe i rozwijając według ostatniego wiersza, dostajemy
Definicja. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywa się macierz kwadratową tego samego stopnia taką, że .
Twierdzenie. Jeśli to .
1. . Obliczyć .
Sposób 1 (ze wzoru). Mamy tu , zatem szukana macierz istnieje. Obliczamy wszystkie dopełnienia algebraiczne:
Zatem
Sprawdzenie: . Sprawdź, że (ZD).
Sposób 2 (eliminacja Gaussa). Dopisujemy do A macierz . Cel : za pomocą dodawania wierszy mnożonych przez odpowiednie stałe dostać na miejscu A macierz jednostkową. Wtedy na miejscu dostaniemy .
Krok 1.- zera na miejscach (2,1), (3,1) (odejmujemy 1. wiersz od 3-go):
Krok 2.- 1 na miejscu (2,2) (mnożymy 2. wiersz przez 1/2):
,
zera na miejscach (1,2), (3,2) (dodajemy 2. wiersz do 1-go, 2. wiersz pomnożony przez -2 dodajemy do 3. wiersza):
Krok 3.- 1 na miejscu (3,3) (mnożymy 3. wiersz przez -1):
zera na miejscach (1,3), (2,3) (3. wiersz pomnożony przez 1/2 dodajemy do 1. i 2. wiersza):
Układ równań liniowych z kwadratową macierzą główną
Definicja. Układ
nazywamy układem równań liniowych o n niewiadomych .
Uwagi. Jeżeli wprowadzimy macierz wyrazów wolnych , wektor rozwiązań
oraz macierz główną , to układ ten można zapisać w postaci macierzowej:
. Przy założeniu, że rozwiązaniem tego równania jest .
Twierdzenie (Cramera). Jeśli , to , gdzie jest wyznacznikiem z macierzy powstałej z A przez zamianę k-tej kolumny kolumną B.
Uwagi. Jeśli B=0 to układ nazywamy jednorodnym. Układ taki zawsze posiada rozwiązanie zerowe. Jeśli dodatkowo wyznacznik główny jest niezerowy, to istnieje tylko rozwiązanie zerowe (w przeciwnym wypadku układ jest nieoznaczony, a więc oprócz zerowego ma także rozwiązania niezerowe).
Przykłady. Rozwiązać układ
Sposób 1 (wzory Cramera). Obliczamy , skąd x=y=z=1.
Sposób 2 (metoda macierzowa). Korzystamy ze wzoru (macierz była już wcześniej obliczona):
Sposób 3 ...
miromaj123