Gąsior Michał - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów.pdf

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CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010
SEMESTR 4
Rozwiązania zadań pochodzą z notatek własnych na podstawie zajęć laboratoryjnych oraz literatury podanej w
źródłach. W przypadku ewentualnych błędów proszę zgłaszać poprawki do autora.
(michaljgasior@gmail.com http://student.agh.edu.pl/~bonesaaa)
"Theory is when you know all and nothing works. Practice is when all works and nobody knows why. In this case we
have put together theory and practice: nothing works... and nobody knows why!” (anonymous author)
1
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GWOLI WSTĘPU
Na początek kilka zmian, przede wszystkim wizualnych. Mam nadzieję, że przypadną one Wam do gustu.
Nowa czcionka oraz odświeżone logo. Dodatkowo standard już z poprzednich opracowań – gdzie się da,
tam zapisuję odpowiedniki anglojęzyczne. Pozdrawiam i życzę powodzenia w zgłębianiu tajników
cyfrowego przetwarzania sygnałów (lub być może poprawniej – przetwarzaniu cyfrowych sygnałów, bo
z angielska mamy przecież Digital Signal Processing).
Opracowanie z czasem coraz bardziej się rozrasta, stąd na końcu pojawia się mała nowość – lekcje
dodatkowe, które najprawdopodobniej przydadzą się w dalszych etapach nauki (np. przedmiot
Automatyka i Robotyka).
POPRAWKI:
Wersja 1.1 – Str. 47 – poprawiony schemat FFT, dodana lekcja ósma, uzupełniony opis baz Walsha i Haara
Wersja 1.2 – rozszerzony artykuł o bazie Walsha, poprawki kosmetyczne
Wersja 1.3 – poprawa literówek, poprawione rozwiązanie na str. 81 do DFT 2D, rozszerzony fragment o mnożeniu macierzy,
dodany dział o DFT 2D i IDFT oraz rozwiązania z 2 terminu egzaminu 2010, poprawka bazy Walsha w zadaniu 6 (lekcja 11)
Wersja 1.4 – poprawione drobne błędy oraz rozwinięte rozwiązanie zadania 2 (egzamin 2010 – termin II)
Wersja 2.1 – aktualizacja – o pochodzeniu liczby urojonej (12 maja 2011 rok)
Wersja 2.2 – nowy przykład w szeregach Fourier’a, egzamin 2011, lekcja dodatkowa A (transformata Laplace’a),
poprawione marginesy stron i „nieco”, lekcja o splocie, transformata Fouriera dla cos i exp
dodane artykuły o pochodnych oraz o twierdzeniu trzech ciągów
2
TREŚCI SPIS
MATEMATYKA .................................................................................................................................................................. 6
LICZBA UROJONA (imaginary number) ........................................................................................................................ 6
LICZBY ZESPOLONE (complex numbers) ...................................................................................................................... 8
WZORY EULERA (Euler’s formula) ................................................................................................................................ 9
MACIERZE (matrix) – mnożenie macierzy ................................................................................................................. 10
MACIERZE (matrix) – macierz odwrotna (inverted matrix) ..................................................................................... 11
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI ..................................................................................................................................... 14
TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH (squeeze theorem) ........................................................................................... 16
POCHODNA (derivative) – wstęp ............................................................................................................................... 18
POCHODNA (derivative) – wyprowadzenia .............................................................................................................. 19
RÓŻNICZKA NUMERYCZNA (numerical differentiation) ........................................................................................... 20
MATLAB - WPROWADZENIE ........................................................................................................................................ 21
PODSTAWY ................................................................................................................................................................... 21
MACIERZE ..................................................................................................................................................................... 22
LICZBY ZESPOLONE w MatLab’ie .............................................................................................................................. 23
PRZYKŁAD WYKORZYSTANIA MatLab ..................................................................................................................... 24
PRZYDATNE FUNKCJE ................................................................................................................................................. 24
PODSTAWOWE SYGNAŁY ............................................................................................................................................. 26
DELTA DIRACA δ(t) ..................................................................................................................................................... 26
SKOK JEDNOSTKOWY 1 (t) .......................................................................................................................................... 27
IMPULS PROSTOKĄTNY Π(t) ..................................................................................................................................... 27
ZNAK DZIEDZINY/FUNKCJA ZNAKU sgn(t) .............................................................................................................. 28
SYGNAŁ WYKŁADNICZY NARASTAJĄCY .................................................................................................................... 28
SYGNAŁ WYKŁADNICZY MALEJĄCY ........................................................................................................................... 29
FUNKCJA SINC sinc t .................................................................................................................................................... 29
FALA PROSTOKĄTNA BIPOLARNA ............................................................................................................................ 30
FALA PROSTOKĄTNA UNIPOLARNA ......................................................................................................................... 30
Podział sygnałów ........................................................................................................................................................ 31
APROKSYMACJA ............................................................................................................................................................. 31
ORTONORMALNOŚĆ i ORTOGONALNOŚĆ .................................................................................................................. 35
ORTOGONALNOŚĆ (orthogonality) ............................................................................................................................ 36
ORTONORMALNOŚĆ (orthonormality) ...................................................................................................................... 36
EFEKTY ORTONORMALNOŚCI .................................................................................................................................... 37
NORMALIZACJA w MatLab’ie ..................................................................................................................................... 40
BAZY HAARA i WALSHA ................................................................................................................................................ 41
3
BAZA HAARA ................................................................................................................................................................ 41
BAZA WALSHA ............................................................................................................................................................. 44
FORMUŁY dla MatLab’a ............................................................................................................................................. 47
SPLOT ............................................................................................................................................................................... 47
SZEREG FOURIER’a ......................................................................................................................................................... 51
PRZYKŁAD – Sygnał prostokątny, bipolarny .............................................................................................................. 52
PRZYKŁAD – Trójkątny, bipolarny (triangle, bipolar) ............................................................................................... 54
PRZYKŁAD – Piła (sawtooth, saw wave) ..................................................................................................................... 56
TRANSFORMACJA FOURIER’a ...................................................................................................................................... 58
WSTĘP ........................................................................................................................................................................... 59
WŁASNOŚCI TRANSFORMACJI FOURIER’a ............................................................................................................... 59
PODSTAWOWE TRANSFORMATY .............................................................................................................................. 59
PRZYKŁAD – TRANSFORMATA COSINUSA ................................................................................................................ 60
PRZYKŁAD – TRANSFORMATA SYGNAŁU TRÓJKĄTNEGO ...................................................................................... 61
TRÓJKĄT, BRAMKA, SPLOT ........................................................................................................................................ 63
DFT – Discrete Fourier Transform ............................................................................................................................. 63
MACIERZ PRZEJŚCIA DLA DFT ................................................................................................................................... 63
PRÓBKOWANIE i OBLICZENIA w DFT ....................................................................................................................... 66
INTERPRETACJA DYSKRETNEGO WIDMA ................................................................................................................ 69
DFT dla MatLab ........................................................................................................................................................... 70
DFT dla DWÓCH WYMIARÓW .................................................................................................................................... 71
IDFT – inverse discrete Fourier transform ............................................................................................................. 72
WIDMA – PODSUMOWANIE ....................................................................................................................................... 73
TRANSFORMACJA Z ........................................................................................................................................................ 74
WSTĘP ........................................................................................................................................................................... 74
PRZYKŁADY – delta Diraca ......................................................................................................................................... 74
PRZYKŁADY – skok jednostkowy ................................................................................................................................. 75
FILTRY i TRANSMITANCJA ........................................................................................................................................... 75
FIR (Finite Impulse Response) ...................................................................................................................................... 75
ZADANIE 1 .................................................................................................................................................................... 77
ZADANIE 2 .................................................................................................................................................................... 77
IIR (Infinite Impulse Response) .................................................................................................................................... 79
ZADANIA .......................................................................................................................................................................... 79
ZADANIE 1 – dualizm ................................................................................................................................................... 79
ZADANIE 2 – filtry/transformata Z ............................................................................................................................. 80
ZADANIE 3 – filtry/FIR ................................................................................................................................................. 80
ZADANIE 4 – stabilność ................................................................................................................................................ 81
ZADANIE 5 – transformata Fouriera ........................................................................................................................... 82
4
ZADANIE 6 – aproksymacja/baza Walsh’a ................................................................................................................. 83
ZADANIE 7 – transmitancja/filtry ............................................................................................................................... 85
ZADANIE 8 – stabilność/filtry ...................................................................................................................................... 85
ZADANIE 9 – własności transformaty Fouriera .......................................................................................................... 86
ZADANIE 10 – FFT ........................................................................................................................................................ 86
ZADANIE 11 – transformata Z ..................................................................................................................................... 88
ZADANIE 12 – transmitancja/filtry ............................................................................................................................. 88
ZADANIE 13 – filtry ...................................................................................................................................................... 89
MARATON ........................................................................................................................................................................ 89
ZADANIE 1 – szereg Fouriera ...................................................................................................................................... 89
ZADANIE 2 – transformata Fourier’a/splot ................................................................................................................ 92
ZADANIE 3 – transformata Fourier’a .......................................................................................................................... 95
ZADANIE 4 – splot ........................................................................................................................................................ 96
ZADANIE 5 – falki ......................................................................................................................................................... 98
ZADANIE 6 – kryterium stabilności ............................................................................................................................. 99
ZADANIE 7 – energia .................................................................................................................................................. 102
EGZAMIN 2010 – termin I ........................................................................................................................................... 102
ZADANIE 1 – ortogonalność ...................................................................................................................................... 102
ZADANIE 2 – transformata Fouriera ......................................................................................................................... 104
ZADANIE 3 – DFT 2D .................................................................................................................................................. 108
ZADANIE 4 – filtry ...................................................................................................................................................... 110
EGZAMIN 2010 – termin II .......................................................................................................................................... 111
ZADANIE 1 – aproksymacja (metodą matematyczną) ............................................................................................. 111
ZADANIE 1 – aproksymacja (metodą graficzną) ...................................................................................................... 117
ZADANIE 2 – energia .................................................................................................................................................. 121
ZADANIE 3 – IDFT ...................................................................................................................................................... 121
ZADANIE 4 – filtry ...................................................................................................................................................... 123
EGZAMIN 2011 .............................................................................................................................................................. 124
ZADANIE 1 – widmo częstotliwościowe i twierdzenie o próbkowaniu .................................................................... 124
ZADANIE 2 – DFT ....................................................................................................................................................... 124
ZADANIE 3 – charakterystyki częstotliwościowe filtru ............................................................................................ 124
ZADANIE 4 – kompresja bezstratna (predyktor) ...................................................................................................... 124
TRANSFORMACJA LAPLACE’a .................................................................................................................................... 124
5

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