Elementy wytrzymałości materiałów
Uwagi ogólne
Dotychczas omówiono metody wyznaczania sił wewnętrznych w układach statycznie wyznaczalnych. Przyjęto, że układy prętowe odwzorowane są przez ich osie, a siły wewnętrzne zdefiniowano jako wypadkowe oddziaływania na siebie dwóch części układu.
Poszczególne elementy układów opisane były za pomocą funkcji jednej zmiennej.
W rzeczywistości pręty mają strukturę trójwymiarową o określonych wymiarach przekrojów poprzecznych.
Wytrzymałość materiałów zajmuje się wymiarowaniem konstrukcji, czyli doborem materiałów i wymiarów poszczególnych elementów tak, aby przeniosły działające na nie obciążenia.
Definicja stanu naprężenia.
Rysunek 63 Graficzna ilustracja naprężeń w pręcie rozciąganym.
Siła podłużna N jest wypadkową wszystkich „elementarnych sił” działających na powierzchni A, która jest polem powierzchni przekroju α-α.
To ciągłe powierzchniowe oddziaływanie nazwano naprężeniem s.
A więc w przypadku pręta osiowo rozciąganego wartość naprężenia wynosi:
(49)
gdzie A jest polem powierzchni pręta. Wymiarem naprężenia jest pascal [Pa], czyli [N/m2].
Naprężenie jest ściśle związane z orientacją przekroju, na który działa. Gdy pręt zostanie przecięty płaszczyzną pod kątem do jego osi , zmienia się powierzchnia przekroju A.
Przez dowolny punkt pręta można przeprowadzić nieskończenie wiele płaszczyzn, zatem można wyznaczyć nieskończenie wiele naprężeń (wzór 49). W przypadku układu prętowego poddanego nie tylko rozciąganiu, ale także zginaniu i ścinaniu, opis naprężeń jeszcze bardziej się komplikuje. Dlatego konieczne jest przyjęcie jednoznacznej definicji tego pojęcia.
Na dowolny punkt przekroju K, który można przedstawić w postaci otaczającego go nieskończenie małego pola ΔA, leżącego w płaszczyźnie przekroju, działa elementarna część siły wewnętrznej, którą oznaczono przez Δp. Naprężenie w punkcie K definiuje się jako granicę ilorazu różnicowego:
(50)
Rysunek 64. Naprężenie w punkcie: a)przekrój poprzeczny belki, b)składowe naprężenia.
W ogólnym przypadku naprężenie jest funkcją położenia punktu K i orientacji płaszczyzny, na którą działa. Przy ustalonej płaszczyźnie przekroju, naprężenie jest wektorem o dowolnej wartości i zwrocie w przestrzeni. Wektor ten zazwyczaj rozkłada się na oś prostopadłą i równoległą do płaszczyzny przekroju (rys. 64b):
(51)
Składowe te mają szczególne znaczenie w wytrzymałości materiałów i definiuje się je następująco:
Naprężenie normalne jest rzutem wektora naprężenia s na oś prostopadłą do płaszczyzny przekroju; oznacza się je przez δ.
Naprężenie styczne (tnące lub ścinające) jest rzutem wektora naprężenia s na oś styczną do płaszczyzny przekroju; oznacza się je przez τ.
Stan odkształcenia
Pod wpływem obciążenia zewnętrznego elementy układów prętowych odkształcają się, a poszczególne ich punkty ulegają przemieszczeniom. Odkształcenia mogą mieć charakter sprężysty lub plastyczny.
Odkształcenia sprężyste – gdy po usunięciu obciążenia odkształcenie znika, a konstrukcja powraca do stanu wyjściowego.
Odkształcenia plastyczne – nie znikają po odciążeniu konstrukcji.
Rozważania poniżej dotyczą odkształceń sprężystych.
W zależności od działającego obciążenia, rozróżnia się kilka podstawowych rodzajów odkształceń, które przedstawiono na rysunku 65. Ich definicje są następujące:
Rozciąganie – ściskanie jednoosiowe zachodzi, jeżeli niezerowe są tylko siły podłużne N. Gdy siły te są dodatnie, to występuje rozciąganie (rys.65a), a gdy ujemne ściskanie (rys.65b). W rzeczywistych konstrukcjach budowlanych elementami wyłącznie rozciąganymi lub ściskanymi są np. pręty kratownicy lub słupy.
Rysunek 65 Podstawowe rodzaje odkształceń elementu: a)rozciąganie, b)ściskanie, c)zginanie, d)ścinanie techniczne, e)zginanie ze ścinaniem.
Czyste zginanie zachodzi, gdy w układzie występują tylko momenty zginające Mx, My (rys.3.8c). Elementami zginanymi są np. belki, ramy lub łuki. Zginanie występuje najczęściej z siłami poprzecznymi, a w przypadku słupów również z siłami podłużnymi.
Rysunek 66. Odkształcenie elementu skręcanego
Czyste ścinanie występuje jedynie w postaci ścinania technicznego, któremu podlegają nity, śruby, spoiny lub złącza klejone (rys.65d).
Ścinanie ze zginaniem (rys.65e) pojawia się zawsze w elementach zginanych.
Czyste skręcanie występuje wtedy, gdy w pręcie jedynie moment Ms ma wartość różną od zera. Występuje w konstrukcjach przestrzennych (rys. 66).
Związki między naprężeniami a odkształceniami
Dotychczas rozpatrywano naprężenia i odkształcenia wewnątrz ciała, nie wspominając o rodzaju tworzącego go materiału. Te założenia są słuszne dla każdego materiału, którego odkształcenia są małe, czyli pod wpływem działających sił dochodzi w nim do niewielkich zmian cech geometrycznych.
Związki między naprężeniami i odkształceniami dla danego materiału, np. stali lub betonu, określa się na podstawie prób wytrzymałościowych przeprowadzonych w laboratorium. Standardowym badaniem jest statyczna próba jednoosiowego rozciągania. Próbki materiału w kształcie walca w maszynie zwanej zrywarką. W jej uchwytach umieszcza się próbkę badanego materiału o długości l i średnicy d, którą poddaje się rozciąganiu (rys.67a). W trakcie badania rejestruje się wydłużenie Δl, zwężenie Δd oraz siłę P, z jaką próbka jest rozciągana. Wyniki takiego rozciągania przedstawia się na wykresie w układzie naprężenia-odkształcenia δ-ε (δ=P/A, ε= Δl/l). Podobną próbę można także wykonać w celu uzyskania ściskania materiału.
Rysunek 67 a)Próbka badanego materiału, b)zależność (δ-ε) dla stali, c) zależność (δ-ε) dla betonu.
Dla standardowej stali (miękkiej) można wyróżnić charakterystyczne punkty opisujące zachowanie się materiału (rys.67b). Są to:
- Granica proporcjonalności Rp,
- Granica sprężystości Rs,
- Granica plastyczności Rpl,
- Granica wytrzymałości na rozciąganie Rr,
- Naprężenie zrywające Ru.
W zakresie naprężeń od zera do granicy proporcjonalności Rp, materiał zachowuje się liniowosprężyście. Dla zwiększających się naprężeń wykres zakrzywia się, a materiał staje się nieliniowosprężysty. Stan taki trwa do osiągnięcia wartości naprężenia, zwanej granicą sprężystości Rs. Zachowanie sprężyste oznacza, ze w przypadku całkowitego zdjęcia obciążenia próbka wraca do swojej pierwotnej długości. Z kolei po przekroczeniu granicy plastyczności Rpl wzrost odkształceń następuje bez wzrostu siły rozciągającej. Zjawisko to jest zwane „płynięciem plastycznym”. Jeżeli próbka zostanie obciążona po przekroczeniu tej granicy, to nie powraca już do swojej pierwotnej postaci, a więc pozostają w nim pewne odkształcenia plastyczne εpl (rys. 67b). Jeżeli np. w punkcie C wykresu nastąpi odciążenie, to jego przebieg będzie opisany prostą CE równoległą do początkowego , sprężystego obciążenia próbki (odcinek AB). Po powtórnym obciążeniu zależność δ-ε opisana będzie krzywą WCD, a nie początkową krzywą ABCD (rys.67b). Dalsze zwiększanie, po przekroczeniu punktu C, powoduje tzw. wzmocnienie materiału, aż do osiągnięcia naprężenia maksymalnego na rozciąganie Rr Naprężenie odpowiadające sile zrywającej jest mniejsze od wytrzymałości Rr i jest oznaczane Ru. W przypadku próby ściskania stali miękkiej otrzymuje się podobny wykres δ-ε.
Przy próbie jednoosiowego rozciągania zupełnie inaczej zachowuje się beto (rys. 67c). W ty przypadku nie obserwuje się granicy plastyczności, a granica wytrzymałości betonu na ściskanie Rc jest znacznie większa (10-12 razy) od granicy na rozciąganie.
Prekursorem badań doświadczalnych ciał sprężystych był Robert Hooke, który w 1678 roku sformułował prawo sprężystości. Hooke zauważył, że w pewnym zakresie obciążeń, wydłużenie ciała sprężystego jest proporcjonalne do przyłożonej siły:
(52)
gdzie E jest stałą materiałową zwaną współczynnikiem proporcjonalności, modułem Younga lub współczynnikiem sprężystości.
Odkształcenie ε jest wielkością bezwymiarową, zatem moduł Younga wyraża się w jednostkach naprężenia, najczęściej w [kPa] lub [MPa].
Uogólnione prawo Hooke’a reprezentują poniższe związki:
Rysunek 68. Deformacja elementu prostokątnego.
lub (53)
gdzie: ν jest bezwymiarową stała materiałową, zwaną współczynnikiem Poissona, G stałą materiałową zwaną modułem ścinania lub modułem odkształcenia postaciowego, τ naprężenia styczne, γ odkształcenia postaciowe,
Warunki wymiarowania konstrukcji
Aby konstrukcja była dostatecznie bezpieczna, muszą być spełnione trzy podstawowe warunki: wytrzymałości, stateczności i sztywności.
Materiały stosowane w budownictwie powinny spełniać odpowiednio zdefiniowane warunki wytrzymałości.
Na rysunku 69b przedstawiono fragment belki stropowej opartej na ceglanej ścianie za pośrednictwem płyty łożyskowej. Przy zbyt dużej wartości siły P, przekraczającej wyznaczoną doświadczalnie wytrzymałość ściany Pr na ściskanie, mogłoby nastąpić jej zniszczenie.
Rysunek 69 Interpretacja warunku wytrzymałości - belka oparta na ścianie.
Warunek wytrzymałości powinien zapewnić pewien zapas bezpieczeństwa. Można go przedstawić następująco:
(54)
gdzie n > 1 jest współczynnikiem bezpieczeństwa.
Wartość współczynnika n zależy od wielu czynników, takich jak rodzaj i sposób obciążenia, przeznaczenie konstrukcji, stosowana metoda obliczeniowa, sposób wykonania elementu konstrukcyjnego itp.
Spełnienie przez konstrukcję warunków stateczności decyduje o stabilności konstrukcji. Zagadnienie to można wyjaśnić rozpatrując przykładowo pionowy słup podpierający belkę stropową (rys.70a). Schematem statycznym słupa jest belka wspornikowa obciążona ściskającą siłą skupioną P (rys.70b). Równowaga układu zależy od wartości siły i wymiarów słupa. Jeżeli siła osiągnie pewną krytyczną wartość Pkr, wystąpi nagłe, niekontrolowane wygięcie słupa, zwane wyboczeniem. Układ staje się niestateczny co jest równoznaczne ze zniszczeniem konstrukcji (rys.70c).
Rysunek 70. Stateczność pręta: a)słup, b)schemat statyczny, c)wyboczenie.
Przy projektowaniu prętów ściskanych, należy wyznaczyć wartość siły krytycznej Pkr. Warunek stateczności będzie spełniony, gdy siła ściskająca nie przekroczy wartości krytycznej, czyli:
(55)
Konstrukcje powinny również spełniać warunek sztywności.
Z warunku sztywności wynika ograniczenie dotyczące ugięcia belek (rys.71). W przepisach budowlanych podane są dopuszczalne wartości ugięć różnego rodzaju belek:
(56)
gdzie m jest określonym w normach współczynnikiem liczbowym, znacznie większym od jedności (np. m=400).
Rysunek 71. Warunki sztywności belki: a)swobodnie podpartej, b)wspornikowej.
Metody projektowania konstrukcji
Podstawowe znaczenie w procesie wymiarowania konstrukcji i jej elementów ma znajomość ekstremalnych naprężeń, które mogą wystąpić w materiale. Te naprężenia można zdefiniować jako granicę plastyczności Rpl lub, w szczególnych przypadkach, jako granicę wytrzymałości materiału Rr.. Konieczny jest zawsze pewien zapas bezpieczeństwa, wynikający z tego, że znajomość rzeczywistych obciążeń lub parametrów materiału jest zawsze przybliżona.
W praktyce inżynierskiej do obliczeń wykorzystuje się najczęściej metodę stanów granicznych, rzadziej metodę naprężeń dopuszczalnych.. Do projektowania przyjmuje się określone wartości, tzw. wytrzymałości obliczeniowe, zdefiniowane jako ekstremalne naprężenia, które mogą wystąpić w czasie budowy i eksploatacji konstrukcji.
W przypadku ciał o wyraźnej granicy plastyczności ta granica uważana jest za niebezpieczną i wytrzymałość obliczeniową określa się dzieląc granicę plastyczności przez odpowiednik współczynnik bezpieczeństwa (n<1). Współczynniki bezpieczeństwa określają normy budowlane.
Wymiarując elementy konstrukcyjne metodą stanów granicznych rozróżniamy:
- stany graniczne nośności,
- stany graniczne użytkowania.
W stanie granicznym nośności sprawdza się warunek:
(57)
gdzie: δobl jest naprężeniem wywołanym obciążeniem obliczeniowym, a f...
knsia