Opracowane_danych_pomiarowych.pdf

Rozdział1

Opracowaniedanychpomiarowych

AndrzejZi˛eba

Pomiaryﬁzycznemog˛aby ´ cdokonywanetylkozesko ´ nczon˛adokładno ´ sci˛a.Powodemtegojestniedo-

skonało´s´cprzyrz˛adówpomiarowychinieprecyzyjno´s´cnaszychzmysłówbior˛acychudziałwobserwacjach.

Podawaniesamegotylkowynikupomiarujestniewystarczaj˛ace,opracowaniepomiarówwinnozawiera´ctak ˙ ze

miar˛eichwiarygodno´sci,czyliniepewno´s´cpomiaru.Zpotrzebyrozwi˛azaniapowy˙zszychproblemówpo-

wstałateorianiepewno´scipomiaru(zwanawymiennierachunkiemniepewno´scipomiaru).Wtymopracowaniu

przedstawionojejnajwa˙zniejszerezultaty,ilustrowaneprzykładami.

Teorianiepewno´scipomiaruniejest´scisł˛ateori˛aﬁzyczn˛a,leczraczejprzybli ˙ zonymmatematycznym

opisemniedoskonało´scieksperymentu.Jejmetodyirezultatynieograniczaj˛asi˛edoﬁzyki,leczs˛atakiesa-

me–lubbardzopodobne–dlawszystkichnaukdo´swiadczalnych.Mi˛edzynarodowaspołeczno´s´cnaukowaod

dawnad˛a˙zyładouzgodnieniaterminologiiimetodszacowanianiepewno´sci.RezultatemjestdokumentGuide

toExpressionofUncertaintyinMeasurementopracowanyprzezMi˛edzynarodow˛aOrganizacj˛eNormalizacyj-

n˛aISOwporozumieniuzszeregiem ´ swiatowychorganizacjinaukowo–technicznych.Wtek ´ scieniniejszym

dokumentb˛edziecytowanyb˛edziejakoPrzewodnik 1 .Jestnajwa ˙ zniejszymaleniejedynymdokumentemmi˛e-

dzynarodowejkonwencjidot.ocenyniepewno´scipomiaru,okre´slanejjakokonwencjaGUM 2 .

U˙zywanenazewnictwo,symbolikaimetodyobliczanianiepewno´scis˛azgodnezzaleceniamiPrzewod-

nika.Najwa ˙ zniejszeterminywyró ˙ znionowtek´scieczcionk˛apogrubion˛a.Niektóreznichró ˙ zni˛asi˛eodna-

zewnictwastosowanegowdotychczasowejliteraturze(wtymwskryptachipublikacjachautora).Dlawygody

czytelnikaiunikni˛ecianieporozumie´npodanonako´ncutabelarycznezestawienieterminówwprowadzonych

przezPrzewodnikiichtradycyjnychodpowiedników.

Opracowaniestanowizmodyﬁkowan˛awersj˛erozdziału1skryptupodredakcj˛aA.Zi˛eby,PRACOWNIA

FIZYCZNAWydziałuFizykiiTechnikiJ˛adrowejAGH,Cz˛e´s´cI,Wydanietrzeciezmienione.SkryptSU1642,

stron265,WydawnictwaAGH,Kraków2002.Zrozumienietre´scizwi˛azanychzestatystyk˛amatematyczn˛awy-

magaznajomo´scitylkokilkuelementarnychpoj˛e´c:zmiennalosowa,jejrozkładprawdopodobie´nstwa,rozkład

jednostajny(prostok˛atny),rozkładnormalny(Gaussa),warto´s´coczekiwana,odchyleniestandardowe.

1 Oﬁcjalnetłumaczeniepolskie:Wyra ˙ zanieNiepewno´sciPomiaru.Przewodnik.Warszawa,GłównyUrz˛adMiar1999.

2 Zwi˛ezł˛ainformacj˛enatemathistoriikonwencjiGUMijejobecnegostatusumo˙znaznale´z´cwinternecie: http://physics.nist.

gov/Uncertainty

1.1Bł˛adpomiaruijegorodzaje

Doniedawnasłowa„bł˛ad”i„niepewno´s´c”byłyu ˙ zywanewymiennie.Przewodnikwprowadzajasneroz-

graniczenietychpoj˛e´c.Wznaczeniuilo´sciowymprzezbł˛adpomiarurozumiemyró ˙ znic˛emi˛edzywarto´sci˛a

zmierzon˛ax i irzeczywist˛ax 0 ,

bł˛adpomiaru=x i −x 0 (1.1)

Czynimyprzytymmilcz˛acezało˙zenie,˙zewarto´s´crzeczywistaistnieje.Wpraktycewarto´s´crzeczywist˛a

x 0 mo ˙ znauto ˙ zsamia´czwynikiempomiaruwykonanegoprzypomocyinnej,znaczniedokładniejszejmetody.

Zasadniczeznaczeniesłowa„bł˛ad”jestjako´sciowe,jakonazwadlafaktu,˙zewarto´s´cmierzonaró˙znisi˛e

odwarto´scirzeczywistej.Naprzykład,gdychcemywyró ˙ zni´cró ˙ znerodzajebł˛edupomiaru.Rysunek 1.1 poka-

zujenaosiliczbowejwzajemn˛arelacj˛emi˛edzywarto´sci˛arzeczywist˛ax 0 iszeregiemwarto´scix i uzyskanychw

eksperymencie,ilustruj˛actrzyrodzajebł˛edupomiaru.

Rysunek1.1:Wzajemnarelacjawarto´scirzeczywistej x 0 izbioruwynikówpomiaru

(zaznaczonychkreskami)naosiliczbowej:a)dlabł˛eduprzypadkowego,b)dlabł˛edu

systematycznego,c)dlakombinacjibł˛eduprzypadkowegoibł˛edugrubego.Narysun-

kach(c)i(a)pokazanowró ˙ znejskali,rezultatyliczboweu ˙ zytewprzykładach1.1i

1.2

Przybł˛edzieprzypadkowymobserwujemyrozrzutwynikówpomiaruwokółwarto´scirzeczywistej(rys.

1.1 ).Wynikkolejnegopomiarujestinny,przyczymwyst˛epujewprzybli ˙ zeniutakasamaszansauzyskania

wynikówtakwi˛ekszych,jakimniejszychodx 0 .

Jakies˛aprzyczynystatystycznegorozrzutuwynikówpomiaruwﬁzyceklasycznej,gdziewi˛ekszo´s´czja-

wiskjestopisywanaprzezprawadeterministyczne?Najcz˛e´sciej´zródłembł˛eduprzypadkowegojestniedokład-

no´s´ciprzypadkowo´s´cdziałanialudzkichzmysłów.Wykonuj˛ackolejnypomiarczłowiekwykonagonieco

inaczej,st˛adpowstaniestatystycznyrozrzutwyników.Naprzykładwynikipomiaruczasuspadaniakulkiz

dwumetrowejwysoko´sciprzyu ˙ zyciustoperacechujepewienrozrzutpomimotego, ˙ zesamstoperchodzirów-

no. ´ Zródłemstatystycznegorozrzutuwynikówpomiarumog˛aby´cte˙zszumygenerowanewsamymukładzie

pomiarowymizakłóceniazewn˛etrzne.Tegotypuprzyczynybł˛eduprzypadkowegowyst˛epuj˛araczejwpomia-

rachowysokiejczuło ´ sci.

Zbł˛edemsystematycznymmamydoczynienia,gdyprzypowtarzaniupomiaruwyst˛epujetasamaró ˙ z-

nicami˛edzywarto ´ sciamizmierzonymiawarto ´ sci˛arzeczywist˛a,natomiastrozrzutwynikówposzczególnych

pomiarówjestniewielkilubniewyst˛epujewogóle.Je˙zelinp.zapomoc˛aomomierzazmierzymywarto´s´copor-

nikawzorcowego(b˛ed˛acegorealizacj˛awarto´scirzeczywistej),tostwierdzimywyst˛epowaniesystematycznej

ró˙znicy,takiejsamejprzykolejnympowtarzaniupomiaru.

Obł˛edziegrubymmówimy,gdyró ˙ znicami˛edzywynikiempomiaruiwarto´sci˛arzeczywist˛ajestdu ˙ za

lubdrastyczniedu˙za.Bł˛adgrubypojawiasi˛enaskuteknieumiej˛etno´sciu˙zyciadanegoprzyrz˛adu,pomyłek

przyodczytywaniuizapisiewynikówitp.

Zprzypadkiemwyst˛epowaniabł˛edugrubegowseriipomiarówmamydoczynienia,gdyjedenzwyników

odbiegaznacznieodpozostałych.Przykład1.1ilustrujedwaznajró ˙ zniejszychmo ˙ zliwo´scipopełnieniabł˛edu

grubego.

Przykład1.1Wahadło–bł˛edygrubeprzypomiarzeokresu

Integraln˛acz˛e´sci˛awykładurachunkuniepewno´scipomiarus˛a

przykłady.Wi˛ekszo´s´cznich(przykłady 1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.5 , 1.6

i 1.7 )dotycz˛ajednegoprostegoeksperymentu:badaniaruchuwa-

hadłaprostego.Wahadłemprostym(lub:matematycznym)nazy-

wamypunktmaterialnyomasiemzawieszonynaniewa ˙ zkiejinie-

rozci˛agliwejniciodługo ´ scil(rys.1.2).

Praktyczn˛arealizacj˛ategowyidealizowanegoobiektumo ˙ zeby´c

np.metalowakulazawieszonanazwykłejnicikrawieckiej.Gdy

k˛atwychyleniaQjestmały,okreswahadłaT 0 zale˙zytylkoodjego

długo´sciliprzyspieszeniaziemskiegog,

T 0 =2p

(1.2)

Rysunek1.2:Wahadłoproste.

Dlazmierzeniaokresuwahadłazastosowanosekundomierzzodczytemcyfrowym.Mierzono9razyczastrwa-

nia50okresów.Rezultatyspisanozoknaprzyrz˛aduwpostaciliczb:

103,88104,16105,26104,03103,90103,97103,85104,02103,85104,02103,92

Obliczonenapodstawietychdanychprzyspieszenieziemskieokazałosi˛etrzyrazyzamałe.Ekspery-

mentatorspojrzałnasekundomierzizrozumiał:pierwszacyfrawoknie(jedynka)oznaczaliczb˛eminut,czas

50okresówwyra ˙ zonywsekundachwynosi:

63,8864,1665,2664,0363,9063,9763,8564,0263,92

Takwykrytoipoprawionopierwszybł˛adgruby(powstaływwynikupomyłkiprzyzapisieliczb).

Przyjrzeniesi˛ewynikompokazuje,˙ze8liczbskupiasi˛ewpobli˙zu64sekund,aletrzeciwynik,65,26s,

jestoponadsekund˛ewi˛ekszy.Zaczynamypodejrzewa´c, ˙ zezmierzyli´smy51okresówzamiast50.Upewnianas

wtymprzekonaniufakt, ˙ zerezultat65,26sró ˙ znisi˛eodpozostałychowarto ´ s ´ czbli ˙ zon˛adojednegookresu.

W˛atpliwyrezultatodrzucamy.

1.2Cotojestniepewno ´ s ´ cpomiaru?

Ilo ´ sciowyopisjakiegokolwiekzjawiskarozpocz˛a ´ cmusimyodzdeﬁniowaniacharakteryzuj˛acychgo

miar.

Bł˛adpomiaruzdeﬁniowanywzorem( 1.1 )niestanowimiarydokładno´scimetodypomiarowej,gdy ˙ zpo-

dobnypomiar,alewykonanyinnymprzyrz˛adem,winnymczasieimiejscu,dainn˛awarto´s´c.Zatemx i jestliczb˛a

losow˛a,którejwarto´sciprzewidzie´csi˛enieda,podobniejakniemo ˙ znaprzewidzie´crezultaturzutukostk˛a.

Aleorezultatachrzutukostk˛amo˙znawiedzie´c,˙zezawieraj˛asi˛ewszereguliczbcałkowitychod1do

6.Podobnie,celemrachunkuniepewno´scijestcho´cbyprzybli ˙ zoneoszacowanierozrzutuwynikówpomiarów.

Przewodnikprzyjmujedeﬁnicj˛e:

Niepewno´s´cpomiarujestzwi˛azanymzrezultatempomiaruparametrem,

charakteryzuj˛acymrozrzutwyników,którymo˙znawuzasadnionysposób

przypisa´cwarto´scimierzonej.

Deﬁnicjasugeruje,˙zemo˙zliwes˛aró˙znemiaryniepewno´sci.Dlaokre´slenianiepewno´scipomiarubezpo-

´sredniegowykorzystujemydwiemiary:podstawow˛ajestniepewno´s´cstandardowau(x),drug˛amiar˛aprzydatn˛a

wokre ´ slonychsytuacjachjestniepewno ´ s ´ cgranicznaDx.

Wprzypadkuniepewno´scigranicznejDxstaramysi˛eokre´sli´cprzedział

x 0 −Dx<x i <x 0 +Dx, (1.3)

wktórymmieszcz˛asi˛ewszystkiewynikipomiarux i ,aktualniewykonaneiprzyszłe(rys. 1.3 ).

Rysunek1.3:Rozrzutwynikówpomiaruijegomiary

Niepewno´s´cgranicznajestmiar˛adeterministyczn˛a,gdy˙ztwierdzimy,˙zewarto´s´cprawdziwazawartajest

napewnowprzedzialex 0 ±Dx.Niepewno´s´cmaksymalnajeststosowanawokre´slonychsytuacjach,np.jako

miaradokładno ´ scielektrycznychprzyrz˛adówpomiarowych.

Miar˛adokładno´scipomiarunajpowszechniejstosowan˛aiuznan˛azapodstawow˛aprzezPrzewodnikjest

niepewno´s´cstandardowa.Jejnajkrótsz˛adeﬁnicj˛ajestzdanie:

Niepewno´s´cstandardowajestoszacowaniemodchyleniastandardowego.

Skomentujmykluczowesłowatejdeﬁnicji:

(i)Wprzedstawionymsformułowaniukryjesi˛ezało˙zenie,˙zerezultatpomiarujestzmienn˛alosow˛a,której

rozrzutcharakteryzujeparametrzwanyodchyleniemstandardowym.Odchyleniestandardowezdeﬁnio-

wa´cmo˙znajakopierwiastekz´sredniejwarto´scikwadraturó˙znicywarto´scizmierzonejirzeczywistej.

(ii)Dokładnejwarto´sciodchyleniastandardowegonieznamy,niepewno´s´cstandardowajestjegoniezbytdo-

kładnymoszacowaniem(estymatorem,ocen˛a).Dwiepodstawowemetodyszacowanianiepewno´scipo-

miarubezpo´sredniegoprzedstawioneb˛ed˛awpodrozdziałach1.3oraz1.4.

Rysunek1.3porównujegraﬁcznieobydwiemiaryniepewno´sci.Niepewno´s´cstandardowaujestmiar˛a

´sredniegoodchyleniawynikówpomiarówodwarto´scirzeczywistej,zatemcz˛e´s´cwyników(około1/3)znaj-

dziemypozaprzedziałem(x 0 −u(x),x 0 +u(x)).

Wdalszymci˛agutekstusłowo„niepewno´s´c”bezprzymiotnikaoznaczazawszeniepewno´s´cstandardow˛a.

Niepewno´s´cstandardow˛aoznaczamyjakou(x).Symbolupochodziodang.uncertainty,symbolwewn˛atrzna-

wiasuokre´sla,cojestwielko´sci˛amierzon˛a 3 .Zalet˛awprowadzonejprzezPrzewodniknotacjijestprzejrzysto´s´ci

unikanieindeksów.Mo ˙ zliwo´s´czapisuwielko´scimierzonejwpostacisłownej,jaknp.u(st˛e ˙ zenieNaCl),ułatwia

tworzeniedokumentacjipomiaru.

Niepewno´s´cuposiadawymiar,takisamjakwymiarwielko´scimierzonej.

Niepewno´sci˛awzgl˛edn˛awnazywamystosunekniepewno´sci(bezwzgl˛ednej)dowielko´scimierzonej 4 ,

w(x)= u(x)

(1.4)

Niepewno´s´cwzgl˛ednawjestwielko´sci˛abezwymiarow˛a,cz˛estowyra˙zan˛awprocentach.Dajelepszewyobra˙ze-

nieodokładno´scipomiaruni ˙ zniepewno´s´cbezwzgl˛ednau.Umo ˙ zliwiate ˙ zporównanieniepewno´sciwielko´sci

ﬁzycznychposiadaj˛acychró ˙ znywymiar.

Poj˛eciemjako´sciowym,zwi˛azanymzesłowemniepewno´s´cjestdokładno´s´c(pomiaru).Zalet˛ategosłowa

jestmo ˙ zliwo´s´cutworzeniaprzymiotnika:pomiardokładniejszy,topomiaromniejszejniepewno´sci.

1.3Ocenaniepewno ´ scitypuA

Podt˛anazw˛akryj˛asi˛emetodywykorzystuj˛acestatystyczn˛aanaliz˛eseriipomiarów.Najprostszymprzy-

padkiemjestanalizaseriinwynikówpomiaru:x 1 ,...,x i ,...,x n .Traktujemyjejakonrealizacjizmiennejlo-

sowejowarto´scioczekiwanejx 0 (uto ˙ zsamianejzwarto´sci˛arzeczywist˛a)orazodchyleniustandardowyms

istosujemystandardowerezultatyteoriiprawdopodobie´nstwa.Wwi˛ekszo´sciprzypadkównajlepszymoszaco-

waniemxmierzonejwarto´scijest´sredniaarytmetyczna

n å x i (1.5)

Wewzorze 1.5 ,jakiwewszystkichwzorachniniejszegoopracowania,znaksumybezwska´znikówoznacza

sumowanieodi=1don.

Miar˛arozrzutuwynikówpomiarujestparametrstatystycznyzwanyestymatoremodchyleniastandardo-

wego,

xx= 1

å (x i −x) 2

n−1

s x =

(1.6)

estymatorodchyleniastandardowego´sredniejs x jest p nrazymniejszyodestymatoras x ,

s x = s x p n

(1.7)

Poniewa˙zzawynikpomiaruprzyjmujemy´sredni˛a,niepewno´sci˛apomiaruu(x)uto˙zsamiamyzestymato-

remodchyleniastandardowego´sredniej,u(x)s x .Ł˛acz˛aczesob˛awzory 1.6 i 1.7 otrzymujemy

å(x i −x) 2

n(n−1)

u(x)s x =

(1.8)

3 Przyj˛eteoznaczeniewykorzystuje„nieprawnie”symbolfunkcjimatematycznej.Pami˛etajmy,˙zeu(x)jestliczb˛a,aniefunkcj˛a.Nie

jestmo˙zliwenp.obliczeniepochodnejdu/dx!

4 Przewodniknieokre ´ sliłsymboludlaniepewno ´ sciwzgl˛ednej.Wopracowaniuprzyj˛etosymbolwwprowadzonyweuropejskim

dokumencieEA-4/02ExpressionoftheUncertaintyofMeasurementinCalibration(1999).

Wielko´s´cs x mo ˙ znabyuto ˙ zsamia´czniepewno´sci˛apomiaru,gdyby´smyzajegowynikprzyj˛eliktór˛a-

kolwiekzwarto´scix i .Przyobliczaniu´sredniejnast˛epujejednakcz˛e´sciowakompensacjaodchyłekró˙znych

znaków,dzi˛ekiczemujestonabli ˙ zszawarto´scirzeczy w istejx 0 ni ˙ zwynikpojedynczegopomiaru.Ilo´sciowo,

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: