Funkcja kwadratowa i jej własności
W poprzedniej lekcji mówiliśmy o przesuwaniu paraboli. Parabola przesunięta jednocześnie wzdłuż osi x i y przedstawia funkcję opisaną wzorem y = a(x – p)2 + q, gdzie p,q oznaczają współrzędne wierzchołka tej paraboli. Jeżeli przekształcimy ten wzór stosując do nawiasu wzór skróconego mnożenia oraz redukcje wyrazów podobnych otrzymamy nową postać tego samego wzoru.
y = (x + 3)2 – 2
y = x2 + 6x + 9 – 2 Oba wzory opisują tę samą funkcję.
y = x2 + 6x + 7
Każdą funkcję, której wzór można zapisać w postaci y = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c Î R i a ¹ 0, nazywamy funkcją kwadratową. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Postać y = ax2 + bx + c nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej.
Ćwiczenie A str.226(podręcznik)
Przekształć podane wzory funkcji kwadratowych do postaci ogólnej oraz podaj wartości współczynników a, b, c.
a) y = 5(x - 1)2 – 5
b) y = x2 –3(x + 5)
c) y = -3(x - 2)(x - 3)
d) y = 2x(1 - x) – 2x + 3.
Rozwiązanie
a) y = 5(x2 – 2x + 1) – 5
y = 5x2 –10x + 5 – 5
y = 5x2 – 10x
a = 5 b = -10 c = 0
b) y = x2 – 3x – 15
a = b = -3 c = -15
c) y = -3(x2 – 3x - 2x + 6)
y = -3x2 + 15x – 18
a = -3 b = 15 c = -18
d) y = 2x – 2x2 – 2x + 3
y = -2x2 + 3.
a = -2 b = 0 c = 3
y = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c Î R i a ¹ 0 to postać ogólna funkcji kwadratowej.
y = a(x – p)2 + q, gdzie p,q oznaczają współrzędne wierzchołka tej paraboli to postać kanoniczna funkcji kwadratowej.
Ćwiczenie 1
Rozwiąż zadania : 1, 2 str. 230 z podręcznika.
Jeżeli wzór funkcji kwadratowej zapisany jest w postaci ogólnej to wartość współczynnika c informuje nas, jaka jest druga współrzędna punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią y. Wykres funkcji y = ax2 + bx + c przecina oś y w punkcie (0,c).
Np. y = 2x2 + 4x - 1
Ćwiczenie 2
Rozwiąż zadania : 3, 4 str. 230 z podręcznika.
Jeżeli wzór funkcji kwadratowej zapisany jest w postaci kanonicznej to wartości p i q informują nas, jakie są współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
Np. y = 2(x – 2)2 - 1 (żółty) p = 2 q = -1
y = 2(x – 3)2 + 1 (zielony) p = 3 q = 1
y = 2(x + 1)2 – 3 (czerwony) p = -1 q = -3
y = 2x2 (niebieski) p =0 q = 0
Współrzędne (p, q)wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej y =ax2 + bx +c można obliczyć korzystając ze wzorów:
(p)
(q) gdzie D = b2 – 4ac.
Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = x2 + 3x + 2. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.
a = b = 3 c = 2
=
D = b2 – 4ac = 32 – 4*()*2 = 9 + 3 = 12
Współrzędne wierzchołka (12, 8)
Postać kanoniczna y = (x - 12)2 + 8.
Ćwiczenie 3
Rozwiąż zadania: 5, 7 str. 231 z podręcznika.
Aby obliczyć druga współrzędną wierzchołka paraboli, nie musimy korzystać ze wzoru . Czasami łatwiej obliczyć ją, podstawiając pierwsza współrzędną wierzchołka do wzoru funkcji, czyli korzystając z równości yw = f(xw).
Przykład
Naszkicuj wykres funkcji y = x2 + 4x – 12 i określ jej monotoniczność.
a = 1 b = 4 c = -12
Ponieważ współczynnik a = 1 jest liczba dodatnią, więc ramiona paraboli są skierowane w górę.
Obliczamy
Drugą współrzędną obliczamy podstawiając xw = -2 do wzoru funkcji
yw = f(-2) = (-2)2 + 4*(-2) – 12 = 4 – 8 – 12 = -16
Mając współrzędne wierzchołka (-2, -16) oraz punktu przecięcia paraboli z osią y (0, -12) zaznaczamy je w układzie współrzędnych i szkicujemy wykres funkcji. Następnie z wykresu odczytujemy przedziały monotoniczności.
Funkcja jest malejąca w przedziale (-¥ ; -2> i jest rosnąca w przedziale <-2 ; + ¥).
Jeżeli a< 0, to funkcja y = ax2 + bx + c przyjmuje wartość największą.
Wartość największa funkcji
Argument, dla którego przyjmowana
jest największa wartość
Jeżeli a > 0, to funkcja y = ax2 + bx + c przyjmuje wartość najmniejszą.
Najmniejsza wartość funkcji
jest najmniejsza wartość
Ćwiczenie 4
Rozwiąż zadania: 8, 9,10 str. 231 z podręcznika.
Znając wzór funkcji kwadratowej , możemy ustalić jej własności, wykonując odpowiednie obliczenia. Przydaje się przy tym umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych. I tak :
1) aby sprawdzić, jakie miejsca zerowe ma dana funkcja , wystarczy rozwiązać równanie
ax2 + bx + c = 0
2) aby obliczyć, dla jakich argumentów dana funkcja przyjmuje określoną wartość k, wystarczy rozwiązać równanie
ax2 + bx + c = k
3) aby znaleźć współrzędne punktów przecięcia wykresu rozważanej funkcji z wykresem innej funkcji, wystarczy rozwiązać układ równań złożony z równań obu tych funkcji.
1) Ile miejsc zerowych ma funkcja y = 9x2 + 12x + 11? Wyznacz je.
2) Dla jakich argumentów funkcja y = 2x2 + 15x + 5 przyjmuje wartość -20 ?
3) Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji: y = 6x2 – 6x – 7 i y = x – 4.
1) 9x2 + 12x + 11 = 0
a = 9 b = 12 c = 11
D = b2 – 4ac = 122...
marysiari