Układy równa, z których jedno jest stopnia drugiego
Układy równań, z których jedno jest stopnia drugiego i jedno jest stopnia pierwszego rozwiązuje się metodą podstawiania. Oznacza to, że z równania stopnia pierwszego wyznaczamy jedną z niewiadomych i podstawiamy ją do drugiego równania. Wyjaśnię to na kilku przykładach.
1. Rozwiąż układ równań
Rozwiązanie
Wyznaczamy z drugiego równania jedną z niewiadomych, np. x = 1 + y. Podstawiamy to wyrażenia do pierwszego równania otrzymując
(1 + y)2 + y2 = 25.
Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia do nawiasu otrzymujemy
1 + 2y + y2 + y2 =25
2y2 + 2y –25 + 1 = 0
Po uporządkowaniu i obustronnemu podzieleniu przez 2 mamy
y2 + y – 12 = 0
Jest to równanie kwadratowe, które należy rozwiązać, aby wyznaczyć y.
a = 1 b = 1 c = -12
D = b2 – 4ac = 12 - 4×1×(-12) = 1 + 48 = 49
Ponieważ D > 0, więc równanie ma dwa różne rozwiązania
lub
Wyznaczone wartości podstawiamy do równania x = 1 + y i obliczamy
x1 = 1 + (-4) i x2 = 1 + 3
x1 = -3 i x2 = 4
Rozwiązaniami tego układu równań są pary liczb (-3, -4) i (4, 3).
2. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań
-x2 + 2x + 3 = 0
a = -1 b = 2 c = 3
D = b2 – 4ac = 22 - 4×3×(-1) = 4 + 12 = 16
Rozwiązanie :
Wykresem równania y = x2 – x – 2 jest parabola, gdzie D = b2 – 4ac = (-1)2 - 4×(-2) = 1 + 8 =9 i stąd współrzędne wierzchołka są równe
p =
q =
Wykresem równania y = x + 1 jest prosta.
Wykresy obu równań przecinają się w dwóch punktach. Współrzędne tych punktów są zgodne z wynikiem rozwiązania algebraicznego.
3. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań
-x2 + 5x - 4 = 0
a = -1 b = 5 c = -4
D = b2 – 4ac = 52 - 4×(-4)×(-1) = 25 - 16 = 9
Wykresem równania xy = 4 lub y = jest hiperbola, natomiast wykresem y + x = 5 jest linia prosta.
Układ równań, z którego jedno jest stopnia pierwszego, a drugie stopnia drugiego może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie albo może ich nie mieć wcale:
a) układ ma dwa rozwiązania, gdy przez podstawienie sprowadza się do równania kwadratowego, dla którego D > 0, a ilustracja graficzna przedstawia wtedy prostą przecinającą krzywą (np. okrąg, parabolę, hiperbolę) w dwóch punktach,
b) układ ma jedno rozwiązanie, gdy przez podstawienie sprowadza się do równania kwadratowego, dla którego D = 0, a ilustracja graficzna przedstawia wtedy prostą mającą dokładnie jeden punkt wspólny z dana krzywą,
c) układ nie ma rozwiązań, gdy przez podstawienie sprowadza się do równania kwadratowego, dla którego D < 0, a ilustracja graficzna przedstawia wtedy prostą i krzywą nie mające punktów wspólnych.
Ćwiczenie 1
Rozwiąż układy równań :
a)
b)
marysiari