1 Podstawy algebry logiki
1.1 Funkcje logiczne
Funkcja logiczna oraz jej argumenty mogą przyjmować tylko dwie wartości umownie nazwane przez 0 i 1.
y= f (a, b, c, ... , x) gdzie y, a, b, c, ... , z = 0, 1
Zmienna dwuwartościowa nazywa się również zmienną binarną.
Na zmiennych binarnych można określić następujące funkcje logiczne:
- negację zmiennej y = x'
- sumę logiczną y = a + b... + x
- iloczyn logiczny y = a b ... z
- negację sumy logicznej y = ( a + b ... + x )'
- negację iloczynu logicznego y = ( a b ... x )'
- sumę modulo dwa y = a xor b = a b' + a' b
- równoważność y = a x nor b = a' b' + a b
Wartości funkcji dwuargumentowych podane są w poniższej tabeli.
a b
a'
b'
a + b
ab
(a+b)'
(ab)'
a xor b
a xnor b
0 0
1
0
0 1
1 0
1 1
1.2 Elementy logiczne
rys . 1.1 Symbole elementów logicznych ( bramek )
a ) NOT ( nie ) - negacja ( inwerter )
b ) OR ( lub ) - suma logiczna
c ) AND ( i ) - iloczyn logiczny
d ) NOR ( nie - lub ) - negacja sumy logicznej
e ) NAND ( nie -i ) - negacja iloczynu logicznego
f ) XOR ( wyłącznie albo - lub ) - suma modulo dwa
g ) XNOR ( nie - albo ) - równoważność
1.3 Prawa algebry logiki
prawo podwójnej negacji : (a')' = a
prawa sumy logicznej :
a + a = a
a + 1 = 1
a + 0 = a
a + a' = 1
a' + a' = a'
prawa iloczynu logicznego :
a a = a a 1 = a a 0 = 0 a a' = 0 a' a' = a'
prawa de Morgana :
(a b c x)' = a' + b' + c' + x'
(a + b +c + x)' = a' b' c' x'
1.4 Przekształcanie funkcji logicznych
Dowolna funkcja logiczna może być zapisana w postaci analitycznej lub tabelarycznej. Przekształcenie funkcji do postaci analitycznej uproszczonej nazywa się jej minimalizacją.
Przykład :
Zminimalizuj oraz przedstaw w postaci tabelarycznej funkcję :
y = b' + (a + x) ( a + x')
y = b' + (a + x) ( a + x') = b' + aa + ax' + xa + xx' = b' + a ( 1 + x' + x ) + 0 = b' + a1 + 0 = b' + a
a
b
y
Przekształcenie odwrotne funkcji tzn. z postaci tabelarycznej do analitycznej dokonuje się za pomocą tzw. tablic Karnaugha. Przekształcenie funkcji logicznych oraz ich konwersje umożliwiają programy komputerowe np. Elektronics Workbench. Konwerter logiczny tego programu (rys.1.2) pozwala na :
- wyznaczanie postaci tabelarycznej funkcji na podstawie jej zapisu analitycznego
- wyznaczenie postaci analitycznej na podstawie tabelki stanów
- przyłączenie zewnętrznego układu logicznego i wyznaczenie jego funkcji logicznej w dowolnej postaci.
rys.1.2 Konwerter logiczny
1.5 Blok kontrolny
1. Zminimalizuj analitycznie wyrażenia logiczne:
( ab + (ab' ))' , (a + b ) ( a' + b') , a xor a , a xor a' , ax + ax', (a + b) ( ab )'
2. Zapisz w tabeli stanów funkcję y = ab' + c + bc.
3. Za pomocą konwertera logicznego programu Elestronics Workbench dokonaj konwersji zadanych funkcji
logicznych.
4. Za pomocą konwertera logicznego sprawdź działanie bramek logicznych.
Wiadomości do zrozumienia i zapamiętania :
pojęcie funkcji logicznej , podstawowe funkcje logiczne , prawa algebry logiki i ich zastosowanie do przekształcania funkcji logicznych , symbole bramek logicznych.
hantajo