Frączek K - Analiza Matematyczna II.pdf

(1245 KB) Pobierz
59035245 UNPDF
UniwersytetMiko“ajaKopernikawToruniu
Wydzia“MatematykiiInformatyki
KrzysztofFr¡czek
AnalizaMatematycznaII
Wyk“addlastudent ó wIIroku
kierunkuinformatyka
Toru«2009
59035245.008.png
Spistre–ci
1Przestrzeniemetryczne 1
1.1Granicafunkcjiifunkcjeci¡g“e.................13
2Rachunekr ó »niczkowyfunkcjiwieluzmiennych 19
2.1Pochodnewy»szychrzƒd ó w....................30
2.2Ekstremalokalne.........................35
2.3Funkcjeuwik“ane.........................39
2.4Powierzchnie............................41
2.5Ekstremawarunkowe.......................42
3Ca“kaRiemanna 44
3.1Ca“kiiterowane..........................46
3.2Zamianazmiennych........................50
4R ó wnaniar ó »niczkowe 54
4.1Przyk“ady.............................54
4.2Cotojestr ó wnanier ó »niczkowezwyczajne?..........55
4.3Interpretacjageometryczna....................56
4.4R ó wnanieorozdzielonychzmiennych..............57
4.5Istnienieijednoznaczno–¢rozwi¡za«..............58
4.6Schematynumeryczne......................61
4.7R ó wnaniazupe“ne.........................65
4.8R ó wnanialiniowewy»szychrzƒd ó wosta“ychwsp ó “czynnikach66
1PRZESTRZENIEMETRYCZNE 1
1Przestrzeniemetryczne
u“o»y“
De nicja.Przestrzeni¡metryczn¡nazywamyparƒ(X,),gdzieXjestzbio-
remniepustym,za–:X×X![0,+1)jestodwzorowaniespe“niaj¡cym
nastƒpuj¡cewarunki:
(a)(x,y)=0()x=y,
(b)(x,y)=(y,x)dladowolnychx,y2X,
(c)(x,z)(x,y)+(y,z)dladowolnychx,y,z2X(nier ó wno–¢tr ó jk¡ta).
Elementyprzestrzenimetrycznejnazywamypunktami,odwzorowanieme-
tryk¡,awarto–¢(x,y)odleg“o–ci¡pomiƒdzypunktamixiywmetryce.
Przyk“ad.WprzestrzeniR
d odwzorowanie
t
X
1 ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d ))=
(x k −y k ) 2
k=1
jestmetryk¡,zwan¡metryk¡euklidesow¡.Warunki(a)i(b)s¡spe“nionew
spos ó boczywisty.Abyudowodni¢nier ó wno–¢tr ó jk¡tapotrzebnenamjest
nastƒpuj¡cetwierdzenie.
Twierdzenie1.1.(nier ó wno–¢Schwartza)Dladowolnychliczbrzeczywi-
stycha 1 ,...,a d ,b 1 ,...,b d zachodzinier ó wno–¢
d X
! 2
d X
! d X
!
a k b k
a 2 k
b 2 k
.
k=1
k=1
k=1
Dow ó d.Dladowolnegot2Rzachodzinier ó wno–¢
X
d
(a k t−b k ) 2 0.
k=1
Zatemtr ó jmiankwadratowy
d X
!
d X
!
d X
!
X
(a k t−b k ) 2 =
a 2 k
t 2 −2
b 2 k
w(t)=
a k b k
t+
k=1
k=1
k=1
k=1
jestnieujemny,awiƒcjegowyr ó »nik0.Poniewa»
d X
! 2
d X
! d X
!
a 2 k
b 2 k
=4
a k b k
−4
,
k=1
k=1
k=1
wiƒcznier ó wno–ci0wynikaju»nier ó wno–¢Schwartza.
d
d
59035245.009.png 59035245.010.png 59035245.011.png
1PRZESTRZENIEMETRYCZNE 2
Wniosek1.2.Dladowolnychliczbrzeczywistycha 1 ,...,a d ,b 1 ,...,b d zacho-
dzinier ó wno–¢
t
X
t
X
d
t
X
d
(a k +b k ) 2
a 2 k +
b 2 k .
k=1
k=1
k=1
Dow ó d.Podnosz¡cobiestronynier ó wno–cidokwadratuotrzymujemynie-
r ó wno–¢r ó wnowa»n¡
X
X
t
X
d
t
X
d
X
(a k +b k ) 2
a 2 k +2
a 2 k
b 2 k +
b 2 k
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
m
t
t
X
d
X
d
X
d
2
a k b k 2
a 2 k
b 2 k ,
k=1
k=1
k=1
atanier ó wno–¢wynikanatychmiastznier ó wno–ciSchwartza.
Terazmo»emyudowodni¢nier ó wno–¢tr ó jk¡tadlametryki 1 .Niech
x=(x 1 ,...,x d ),y=(y 1 ,...,y d )orazz=(z 1 ,...,z d )bƒd¡dowolnymi
elementamiprzestrzeniR
t
X
t
X
t
X
d
(x,z)=
(a k +b k ) 2
a 2 k +
b 2 k = 1 (x,y)+ 2 (y,z).
k=1
k=1
k=1
WprzestrzeniR
d mo»nawprowadzi¢innemetryki,np.
X
d
2 ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d ))=
|x k −y k |metrykamiejska,
k=1
3 ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d ))=max
1kd |x k −y k |.
‚ wiczenie.Sprawdzi¢,»eodwzorowania 2 i 3 s¡metrykami.
De nicja.Za“ ó »my,»eXjestprzestrzeni¡liniow¡nacia“emR(C).W ó wczas
norm¡naXnazywamyodwzorowaniek·k:X![0,+1)spe“niaj¡ce
nastƒpuj¡cewarunki:
(a)kxk=0()x=0,
d
d
d
d
d .Po“ ó »myw ó wczasa k =y k −x k ib k =z k −y k .
Wtedya k +b k =z k −x k ,azatem
d
d
59035245.001.png 59035245.002.png 59035245.003.png 59035245.004.png 59035245.005.png 59035245.006.png
1PRZESTRZENIEMETRYCZNE 3
(b)kxk=||kxkdladowolnychx2Xoraz2R(C),
(c)kx+ykkxk+kykdladowolnychx,y2X(nier ó wno–¢tr ó jk¡ta).
Parƒ(X,k·k)nazywamyprzestrzeni¡unormowan¡.Zprzestrzeni¡unor-
mowan¡mo»nanaturalniestowarzyszy¢metrykƒ
(x,y)=kx−yk.
‚ wiczenie.Sprawdzi¢,»ejestfaktyczniemetryk¡.
Uwaga.Metryki 1 , 2 i 3 pochodz¡odnastƒpuj¡cychnorm
t
X
d
k(x 1 ,...,x d )k=
x 2 k ,
k=1
X
k(x 1 ,...,x d )k 2 =
|x k |,
k=1
k(x 1 ,...,x d )k 3 =max
1kd |x k |.
Pomiƒdzytyminormamizachodz¡nastƒpuj¡cezale»no–ci
t
X
X
1kd |x k |
x 2 k
|x k |nmax
1kd |x k |,
k=1
k=1
tzn.
kxk 3 kxkkxk 2 nkxk 3 .
Zatemwszystkietrzynormys¡r ó wnowa»ne.
Uwaga.Niech(X,)bƒdzieprzestrzeni¡metryczn¡orazAXpodzbiorem
niepustym.W ó wczasfunkcjaobciƒtadozbioruA×Ajestmetryk¡na
zbiorzeA.Metryk¡naprzestrzeniAnazywamymetryk¡indukowan¡.
De nicja.Niech(X,)bƒdzieprzestrzeni¡metryczn¡.Dladowolnegoele-
mentux 0 2Xorazr >0kul¡domkniƒt¡o–rodkuwx 0 ipromieniur
nazywamyzbi ó r
K(x 0 ,r)={x2X:(x 0 ,x)r},
akul¡otwart¡o–rodkuwx 0 ipromieniurnazywamyzbi ó r
B(x 0 ,r)={x2X:(x 0 ,x)< r}.
Przyk“ad.NaRwszystkiemetryki 1 , 2 , 3 s¡sobier ó wne,akules¡postaci
K(x 0 ,r)=[x 0 −r,x 0 +r]orazB(x 0 ,r)=(x 0 −r,x 0 +r).DlaR
2 kulew
odpowiednichmetrykachwygl¡daj¡nastƒpuj¡co:
d
d
d
max
59035245.007.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin