Bobiński Grzegorz - Algebra II.pdf

(253 KB) Pobierz
2971483 UNPDF
AlgebraII—Wykład
1
§0.Przypomnienie
Oznaczenie.
[i,j]:={k2Z|ikj}dlai,j2Z.
Definicja.
ZbiórRzdziałaniami+,·:R×R!R,wyró»nionymielementami0,12Ri
operacj¡−:R!Rnazywamypier±cieniem,je±lispełniones¡nast¦puj¡ce
warunki:
(1)8a,b,c2R:a+(b+c)=(a+b)+c,
(2)8a2R:a+0=a=0+a,
(3)8a2R:a+(−a)=0=(−a)+a,
(4)8a,b2R:a+b=b+a,
(5)8a,b,c2R:a(bc)=(ab)c,
(6)8a2R:a·1=a=1·a,
(7)8a,b2R:ab=ba,
(8)8a,b,c2R:a(b+c)=ab+ac^(a+b)c=ac+bc.
Definicja.
Elementapier±cieniaRnazywamydzielnikiemzera,je±lia 6=0oraz
istniejeelementb2R,b 6=0,taki,»eab=0.
Definicja.
Pier±cie«Rnazywamydziedzin¡(całkowito±ci),je±li06=1orazw
pier±cieniuRniemadzielnikówzera.
Stwierdzenie.
Je±lia,bics¡elementamidziedzinyRtakimi,»eac=bcorazc 6=0,to
a=b.
Definicja.
Elementapier±cieniaRnazywamyodwracalnym,je±liistniejeelement
b2Rtaki,»eab=1.
Oznaczenie.
Zbiórelementówodwracalnychpier±cieniaRoznaczamyR × .
Uwaga.
Je±liRjestpier±cieniem,tozbiórR × jestgrup¡zewzgl¦dunamno»enie.
Definicja.
Elementapier±cieniaRnazywamynieodwracalnym,je±lia 6=0oraz
elementaniejestodwracalny.
AlgebraII—Wykład
2
Definicja.
Pier±cie«Rnazywamyciałem,je±li06=1orazwpier±cieniuRniema
elementównieodwracalnych.
Definicja.
PodzbiórIpier±cieniaRnazywamyideałem,je±lispełniones¡nast¦puj¡ce
warunki:
(1)02I,
(2) a,b2I=)a+b2I,
(3) a2R^b2I=)ab2I.
Definicja.
IdeałIpier±cieniaRnazywamywła±ciwym,je±liI 6=R.
Definicja.
Najmniejszyideałpier±cieniaRzawieraj¡cypodzbiórXRnazywamy
ideałemgenerowanymprzezzbiórXioznaczamy(X).
Oznaczenie.
Je±lia 1 ,...,a n s¡elementamipier±cieniaR,to
(a 1 ,...,a n ):=({a 1 ,...,a n }).
Definicja.
IdeałIpier±cieniaRnazywamygłównym,je±liistniejeelementa2Rtaki,
»eI=(a).
Definicja.
Dziedzin¦Rnazywamydziedzin¡ideałówgłównych,je±liwszystkie
ideaływpier±cieniuRs¡główne.
Oznaczenie.
NiechXiYb¦d¡podzbioramipier±cieniaR,a2R.Definiujemy
X+Y:={x+y|x2X, y2Y},
a+X:={a+x|x2X},
Xa:={xa|x2X}.
Stwierdzenie.
Je±lia 1 ,...,a n s¡elementamipier±cieniaR,to
(a 1 ,...,a n )=Ra 1 +···+Ra n .
Definicja.
PodzbiórSpier±cieniaRnazywamypodpier±cieniem,je±lispełniones¡
nast¦puj¡cewarunki:
AlgebraII—Wykład
3
(1)0,12S,
(2) a,b2S=)a+b,ab2S,
(3) a2S=)−a2S.
Definicja.
NiechRiSb¦d¡pier±cieniami.Funkcj¦':R!Snazywamyhomomor-
fizmempier±cienije±li
'(0)=0, '(a+b)='(a)+'(b),
'(1)=1, '(ab)='(a)'(b),
dladowolnychelementówa,b2R.
Definicja.
Je±li':R!Sjesthomomorfizmempier±cieni,toj¡dremhomomorfizmu
'nazywamyzbiór
Ker':={a2R|'(a)=0}.
Uwaga.
Je±li':R!Sjesthomomorfizmempier±cieni,tozbiórKer'jestideałem
pier±cieniaR.
Definicja.
Je±li':R!Sjesthomomorfizmempier±cieni,toobrazemhomomorfi-
zmu'nazywamyzbiór
Im':={'(a)|a2R}.
Uwaga.
Je±li':R!Sjesthomomorfizmempier±cieni,tozbiórIm'jestpodpier-
±cieniempier±cieniaS.
Definicja.
Homomorfizmpier±cieni':R!Snazywamymonomorfizmem,je±lifunk-
cja'jestinjekcj¡.
Uwaga.
Homomorfizmpier±cieni':R!Sjestmonomorfizmemwtedyitylkowtedy,
gdyKer'=0:={0}.
Definicja.
Homomorfizmpier±cieni':R!Snazywamyepimorfizmem,je±lifunkcja
'jestsurjekcj¡.
AlgebraII—Wykład
4
Uwaga.
Homomorfizmpier±cieni':R!Sjestepimorfizmemwtedyitylkowtedy,
gdyIm'=S.
Definicja.
Homomorfizmpier±cieni':R!Snazywamyizomorfizmem,je±liistnieje
homomorfizm :S!Rtaki,»e '=Id R i' =Id S .
Uwaga.
Homomorfizmpier±cieni':R!Sjestizomorfizmemwtedyitylkowtedy,
gdyjestmonomorfizmemiepimorfizmem.
Uwaga.
Je±liSjestpodpier±cieniempier±cieniaR,tofunkcjaS!R,s 7!s,jest
monomorfizmem.Zdrugiejstrony,je±li':S!Rjestmonomorfizmem
pier±cieni,tofunkcjaS!Im',s 7!'(s),jestpoprawnieokre±lonaijest
izomorfizmempier±cieni.
Definicja.
IdeałIpier±cieniaRnazywamypierwszym,je±liI 6=Rorazspełnionyjest
warunek
ab2I=)a2I_b2I.
Definicja.
IdeałIpier±cieniaRnazywamymaksymalnym,je±liI 6=Rorazspełniony
jestwarunek
Jjestideałempier±cieniaR^IJ=)J=I_J=R.
Uwaga.
Ka»dyideałmaksymalnyjestpierwszy.
Uwaga.
Je±liIjestideałemwła±ciwympier±cieniaR,toistniejeideałmaksymalnyJ
pier±cieniaRtaki,»eIJ.
AlgebraII—Wykład
5
§1.Teoriapodzielno±ciwdziedzinach
Zało»enie.
PrzezcałyparagrafRoznacza¢b¦dziedziedzin¦.
Definicja.
Mówimy,»eelementa2Rdzielielementb2R(piszemya|b),je±li
istniejeelementc2Rtaki,»eb=ca.
Oznaczenie.
Je±lia,b,c2R,a 6=0,ib=ac,to b a :=c(przypomnijmy,»eelementcjest
jednoznaczniewyznaczony).
Uwaga.
Je±lidziedzinaRjestpodpier±cieniemciałaK,a,b2Roraza 6=0,toa|b
wtedyitylkowtedy,gdya −1 b2R(iwtedy b a =a −1 b).
Przykład.
Je±lia2R,toa|a( a a =1oilea 6=0),1|a( a 1 =a)oraza|0( 0 a =0oile
a 6=0).
Uwaga.
Je±lia,b,c2R,a|borazb|c,toa|c.
Definicja.
Mówimy,»eelementya,b2Rs¡stowarzyszone(piszemyab),je±li
a|bib|a.
Przykład.
Niecha,b2Z.Wtedyabwtedyitylkowtedy,gdya=±b.
Przykład.
Je±lia2R,toa|1wtedyitylkowtedy,a2R × .Zatema1wtedyitylko
wtedy,gdyelementa2R × .
Przykład.
Je±lia2R,to0|awtedyitylkowtedy,gdya=0.Zatema0wtedyi
tylkowtedy,gdya=0.
Stwierdzenie1.1.
Je±lia,b2R,to:
(1) a|bwtedyitylkowtedy,gdy(b)(a),
(2) abwtedyitylkowtedy,gdy(a)=(b),
(3)jestrelacj¡równowa»no±ci,
(4) abwtedyitylkowtedy,gdyistniejeelementodwracalnyc2Rtaki,

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin