mer-toc.pdf

(107 KB) Pobierz
Olsztyn,Toru«.WydawnictwoOWSIiZ,2010
Podró»epoImperiumLiczb
08LiczbyMersenne’a,Fermata
iinneliczby
AndrzejNowicki
http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Aktualizacja: 20 maja 2012
Wst¦p
1
1LiczbyMersenne’a
5
1.1
Pocz¡tkowe informacje o liczbach Mersenne’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Cyfry liczb Mersenne’a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Twierdzenie o najwi¦kszym wspólnym dzielniku liczb Mersenne’a
. . . . . . . . . . .
9
1.4
Liczby Mersenne’a i liczby pierwsze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5
Dzielniki pierwsze liczb Mersenne’a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.6
Podzielniki postaci n + k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.7
Liczby M kn /M k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.8
Ró»ne fakty i zadania o podzielno±ci i liczbach Mersenne’a
. . . . . . . . . . . . . . .
17
2Liczbypostacia n -b n
19
Ogólne własno±ci liczb a n - b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
19
Liczby postaci a n - 1
2.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Liczby 3 n - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
24
Liczby 5 n - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
26
2.5
Liczby 6 n - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Liczby 7 n - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
28
Liczby 11 n - 1
2.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Inne liczby postaci a n - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8
31
Liczby postaci (a+1) n - a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9
31
2.10
Liczby a n - a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.11
Liczby pseudopierwsze i liczby Carmichaela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3Liczby11...1(repunits)
37
3.1
Liczby pierwsze postaci e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2
Rozkłady na czynniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.3
Równo±ci z liczbami e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.4
Liczby e n i relacja podzielno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.5
Liczby e n i wielomiany
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6
Ró»ne fakty i zadania z liczbami e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.7
Liczby jedynkowe w innych systemach numeracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1
1064868715.001.png
 
4Rozwini¦cialiczbwymiernych
47
4.1
Rozwini¦cia liczb rzeczywistych przy danej podstawie
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.2
O q -dzielnikach i q -kodzielnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3
Rozwini¦cia sko«czone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.4
Rozwini¦cia okresowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.5
Przykłady rozwini¦¢ dziesi¦tnych ułamków prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.6
Przykłady q -rozwini¦¢ ułamków prostych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5Okresyrozwini¦¢liczbwymiernych
67
5.1
Specjalne liczby pierwsze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.2
Długo±¢ okresu zasadniczego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.3
Długo±¢ okresu zasadniczego sumy dwóch liczb wymiernych . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.4
Okresy zasadnicze i podzielno±¢ przez 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.5
Okresy o parzystych długo±ciach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.6
Okresy zasadnicze o długo±ciach podzielnych przez 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.7
Cykliczno±¢ okresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6Liczbypostacia n +b n
95
Podzielno±¢ liczb a n + b n przez (a + b) s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
95
Podzielniki liczb a n + b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
97
Liczby a n + b n i nwd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
98
Liczby postaci a n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
100
Liczby 2 n + 1
6.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
6.6
Liczby 3 n + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Liczby 5 n + 1
6.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
Liczby 2 n + 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8
106
Liczby 2 n + 5 n i 2 n + 7 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9
108
Liczby 3 n + u n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10
110
Liczby 4 n + u n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11
112
Liczby 5 n + u n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.12
113
7LiczbyFermataiichuogólnienia
115
7.1
Liczby Fermata
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
Liczby postaci n2 n ± 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
119
Liczby postaci k2 n ± 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
120
Liczby postaci 2 n - a
7.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
7.5
Ró»ne fakty i zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
8Liczbytrójk¡tne
123
8.1
Własno±ci liczb trójk¡tnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
8.2
Cyfry liczb trójk¡tnych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
8.3
Sumy liczb trójk¡tnych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
8.4
Liczby trójk¡tne i ci¡gi arytmetyczne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
8.5
Równanie mt x = t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
8.6
Liczby trójk¡tne i liczby pierwsze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
8.7
Iloczyny i ilorazy liczb trójk¡tnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
8.8
Liczby trójk¡tne i liczby kwadratowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
8.9
Liczby trójk¡tne i trójki pitagorejskie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
8.10
Liczby trójk¡tne i liczby pot¦gowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
8.11
Odwrotno±ci liczb trójk¡tnych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
8.12
Liczby tójk¡tne modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
8.13
Pseudo-Smarandache’a funkcja z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
2
8.14
Ró»ne fakty i zadania z liczbami trójk¡tnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
9Liczbytetraedralne,pi¦ciok¡tne, ...
139
9.1
Liczby tetraedralne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
9.2
Liczby pi¦ciok¡tne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
9.3
Liczby sze±ciok¡tne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
9.4
Liczby wielok¡tne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
10Sumyk-tychpot¦gkolejnychliczbnaturalnych
145
10.1
Sumy kolejnych liczb naturalnych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
10.2
Liczby i wielomiany Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
10.3
Liczby postaci s k (n) i równo±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
10.4
Liczby postaci s k (n) i symbole Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
10.5
Liczby postaci s k (n) i podzielno±¢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
10.6
Ró»ne fakty i zadania o sumach kolejnych k-tych pot¦g
. . . . . . . . . . . . . . . . .
156
Spiscytowanejliteratury
158
Skorowidznazwisk
164
Skorowidz
168
UniwersytetMikołajaKopernika,WydziałMatematykiiInformatyki,Toru«
Olszty«skaWy»szaSzkołaInformatykiiZarz¡dzania,Olsztyn
3
1064868715.002.png
 
Skorowidz
Abramowicz W.S., 151, 157
Alexanderson G.L., 42
Alford W.R., 36
Allison D., 157
Anderson I., 154
Andreescu T., 42, 158
Andrews G.E., 144
Andrica D., 158
Apostol T.M., 147, 154
Armengaud J., 11
Artin E., 69
Aucoln A.A., 157
Aude H.T.R., 70
Cooper C., 11
Crocker R., 36
Cross T., 132
Cucurezeanu I., 158
Czakyrjan K., 159
Davenport H., 158
Dawson T.R., 125
Delany J., 156
Desbrow D., 153
Dickson L.E., 82, 94, 98, 141, 156, 158
Djuki¢ D., 159
Doduniekow S., 159
Donald J.P., 136, 137
Drobot V., 157
Dubner H., 37, 46, 102
Dynkin E.B., 159
Dynkin J., 159
Balfour A., 94
Baxter L., 37
Beardon A.F., 157
Bednarek W., 43, 101
Beiler A., 37
Beldon T., 132
Bell E.T., 127
Belov A., 159
Bendukidze A.D., 144
Bernik V.I., 158
Beschorner K., 39
Boltianski W.G., 158
Boncler T., 97
Boone S., 11
Braza P.A., 132
Breiteig T., 137
Brent R., 39
Brillhart J., 37, 46
Browkin J., 137, 158
Bry«ski M., 158
Burrows B.L., 157
Elvenich H-M., 11
Erdos P., 36, 121, 149, 151
Euler, 11, 14, 117, 132, 133, 149
Ewell J.A., 128
Fedorov R., 159
Feigelstock S., 13
Feldman A.M., 163
Feng Z., 158
Fermat, 14, 133
Finch C.E., 119
Findley J., 11
Fomin D.V., 159
Frankel A.S., 132
Gage P., 11
Galpierin G.A., 159
Gardiner T., 132
Garmer C., 147
Gauss, 116, 126
Gelca R., 42, 158
Gelfand S.I., 159
Genkin S.A., 159
Gerwer M.L., 159
Gessel I., 157
Giblin B., 159
Gillies D.B., 11
Ginsberg B.D., 83, 85, 86, 159
Goldbach, 116
Gould H.W., 151, 157
Graham R.L., 159
Caldwell Ch.K., 158
Cameron M., 11
Carlitz L., 150, 151, 157
Carmichael R.D., 35, 36, 119
Cataldi P., 11
Cgristiano J.G., 157
Charzy«ski Z.K., 157
Chentzov N.N., 163
Childers G., 39
Chorlton F., 157
Clarkson R., 11
Cohen H., 151, 158
Colquitt, 11
4
LiczbyMersenne’aiinne. Skorowidznazwisk
5
Granlund G., 39
Granlund T., 102
Granville A., 36
Green R.E., 61
Gribanow W.U., 159
Grin H., 159
Grigorjan A.A., 162
Gurewicz W.J., 163
Guy R.K., 36, 119, 121, 144, 157, 159
Kummer E., 150
Kurlandczyk L., 157
Kurokawa N., 160
Landry F., 117
Larson L.C., 42
Leavitt W.G., 82
Lehmer D.H., 12, 46
Leman W.G., 158
Lemmermeyer F., 160
Levy L.S., 157
Lewittes J., 82, 88, 94
Ligh S., 8
Linkowski J., 157
Lisicki A., 157
Livingston A.E., 35
Livingston M.L., 35
Lord N., 130
Luca F., 119
Lucas E., 11, 12, 145, 152
Hajratwala N., 11
Hardy G.H., 51, 57, 61, 70, 94, 159
Hatch G., 133
Hayashi E.K., 39
Hirose S., 144
Hoggatt Jr. H.E., 133
Homann J., 51
Hsia C., 61
Hurwitz A., 11
Ireland K., 159
Ishida N., 24
Ishikawa T., 24
Itenberg I.W., 159
Marzantowicz W., 160
Mason T.E., 147
Mastalerz A., 51
Mati¢ I., 159
Maxfield J., 156
Maxfield M., 156
McGiert J., 70
Melnikow O.W., 158
Mercier A., 160
Mersenne M., 5
Michajłow I., 127, 147
Midy E., 77, 82
Mikusi«ski J., 157
Mitrinovi¢ D.S., 160
Mnich W., 125, 141
Mołczanow S.A., 159
Mollin R.A., 160, 161
Mordell L.J., 161
Morozowa E.A., 161
Moser L., 134
Motose K., 161
Munch O.J., 149
Jacobi, 152
Jajte R., 159
Jankovi¢ V., 159
Jeans J.H., 14
Jegorow A.A., 163
Jele«ski S., 159, 160
Jensen K.L., 150
Jones L., 119
Józefiak T., 125
Kamada M., 39
Kanel-Belov A.J., 159
Kaplansky I., 13
Karczewska K., 18
Kato K., 160
Kedlaya K.S., 160
Keedwell D., 132
Keller W., 118, 160
Kiryłow A.A., 159
Klosinski L.F., 42
Knuth D.E., 159
Koide Y., 39
Koninck De J.-M., 160
Konjagin S.W., 162
Kostrykin A.I., 160
Kovaldzhi A., 159
Krysicki W., 159
Kulikov L.J., 160
Nagell T., 122
Narkiewicz W., 8, 36, 161
Nathanson M.B., 144, 161
Neal L., 8
Nelson, 11
Nickel L., 11
Noll L.C., 11
Nowak M., 11

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin