01_Podstawy_teoretyczne.pdf

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. 

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1.1. Wprowadzenie

W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały

opisane bardziej szczegółowo w innych opracowaniach wykładów. My zajmiemy się tymi, które przydatne

będą w zrozumieniu późniejszych przekształceń macierzowych. Ponadto przypomnimy podstawowe

zagadnienia z teorii sprężystości.

1.2. Podstawowe działania na macierzach

Przyjmijmy, że macierz [D] jest macierzą cosinusów kierunkowych

[ D ] = [  i ' j ]

(1.1)

Wówczas macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna)

[ D ] − 1 ≡ [ D ] T

(1.2)

Wektor to macierz wierszowa. Weźmy pod uwagę wektor o trzech składowych, który zapisujemy

ogólnie jako:

{ A }=[ A 1 A 2 A 3 ] 1 x3

(1.3)

Transponując wektor otrzymamy macierz (kolumnową) o wymiarach 1x3

[ A ] T =

[

A 1

A 2

A 3

] 3 × 1

(1.4)

Macierz odwrotna do danej to taka, która po przemnożeniu przez daną daje macierz jedynkową

{ A } − 1 ⋅{ A }=[ I ]

(1.5)

Macierz odwrotną obliczamy z zależności:

{ A } − 1 = 1

det { A } ⋅ [ − 1  i  j ⋅ M ij ]

(1.6)

gdzie M ij jest macierzą minorów

Przykład:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A, która jest określona następująco:

A =

{

1 − 1 3

3 3 4

2 − 1 5

}

Obliczamy wyznacznik macierzy A

det A = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 − 1 ⋅ 4 ⋅ 2  3 ⋅ 3 ⋅− 1 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 −− 1 ⋅ 4 ⋅ 1 − 5 ⋅ 3 ⋅− 1 =− 1

Wyznaczamy macierz minorów

M ij =

[

19 7 − 9

− 2 − 1 1

− 13 − 5 6

]

Następnie obliczamy wartość wyrażenia [ − 1  i  j ⋅ M ij ]

M ij =

[

19 2 − 13

− 7 − 1 5

− 9 − 1 6

]

Dla przykładu obliczymy dwie wartości z macierzy odwrotnej do danej macierzy A

− 1 ⋅ 19 =− 19

A 23 = 1

− 1 ⋅ 5 =− 5

W analogiczny sposób obliczamy pozostałe wyrazy macierzy odwrotnej. W rezultacie otrzymamy

końcową postać macierzy odwrotnej w postaci:

{ A } − 1 =

{

− 19 − 2 13

7 1 − 5

9 1 − 6

}

Mnożenie macierzy można przedstawić przy pomocy poniższych zapisów:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater

A 11 = 1

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

a) skalarnego (absolutnego)

 A ⋅  B = c

(1.7)

b) wskaźnikowego

c = A i ⋅ B i

(1.8)

c) macierzowego

 A →[ A ]=

A 1

A 2

A 3

] =[ A 1 A 2 A 3 ] T

[

]

 B →[ B ]=

B 1

B 2

B 3

(1.9)

[

] 3 × 1 =[ C ] 1 × 1

 A ⋅  B =[ A ] T [ B ]=[ A 1 A 2 A 3 ] 1 × 3 ⋅

B 1

B 2

B 3

Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn

pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej. Możemy to zapisać:

A [ m × n ] ⋅ B [ n × p ] = C [ m × p ]

(1.10)

Łatwo zatem zauważyć, że np. w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy

macierz także o wymiarach 3x3

[ A ] 3 × 3 [ B ] 3 × 3 =[ C ] 3 × 3

(1.11)

Wskaźnikowo mnożenie dwóch macierzy zapisujemy

A ij ⋅ B jk = C ik

(1.12)

Transpozycja iloczynu dwóch macierzy

 A B  T = B T A T

(1.12)

1.3. Działanie tensora na wektor

Tensor działa na wektor jako operator

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater

[

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

T  a =  b

T ij a j = b i

[ T ] 3 × 3 [ a ] 3 × 1 =[ b ] 3 × 1

(1.13)

co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaźnikowym oraz

wektorowym.

Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób:

 a ⋅ T = c [ a ] 3 × 1 [ T ] 3 × 3  niewykonalne

a i ⋅ T ij = c j [ a ] 1 × 3

[ T ] 3 × 3 =[ b ] 1 × 3

(1.14)

A i ' = i ' j A j [ A ' ]=[ D ][ A ]

A j = ji ' A i ' [ A ]=[ D ] T [ A ' ]

1.4. Transformacja tensora

Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie

obróconym. Postać macierzową wektora  b w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako

[ b ]=[ T ][ a ]

(1.15)

natomiast w układzie obróconym

[ b ' ]=[ T ' ][ a ' ]

(1.16)

Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób - odwołujemy się do (1.1):

[ b ' ]=[ D ][ b ]

[ b ]=[ D ] T [ b ' ]

[ a ]=[ D ] T [ a ' ]

(1.17)

podstawiamy do wzoru (1.16) i otrzymujemy

[ D ] T [ b ' ]=[ T ][ D ] T [ a ' ]

[ b ' ]=[ T ][ D ][ D ] T [ a ' ]

[ b ' ]=[ T ][ a ' ]

[ T ' ]=[ D ][ T ][ D ] T

(1.18)

1.5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych

w nawiązaniu do równań mechaniki kontinuum

1.5.1. Podstawowe równania liniowej sprężystości

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

W analizie będziemy przyjmować prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich [ 1,2,3 ] lub

[ x , y , z ]

Stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała, które poddano działaniu obciążenia opisujemy

w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, które po uporządkowaniu w macierz  ij

zapiszemy:

 ij =

[

 11  12  13

 21  22  23

 31  32  33

] (1.19)

Naprężenia, dla których i = j , czyli  11 ,  22 ,  33 przedstawiają naprężenia normalne.

Natomiast naprężenia, dla których i ≠ j , czyli  12 ,  21 ,  13 ,  31 ,  23 ,  32 przedstawiają

naprężenia styczne.

Tensor stanu naprężenia jest symetryczny, a więc zachodzą następujące zależności

 12 = 21  13 = 31  23 = 32

(1.20)

Wykorzystując fakt, że tensor stanu naprężenia jest symetryczny, możemy ten tensor zapisać w

postaci wektora

= [  xx  yy  zz  xy  xz  yz ]

(1.21)

Tutaj, jak poprzednio powtarzające się indeksy oznaczają składowe normalne, natomiast różne

odnoszą się do składowych stycznych.

Stan odkształcenia nawiązujący do opisu tensorowego możemy przedstawić w uporządkowanej

macierzy o składowych  ij

 ij =

[

 11  12  13

 21  22  23

 31  32  33

] (1.22)

Posługiwać się będziemy również wektorem odkształcenia  , którego składowe będą równe

= [  11  22  33  12  13  23 ]

(1.23)

Warto zauważyć, że w powyższym zapisie posługujemy się tzw. inżynierskimi definicjami

odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń. Opisują to

następujące związki

 12 =2 12  13 =2 13  23 =2 23

(1.24)

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: