Wzory 8.doc

Część I: Statystyki o rozkładzie t-Studenta i chi-kwadrat z n-elementowej próby prostej oraz o rozkładzie F-Snedecora z dwóch n1- i n2-elementowych prób prostych

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ, parametry m i σ nie są znane. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

3) Statystyka z próby jest zmienną losową ⇐n będącą funkcją zmiennych losowych (X1, X2,..., Xn), które to zmienne stanowią próbę losową prostą. Realizacje zmiennych losowych (X1, X2,..., Xn) w konkretnej, n-elementowej próbie tworzą ciąg obserwacji liczbowych zapisywanych jako (x1, x2,..., xn).

4) Statystyka z próby ⇐n wybrana do celów estymacji parametru nazywana jest estymatorem i oznaczana symbolem Tn. Realizacja estymatora Tn w n-elementowej próbie oznaczana jest symbolem tn i traktowana jest jako punktowa ocena szacowanego parametru.

Rozkład t-Studenta

Rozkład chi-kwadrat

Rozkład F-Snedecora

(1)

(2)

(3)

Statystyki t-Studenta, chi-kwadrat z n-elementowej próby prostej i F-Snedecora z n1- i n2-elementowych prób prostych:

wzór (8.1.1)

wzór (8.2.1)

wzór (8.3.1)

stopnie swobody: v = n - 1,

stopnie swobody: v = n - 1

stopnie swobody: v1 = n1 - 1

 v2 = n2 - 1lub

stopnie swobody:

v = n - 1,

stopnie swobody: v = n - 1,

stopnie swobody:      v1 = n1 - 1

v2 = n2 - 1

gdzie

Średnie arytmetyczne z próby prostej (z prób prostych)

wzór (8.1.2)

wzór (8.2.2)

wzór (8.3.2)

,

i = 1,..., n,

jak (8.1.2)

, i = 1,..., n1,

, i = 1,..., n2,

Wariancje obciążone z próby prostej (z prób prostych)

wzór (8.1.3)

wzór (8.2.3)

wzór (8.3.3)

jak (8.1.3)

Wariancje nieobciążone z próby prostej (z prób prostych)

wzór (8.1.4)

wzór (8.2.4)

wzór (8.3.4)

jak (8.1.4)

Związek wariancji obciążonych i wariancji nieobciążonych

wzór (8.1.5)

wzór (8.2.5)

wzór (8.3.5)

jak (8.1.5)

Związek wariancji nieobciążonych i wariancji obciążonych

wzór (8.1.6)

wzór (8.2.6)

wzór (8.3.6)

jak (8.1.6)

Funkcje gęstości

wzór (8.1.7)

wzór (8.2.7)

wzór (8.3.7)