Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja.pdf

Opadanie cząstek w płynie

Pojedyncza cząstka opadająca w płynie ruchem jednostajnym podlega działaniu trzech

sił równoważących się, tj. sile ciężkości, sile wyporu i sile oporu:

Siła ciężkości

G s







Siła wyporu







Siła oporu









Bilans sił można zapisać jako:

G 















skąd można obliczyć prędkość opadania cząstek kulistych w płynie:



 









lub średnicę opadającej cząstki kuliste j:









 







 , który jest wielkością zmienną i zależną od

liczby Reynoldsa cząstki, definiowanej zależnością:







gdzie właściwości odnoszą się do ośrodka, w którym odbywa się ruch.

Doświadczalnie stwierdzono, że cząstki mogą poruszać się w sposób laminarny,

przejściowy i burzliwy. Dla tych obszarów ruchu obowiązują specyficzne zależności

p ozwalające obliczać współczynnik oporu kształtu:

Obszar ruchu laminarnego,

Obszar Stokesa

Re



op 

Obszar ruchu przejściowego,

Obszar Allena

0 



500





Obszar ruchu burzliwego,

Obszar Newtona

Re

500



Na wykresie w skali podwójnie logarytmicznej zależność ta, dla wszystkich trzech

obszarów pokazana jest na poniższym rysunku:

Zastosowanie obu tych równań do obliczeń jest utrudnione, ze względu na

występowanie współczynnika oporu kształtu op

op 

1,E+06

1,E+05

1,E+04

1,E+03

1,E+02

1,E+01

1,E+00

1,E-01

1,E-04 1,E-02 1,E+00 1,E+02 1,E+04 1,E+06

Jeśli do zależności określającej siłę oporu działającej na cząstkę wstawić zależność dla

ruchu laminarnego, to otrzymuje się wzór:















znany jako równanie Stokesa . Po wykorzystaniu tego równania do bilansu sił i jego

przekształceniu otrzymuje się:



 









Postępując analogicznie w obszarze Allena uzyskuje się zależności:















 



























143

 

2857







714



781



4286



Natomiast w obszarze Newtona uzyskuje się:



p 





 











452

 







Wzory ujęte w ramki pokazują, że prędkość opadania różnie zależy od średnicy cząstki.

W obszarze Stokesa jest proporcjonalna do 2 p

d , w obszarze Allena do 143

d , a w obszarze

Newtona do

d . W postaci wykreślnej zależność ta przedstawiona jest na poniższym

rysunku

Obszar Stokesa

Obszar Allena

Obszar Newtona

Przedstawione powyżej równania są niewygodne do obliczeń projektowych, bo gdy

trzeba obliczyć prędkość lub gdy trzeba obliczyć średnicę opadającej cząstki, to równocześnie

trzeba znać obszar ruchu, w którym odbywa się opadanie. Zatem obliczenia można wykonać

jedynie zakładając ten obszar i po wykonaniu obliczeń sprawdzić poprawność założenia

(obliczyć wartość liczby Reynoldsa).

Innym sposobem przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy jest

następujące podejście. Z równania bilansowego:













wynika, że:





 







Mnożąc obie strony równania przez

Re otrzymuje się:

 













Zdefiniujmy bezwymiarową wielkość:

p g

 











jako liczbę Archimedesa. Zatem na podstawie dwóch powyższych zależności uzyskuje się

wzór:

3 2



op 

Zauważmy, że do obliczenia wartości liczby Archimedesa nie jest konieczna

znajomość prędkości opadania cząstki.

W obszarze Stokesa graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 0,5, a współczynnik

oporu kształtu wynosi:

 . Po podstawieniu do zależności w ramce uzyskuje się

op 

graniczną wartość liczby Archimedesa:



2 

Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Stokesa wynosi:

3 2 

18 

A r

Re

W obszarze Newtona najmniejsza graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 500, a

współczynnik oporu opadania wynosi 0,44, zatem:





500



82500

Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Newtona wynosi:

3 2 

Re

Obszar Allena zawarty jest zatem w zakresie 82500

7408

9 

 , a współczynnik oporu

opadania wynosi:

 , zatem:



3 2



po przekształceniach otrzymuje się:









714





















875

Zestawienie powyższych przekształceń pokazano w tabeli:

Obszar ruchu Zakres liczb Reynoldsa Zakres liczb Archimedesa

Re vs Ar

Stokesa

Re

Ar

Re









714

Allena

0 



500

9 



82500





















875

Newtona

Re 500

500

Re 82500

Ar

Re

7408

Reasumując, przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy wygodnie

jest korzystać z liczby Archimedesa, natomiast przy obliczaniu średnicy cząstki o znanej

prędkości opadania obliczenia należy wykonać metodą prób i błędów.

Przedstawione powyżej rozważania dotyczą cząstek o kształcie kulistym. Dla cząstek

o kształcie odbiegającym od kuli prędkość opadania należy skorygować za pomocą

odwrotności współczynnika kształtu czyli współczynnika sferyczności.

Przykładowo w obszarze Stokesa współczynnik oporu kształtu oblicza się z zależności:

op  ,

gdzie wielkość





843

log

065

a zatem prędkość opadania oblicza się z zależności:

 











843

log







065

Z kolei w obszarze Newtona współczynnik oporu kształtu przedstawia zależność:



 87



a prędkość opad ania liczy się z zależności:



 









617

  









 5











Dla obszaru Allena nie ma jednej zależności na obliczanie prędkości opadania, gdyż

współczynnik oporu kształtu zależy nie tylko od sferyczności, ale także od wartości liczby

Reynoldsa.

Współczynnik sferyczności  występujący w powyższych równaniach określa

stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni cząstki przy takiej samej objętości, zatem

jest to liczba mniejsza od 1.Przykładowe wartości dla wybranych brył poda no poniżej.

Bryła

Współczynnik

sferyczności 

Kula

Sześcian

0,806

a  0,766

Graniastosłup 3

a  0,76

Walec r

h

0,873

h 0,691

Opadanie pojedynczych cząstek w aparatach przemysłowych jest wyjątkowo rzadkie.

Najczęściej występuje tak zwane opadanie gromadne, tj. takie w którym sąsiadujące cząstki

mają wpływ na ruch innych. Wówczas ciecz i obecne w niej cząstki należy traktować jako

zawiesinę. Obecność wielu cząstek powoduje zmniejszenie przekroju, w którym jest faza

ciągła i w związku z tym występuje wówczas wsteczny ruch cieczy. Wielkością, która opisuje

wpływ innych cząstek na opadanie w roju jest porowatość zawiesiny , czyli udział objętości

swobodnej w całej zawiesinie.

Dla celów praktycznego wykorzystania w projektowaniu prędkość opadania kulistych

cząstek w zawiesinie w oblicza się mnożąc prędkość opadania pojedynczej cząstki przez

pewien współczynnik f.

Walec r



1 f 82



 













Graniastosłup a

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: