egz_pol_ETI_AiR_2010-11.pdf

Egzaminpołówkowyzprzedmiotów

„Matematykaelementarna”i„AnalizamatematycznaI”

WETI,kierunekAiR,1sem.,r.ak.2010/2011

1. [4 p. ] Wyznaczy¢ f − 1 ( x ) oraz D f − 1 \ D g , gdzie D f − 1 oz nacza dziedzin ¦ funkcji odwrotnej do

f ( x ) = sin

x +

+ 5, a D g dziedzin¦ funkcji g ( x ) = 5 q

log 5 (5 x − x 2 ).

2. [4 p. ] a) Obliczy¢ granic¦ ci¡gu lim

n !1

a n · ln b n − p c n

, gdzie

a n = n p

2 n − 1

2 n + 3

1 − 5 n

, c n =

p n +1

1 + 2 n + 5 − n , b n =

p n

[2 p. ] b) W oparciu o deﬁnicj¦ granicy ci¡gu liczbowego pokaza¢, »e liczba g = 3 jest granic¡

ci¡gu a n =

6 n + 1

3 + 2 n .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4 p. ] Wyznaczy¢ warto±ci parametrów k,m 2 R tak, aby funkcja h ( x )

x ·| cos k | dla x ¬− 1

1 + e x

dla − 1 < x < 0

1+ x

h ( x ) =

2 2 m − 2 m +2

dla x = 0

arcctg log 1 e x 2

dla x > 0

f ( x ) = tg(4 b 2 x ) x

parametr a jest rozwi¡zaniem równania p x + 1 = x − 5, natomiast b otrzymamy obliczaj¡c

b = cos 2 75 − sin 2 75

, gdzie

[2 p. ] b) Wykorzystuj¡c ró»niczk¦ zupełn¡ funkcji obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ ln(0 , 99999).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4 p. ] Znale¹¢ wszystkie asymptoty funkcji g ( x ) =

2 x

arctg x .

2 − x 2 w całej jej dziedzinie naturalnej.

[2 p. ] b) Korzystaj¡c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡

funkcji y = ln x .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [ dlach¦tnych ] [3 p. ] Wykorzystuj¡c wzór Maclaurina przybli»y¢ funkcj¦

f ( x ) = sin(sin x )

wielomianem trzeciego stopnia.

była ci¡gła dla dowolnej liczby rzeczywistej.

4. [4 p. ] Wyznaczy¢ f 0 a

6. [4 p. ] a) Z bada¢ monotoniczno±¢ oraz wyznaczy¢ warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ funkcji

h ( x ) = x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: