108.pdf

Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia

Wiadomości teoretyczne:

Wiadomo, że gdy na podłużny pręt działa siła prostopadle do jego długości, doznaje on

ugięcia, a wielkość tzw. strzałki ugięcia S jest zawsze proporcjonalna do siły F, a także

zależy od wymiarów geometrycznych pręta, sposobu jego mocowania i rodzaju materiału, z

którego jest on wykonany. Pręt na rysunku pod działaniem siły ugina się w ten sposób, że

górne warstwy pręta są rozciągane a dolne ściskane. W środku wysokości istnieje warstwa,

której długość nie ulega zmianie. Przekroje prostopadłe pręta, przy braku obciążenia są

wzajemnie równoległe, tworzą natomiast kąt j po przyłożeniu siły.

Na rysunku obok zaznaczyłem rozpatrywane przekroje przez 1 i

2 oraz kąt j między 1 i 2 (1' jest równoległym przesunięciem

przekroju 1 do linii przecięcia warstwy neutralnej N z

przekrojem 2).

Jeśli zacznę rozpatrywać element pręta o długości

D x , grubości

D y i szerokości b znajdujący się w odległości x od krawędzi

zamocowanej i na wysokości y powyżej warstwy środkowej to

na skutek ugięcia belki badana warstwa ulega ugięciu o j y .

Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie jest proporcjonalne do

siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do

powierzchni przekroju

y Fx

Eby

j =

× ×

gdzie E - moduł Younga, F n - siła rozciągająca badaną warstwę

elementarną.

Taka sama siła, lecz przeciwnie skierowana, działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N.

Moment siły F n względem warstwy N wynosi

MyFE x yby

= × = ×

× × ×

Całkowity moment M sił działających na wszystkie warstwy zawarte między przekrojami 1 i 2 obliczam całkując powyższe równanie

względem y po całej grubości

M E

= ×

y b dy

× ×

(1)

Jeśli oznaczę: y b dy H

× ×

(2)

to równanie (1) mogę napisać w postaci: ME x H

= ×

(3)

Równanie to otrzymałem rozpatrując odkształcenie pręta, którego bezpośrednią przyczyną jest siła F przyłożona do jego końca.

Moment tej siły względem przekroju 2 wynosi

F l x x

(

)

lub zaniedbując wielkość

D x jako małą w porównaniu z x

= - × (4)

Kąt j jest zawarty między stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Na podstawie

rysunku mogę napisać następujący związek

( )

D S

j =

Wstawiając powyższe równanie do wzoru (3) i porównując wzory (3) i (4) otrzymuję elementarną strzałkę ugięcia

( )

D S

E H l x

E H

Całkowitą strzałkę ugięcia otrzymuję całkując powyższe równanie po całej długości pręta

( )

l x

Po scałkowaniu, wyrażenie na całkowitą strzałkę ugięcia przyjmuje postać: S F

EH l

× ×

http://www.sprawko.pl

× - + D

M l x F

Wartość współczynnika H zależy od kształtu i rozmiarów geometrycznych pręta. Gdy przekrój jest prostokątem o wysokości h i

szerokości b, to całkowanie równania (2) prowadzi do wyniku: H bh

prost .

p 4

Całkowanie podobnego wyrażenia dla przekroju kołowego daje:

H r

kola

Podstawiając wartości współczynników H otrzymuję odpowiednio dla obu przekrojów strzałki ugięcia

S prost

S kola

Otrzymane powyżej wzory odnoszą się do pręta jednostronnie obciążonego i jednym końcem umocowanego. Równania te mogę

łatwo dostosować do sytuacji, gdy pręt jest swobodnie oparty dwoma końcami i obciążony w środku.

Zachowuje się on wtedy tak, jak gdyby był zamocowany w środku, a na jego końce działały siły F 2 skierowane ku górze. Siła

F 2 działa wtedy na pręt o długości l 2 .

Po uwzględnieniu tych warunków w poprzednich wzorach uzyskuję wzory na strzałki ugięcia prętów

dwustronnie podpartych

S l

Ebh F

S l

prost

× × ×

Er F

A z tych wzorów mogę już łatwo obliczyć moduł Younga. Po wykonaniu prostego przekształcenia mam moduł Younga dla przekroju

prostokątnego E l

kola

× ×

4 .

S bh F

prost

× ×

i dla przekroju kołowego E l

12p

S r F

kola

' .

Przebieg ćwiczenia

1. Zmierzyć wymiary prętów.

2. Zmierzyć odległości między krawędziami podpierającymi i wyznaczyć środek pręta.

3. Wypoziomować katetometr i przy jego pomocy wyznaczyć położenie górnej krawędzi pręta nieobciążonego.

4. Obciążając kolejno środek pręta ciężarkami odczytywać położenie górnej krawędzi pręta.

Wyniki pomiaró w:

S kol

[

]

S kwad m [kg]

[

]

00792

612,31

612,81

00794

611,76

612,4

0,2

611,02

612,05

0,4

L kwad

kol

756

610,9

611,9

0,5

001

610,26

611,4

0,7

00001

609,49

610,9

0,9

m 001

609,06

610,58

608,2

610,15

1,2

607,34

609,56

1,4

607,06

609,05

1,5

606,49

608,53

1,7

605,37

608,18

1,9

http://www.sprawko.pl

Obliczenia:

1.Wyznaczenie modułu Younga E

a) dla pręta kołowego ze wzoru F

E kol

kol

Przykładowe obliczenia dla I strzałki ugięcia: mm

S kol

612

611

kol

756

E kol

1,962

6459

kol

00055

00397

é 2

N kol

é 2

Błąd dla poszczególnych pomiarów obliczamy z różniczki logarytmicznej:

Nr kol

( )

E kol

= F

1 1,6459E+11 9,1196E+09

2 1,4035E+11 4,4978E+09

3 1,6050E+11 4,8518E+09

4 1,5455E+11 3,8992E+09

5 1,4445E+11 3,2137E+09

6 1,3927E+11 2,95220E+09

7 1,3215E+11 2,60916E+09

8 1,2750E+11 2,39475E+09

9 1,2932E+11 2,39504E+09

10 1,3221E+11 2,38884E+09

11 1,2391E+11 2,16261E+09

kol

D r

kol

Przykładowe obliczenia dla I strzałki ugięcia:

001

9,81

-3

-5

0,00001

E kol

6459

1196

756

962

00397

Błąd całkowity obliczamy ze wzoru

4,1579 m

kol

E kol

3,6804 m

D d

1,61540009 m

Zatem ostateczny wynik wynosi:

(

E kol

1,40803

)

(

)

kol

b) Obliczenie strzałki ugięcia, siły, modułu Younga oraz ich błędów:

612

kwad

S kwad

00002

kwad

F 962

F 00981

001

E kwad

756

962

(

31377

)

kwad

00041

00792

http://www.sprawko.pl

S kwad

S [m]

0,00041

0,00076

0,00091

0,00141

0,00191

0,00223

0,00266

0,00325

0,00376

0,00428

0,00463

kwad

F [N]

E kwad

1,31377E+11

1,41749E+11

1,4798E+11

1,33707E+11

1,26906E+11

1,20773E+11

1,21499E+11

1,16016E+11

1,07443E+11

1,06974E+11

1 ,1052 1E+11

]

[ Pa

]

1,962

3,924

4,905

6,867

8,829

9,81

11,772

13,734

14,715

16,677

18,639

E kwad

1,24086E+11

[ Pa

8,250385667E+09

5,363010297E+09

4,882855391E+09

3,293422717E+09

2,614403927E+09

2,293156005E+09

2,110548513E+09

1,843135499E+09

1,612132666E+09

1,527579201E+09

1, 5323489 63E+09

]

E kwad

[ Pa

]

Obliczenie błędu metodą różniczki logarytmicznej:

kwad

31377

001

00981

00001

00002

kwad

756

962

00792

00041

(

250385667

)

Błąd całkowity:

3,211179895E+09

E kwad

[ Pa

E kwad

(

)

4157851978

21117989

6154

kwad

E kwad

(

) Pa

kwad

2.Obliczenie modułu Younga z regresji liniowej (korzystamy z programu Szuby):

a)dla pręta kołowego:

a kol

0,00037223

a kol

9,16867 ×

0,756

 

kol E

kol

000372232

0,00397

kol

http://www.sprawko.pl

1,23953 m

Błąd obliczamy z różniczki logarytmicznej:

( )

E kol

= r

kol

001

16867

0,00001

E kol

1,23953

4,7939

Ostatecznie

756

000372232

00397

otrzymujemy:

E kol

(

23953

048

)

(

240

048

)

kol

b)pręt o przekroju kwadratowym

  X

kwad F







a 96m

0,00025878

-0,0002275

kwad

D kwad

a 53m

0,00000775

895

D kwad

0,00008481

E kwad

756

= h

1,06087

kwad

000258787

00792

Obliczenie błędu metodą różniczki logarytmicznej:

kwad

06087

001

0000848153

00001

kwad

756

000258787

00792

kwad

4,1374732

4,2

E kwad

061

042

) Pa

Wnioski:

Strzałka ugięcia jest funkcją liniową ciężaru przyłożonego do danego pręta. Z przeprowadzonych obliczeń można łatwo

zauważyć, iż błędy obliczone z regresji liniowej są małe. Metod ta nie uwzględnia błędu statystycznego, przez co jest ona mniej

dokładna. Niewielkie odchylenia od wartości nominalnych mogą być następstwem warunków panujących w sali w czasie przebiegu

ćwiczenia temperatura prętów zwiększała się nieznacznie od ciepła kaloryfera. Również na uzyskane pomiary mogły wpłynąć

nieznaczne wahania (drgania) zawieszonego obciążenia.

http://www.sprawko.pl

(

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: