wyklady alma mater.pdf

Część 2

12. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI

12. 

12. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI

12.1. Wstęp

Dynamika jest działem mechaniki zajmującym się układami odkształcalnymi będącymi w ruchu, w

których uwzględniamy wpływ działających sił. Przy rozpatrywaniu zagadnień dynamicznych zakładamy, że

przemieszczenia są bardzo małe i charakteryzują się zmiennością w czasie. Przemieszczenia te mają charakter

oscylacyjny. W rozważaniach zajmować się będziemy drganiami harmonicznymi.

Kolejnym założeniem jest sposób określenia współczynników uogólnionych. Każde ciało posiada stopnie

swobody dynamicznej, czyli liczbę współczynników uogólnionych, które jednoznacznie określają położenie

ciała w przestrzeni oraz możliwość ruchu.

Aby dobrze zrozumieć zagadnienia dynamiki budowli, należałoby wyjaśnić kilka pojęć:

1. Punkt materialny – to ciało, którego położenie w przestrzeni daje się określić w taki sam sposób, jak

położenie punktu geometrycznego (masa bez wymiarów).

2. Ciało materialne – to układ oddzielnych punktów materialnych lub też zbiór punktów wypełniających daną

część przestrzeni w sposób ciągły. Belka jest traktowana jako zbiór punktów materialnych i ma

nieskończenie wiele stopni swobody dynamicznej. Należy przez to rozumieć, że każdy z punktów belki

ugina się inaczej. Możemy w tym przypadku posłużyć się aproksymacją sprowadzając opis belki do dwóch

końcowych jej punktów.

3. Siła – to działanie wywierane na ciało celem wyprowadzenia go ze stanu spoczynku. Siła jest wielkością

kierunkową, czyli wektorem.

4. Masa – to pewna wielkość, charakteryzująca zachowanie się dynamiczne ciała, niezależna ani od stanu

ruchu, ani też od stanu fizycznego ciała. Masa jest wielkością bezkierunkową, czyli skalarem.

12.2. Zasada d'Alemberta

Na poszczególne punkty układu materialnego działają siły czynne P oraz siły bierne (opory ruchu) W ;

siły te nadają poszczególnym punktom materialnym o masach m przyspieszenia a . Wprowadzając fikcyjne

siły B =− m ⋅ a , zwane siłami bezwładności, sprowadzamy zagadnienie układu materialnego będącego w

ruchu do ststycznego zagadnienia równowagi sił. Stan ruchu układu materialnego określamy twierdzeniem:

W każdym położeniu poruszającego się układu materialnego siły bezwładności równoważą się z siłami

zewnętrznymi, o ile siły wewnętrzne nawzajem się znoszą.

P  B = 0

(12.1)

12.3. Drgania własne układu o jednym stopniu swobody dynamicznej

Rozpatrzmy ruch masy m o jednym stopniu swobody dynamicznej (rys. 12.1), która jest zamocowana

sprężyście (podpora o sztywności k ). Zakładamy możliwość swobodnego ruchu tylko w jednym kierunku.

Wartość przemieszczenia opisuje funkcja czasu q ( t ).

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Część 2

12. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI

k [N/m]

Q(t)

P(t)

B(t)

q(t)

Rys. 12.1. Układ o jednym stopniu swobody dynamicznej

Zgodnie z zasadą d'Alemberta możemy zapisać równanie równowagi:

P  t   B  t  − Q  t  = 0

(12.2)

gdzie siła bezwładności:

B  t  =− m ⋅ q  t 

(12.3)

a siła sprężystości:

Q  t  = k ⋅ q  t 

(12.4)

Po podstawieniu wyrażeń (12.3) i (12.4) do równania (12.2), otrzymujemy:

m ⋅ q  t   k ⋅ q  t  = P  t 

(12.5)

Dla układu, na który nie działa zewnętrzna siła wymuszająca  P  t = 0  otrzymujemy równanie jednorodne.

m ⋅ q  t   k ⋅ q  t  = 0

(12.6)

Równanie (12.6) jest nazywane równaniem różniczkowym zwyczajnym ruchu. Dzieląc to równanie

obustronnie przez masę i podstawiając wyrażenie na częstość kołową drgań własnych  :

 2 = k

(12.7)

otrzymujemy:

q  t   2 ⋅ q  t  = 0

(12.8)

Równanie różniczkowe (12.8) można wyliczyć przyjmując funkcję rozwiązującą w postaci:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Część 2

12. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI

q  t  = C 1 ⋅ sin  t  C 2 ⋅ cos  t

(12.9)

lub w innej formie:

q  t  = A ⋅ sin   t  

(12.10)

gdzie  jest przesunięciem fazowym.

Wykorzystując zależności trygonometryczne możemy wyznaczyć relację pomiędzy C 1 i C 2 , a stałymi A

i  .

q  t  = A ⋅ sin   t   = A ⋅ [ sin  t ⋅ cos  cos  t ⋅ sin  ]

Przyrównując do siebie wyrażenia (12.9) i (12.10) otrzymujemy:

A ⋅ [ sin  t ⋅ cos  cos  t ⋅ sin  ] = C 1 ⋅ sin  t  C 2 ⋅ cos  t

C 1 = A ⋅ cos 

(12.11)

C 2 = A ⋅ sin 

(12.12)

Znając warunki początkowe możemy wyznaczyć wartości stałych równania (12.10). Nie należy mylić

warunków początkowych z warunkami brzegowymi, ponieważ te pierwsze dotyczą czasu, a drugie

przestrzeni. Przykładowo dla chwili początkowej t = 0 :

1) przemieszczenie ma wartość q  0  = a

2) prędkość jest równa q  0  = 0

Z warunków tych otrzymujemy:

q  0  = A ⋅ cos   0   = 0

cos = 0

= 

(12.13)

oraz:

q  0  = A ⋅ sin   0   = a

A ⋅ sin = a

A ⋅ sin 

2 = a

A = a

(12.14)

Zatem dla powyższych warunków początkowych otrzymujemy pełne rozwiązanie postaci:

q  t  = a ⋅ sin

  t  2  = A ⋅ cos  t

(12.15)

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Część 2

12. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI

Zgodnie z rozwiązaniem (12.15) kulka o masie m zamocowana sprężyście powróci do położenia

początkowego po czasie odpowiadającemu kątowi 2  . Podstawmy zatem tę wartość do równania (12.15).

q  t  = A ⋅ cos   t  2   = A ⋅ cos

[   t  2   ] = A ⋅ cos [   t  T  ]

(12.16)

 jest okresem drgań, czyli czasem dzielącym dwa identyczne położenia

rozpatrywanego ciała (rys. 12.2).

q(t)

k [N/m]

Rys. 12.2. Położenie ciała w zależności od czasu

Mając zdefiniowany okres drgań możemy na jego podstawie określić częstotliwość i częstotliwość techniczną.

1. Częstotliwość (częstość fizyczna) – to ilość pełnych cykli wykonanych w jednostce czasu.

T [ s = Hz ]

(12.17)

2. Częstotliwość techniczna – to ilość pełnych cykli wykonanych w ciągu jednej minuty.

n = 60

[ Hz ]

(12.18)

Powróćmy jeszcze do wzoru (12.7) na częstość kołową drgań własnych:

=

 m

gdzie:

k – sztywność [kN/m], jest to siła jaką należy przyłożyć, aby wywołać jednostkowe przemieszczenie,

m – masa [kg].

Oznacza to, że jeśli chcemy poznać częstość kołową drgań własnych konstrukcji, to przy prostych

schematach, przybliżonych jedną masą drgającą wystarczy, że wyznaczymy sztywność konstrukcji. Omówimy

to zagadnienie na kilku przykładach.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Wprowadzone oznaczenie T = 2 

f = 1

Część 2

12. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI

Przykład 1

Znaleźć częstość kołową drgań własnych dla wspornika przedstawionego na rysunku 12.3.

Rys. 12.3. Model belki z jedną masą na końcu

Zadanie rozwiążemy korzystając z twierdzenia o pracy wirtualnej. Określimy współczynnik podatności, który

jest odwrotnością sztywności.

M P M

1 ⋅= 0

Narysujmy najpierw wykresy momentów od siły rzeczywistej P i wirtualnej 1 .

P = ?

1·l

δ=1

M P

Rys. 12.4. a) Linia ugięcia belki, b) Wykres momentów od siły P, c) Wykres momentów od 1

Przemieszczenie wyznaczamy z twierdzenia Wereszczegina-Mohra, czyli wymnażając wykresy M P i M . Po

przekształceniach i uproszczeniu przez jedynkę wirtualną otrzymujemy:

EJ  2 ⋅ P ⋅ l ⋅ l ⋅ 3 ⋅ l  = Pl 3

3EJ

Wiemy, że sztywność [kN/m] to siła jaką należy przyłożyć, aby wywołać jednostkowe przemieszczenie. Zatem

wyznaczone przemieszczenie przyrównujemy do jedynki.

= Pl 3

3EJ = 1

Z tego możemy wyznaczyć siłę P powodującą przemieszczenie δ = 1 , inaczej sztywność.

P = 3EJ

l 3 = k

Po podstawieniu otrzymanej sztywności do wzoru (12.7) otrzymujemy częstość kołową drgań własnych belki.

=

 3EJ

ml 3

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

= 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: