transformata_z.pdf

(296 KB) Pobierz
Transformata Z
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Transformata Z
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Coraz częściej w układach sterowania stosowane są regulatory cyfrowe i stąd konieczność określania
równań, które opisują sygnały cyfrowe i dyskretne. Tak jak równania różniczkowe stosowane są do
opisu układów z sygnałami analogowymi, tak równania różnicowe stosowane są dla układów
z sygnałami dyskretnymi lub cyfrowymi. Równania różnicowe używane są również do aproksymacji
równań różniczkowych w celu zapisania ich w programach komputerowych wykorzystywanych
w różnego rodzaju symulacjach.
Rachunek operatorowy Laplace’a może być stosowany do rozwiązywania liniowych równań
różniczkowych zwyczajnych, natomiast transformata Z jest metodą wykorzystywaną do
rozwiązywania liniowych równań różnicowych i układów liniowych z danymi dyskretnymi lub
cyfrowymi.
2. DEFINICJA TRANSFORMATY Z
W analizie układów ciągłych wykorzystywane jest przekształcenie operatorowe Laplace’a które
zdefiniowane jest przez następujący wzór całkowy
£
{ }
f
( t
)
=
F =
( s
)
f
(
t
)
e
st
dt
(1)
0
który w sposób bezpośredni prowadzi do bardzo ważnej własności (z zerowymi warunkami
początkowymi)
£
df )
(
t
= s
F
( s
)
f
(
0
)
(2)
dt
Zależność (2) pozwala na łatwe znalezienie transmitancji dla liniowych układów ciągłych na
podstawie równania różniczkującego opisującego te układy.
Dla układów dyskretnych jest dostępna bardzo podobna procedura. Transformata Z , która
zdefiniowana jest przez następującą sumę
F ( z ) = Z
{ }
f
( k
)
=
f
(
k
)
z
k
(3)
k
0
gdzie z jest zmienną zespoloną posiadającą część rzeczywistą i urojoną, f ( k ) jest dyskretną wersją
funkcji f ( t ), natomiast k = 0, 1, 2, ..., odpowiada dyskretnym chwilom czasu 0
t , .... Zależność
(3) prowadzi do analogicznej własności jak (2) dla układów dyskretnych.
Z
f
(
k
1
=
zF
( z
)
zf
0
)
(4)
Zależność ta (4) pozwala w łatwy sposób znaleźć transmitancję układu dyskretnego na podstawie
równania różnicowego opisującego ten układ.
Ostatnia aktualizacja: 05-03-17
M. Tomera
1
t , t , 2
(
222272434.008.png
Teoria sterowania
Transformata Z
Poniższe przykłady ilustrują wyprowadzenie transformat Z dla kilku prostych funkcji.
Przykład 1
Funkcja impulsowa jednostkowa (funkcja delta Diraca)
0
k
0
f
(
k
)
k
0
(1.1)
0
k
0
Transformata Z funkcji impulsowej
Z
{ }
( k
)
=
(
k
)
z
k
z
0
1
(1.2)
k
0
Przykład 2
Funkcja skokowa
f
(
k
)
0
k
0
(2.1)
1
k
0
gdzie A jest stałą. Transformata Z funkcji skokowej jest wyznaczana jako suma następującego
szeregu
Z
{ }
1 k =
)
1
z
k
1
1
1
...
(2.2)
z
0
z
1
z
2
k
0
Korzystając z faktu, że dla szeregu geometrycznego
x
k
1
,
x
1
(2.3)
1
x
k
0
wówczas
1
k
1
z
1
Z
{ }
1 k =
)
z
k
,
1
(2.4)
z
1
1
/
z
z
1
z
k
0
k
0
Przykład 3
Funkcja ekspotencjalna. Próbkowana funkcja ekspotencjalna, zanikająca w czasie
( )
f
(
k
)
e
kaT
e
aT
k
k = 0, 1, 2, ...
(3.1)
gdzie T jest okresem próbkowania. Transformata Z funkcji (3.1) jest następująca
{ }
1
k
1
z
Z
e −
kaT
=
e
kaT z
k
=
=
=
(3.2)
ze
aT
1
1
ze
aT
z
e
aT
k
0
k
0
Przez zdefiniowanie próbek funkcji ekspotencjalnej jako
c
e
aT
(3.3)
wówczas na podstawie równania (3.2)
Z
{ }
e −
kaT
= Z
{ }
c =
k
z
(3.2)
z
c
Ostatnia aktualizacja: 05-03-17
M. Tomera
2
222272434.009.png 222272434.010.png
Teoria sterowania
Transformata Z
Przykład 4
Funkcja liniowo narastająca
f
(
k
)
0
k
0
(4.1)
kT
k
0
gdzie T jest okresem próbkowania. Transformata Z funkcji liniowo narastającej wyznaczana jest
następująco:
Z
{ }
kT =
kTz =
k
T
z
d
( )
z
k
=
Tz
d
z
k
=
Tz
d
z
(4.2)
dz
dz
dz
z
1
k
0
k
0
k
0
Ostatecznie
Z
{ }
kT =
Tz
(4.2)
( )
z
1
2
Przykład 5
Funkcja sinusoidalna
f
(
k
)
0
k
0
(5.1)
sin
k
T
k
0
gdzie T jest okresem próbkowania,
pulsacją. Funkcja
sin
k
T
może zostać zapisana
następująco:
sin
k
T
1
e
jk
T
e
jk
T
(5.2)
2
j
Stąd
Z
sin
k
T
=
1
e
jk
T
z
k
1
e
jk
T
z
k
2
j
2
j
k
0
k
0
z
2
j
z
2
j
= ( )
z
2
2
j
z
e
jk
T
z
e
jk
T
=
z
e
jk
T
z
e
jk
T
z
e
jk
T
e
jk
T
z
1
e
jk
T
e
jk
T
z
2
j
z
sin
T
=
=
(5.3)
jk
T
jk
T
z
2
2
cos
Tz
1
e
e
z
2
2
z
1
2
W bardzo podobny sposób wyznacza się transformatę Z funkcji
cos
k
t
Z
sin
k
T
=
z
z
cos
T
) 1
(5.4)
z
2
2
cos
Tz
3. ZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY TRANSFORMATĄ LAPLACE'A I TRANSFORMATĄ Z
Dogodnie będzie rozważać sekwencje y ( kT ), k = 0, 1, 2, ... jako ciąg impulsów oddzielonych od siebie
o przedział czasu T , definiowany jako okres próbkowania. Impuls w k
tej chwili czasu,
t
kT
Ostatnia aktualizacja: 05-03-17
M. Tomera
3
δ
przenosi wartość y ( kT ). Sytuacja taka pojawia się często w cyfrowych lub próbkowanych układach
sterowania w których sygnał jest kwantowany lub próbkowany co T sekund do postaci sekwencji
222272434.011.png 222272434.001.png 222272434.002.png
Teoria sterowania
Transformata Z
czasowej która reprezentuje sygnał w chwilach próbkowania. Sekwencja sygnału próbkowanego może
być wyrażona jako
y
*
(
t
)
y
(
kT
)
t
kT
(5)
k
0
Dokonując obustronnej transformaty Laplace'a równania (5) otrzymuje się
Y
*
(
s
)
= £
{ }
y
*
(
t
)
=
y
(
kT
)
e
kTs
(6)
k
0
Porównując ostatnie równanie z równaniem (3), widać że transformata Z powiązana jest
z transformatą Laplace'a zależnością
(7)
Transformata Z zdefiniowana równaniem (3) może być traktowana jako specjalny przypadek gdy
T = 1. Definicja transformaty opisana wzorem (7) pozwala na przekształcanie opisu układów ciągłych
na układy próbkowane i wykonywanie na nich symulacji cyfrowych. Można streścić definicję
transformaty Z jako
z
e
Ts
{ }
{ }
Y
( z
)
= Z
y
( )
kT
= Z
y *
( )
t
= Z
Y *
( )
s
=
Y
*
(
s
)
(8)
z
e
sT
lub zapisać
{ }
( )
{ }
( )
Y
( z
)
= Z
y = Z
t
Y
s
(9)
Pamiętając o tym że funkcja y ( t ) jest najpierw próbkowana lub kwantowana w celu otrzymania
sygnału
*
(
t
)
przed wykonaniem transformaty Z .
Przykład 6
Rozważ funkcję czasową
y
(
t
)
e
1
t
)
(6.1)
Transformata Z funkcji y ( t ) uzyskiwana jest w następujących krokach:
1. Pobranie wartości funkcji y ( t ) w chwilach czasowych t = kT , k = 0, 1, 2, ... w celu
uzyskania funkcji
y
*
(
t
)
y
*
(
t
)
e
kT
t
kT
(6.2)
k
0
2 . Wykonanie transformaty Laplace’a na obu stronach równania (6.2)
Y
*
(
s
)
e
kT e
kTs
=
e
( )
s
kT
(6.3)
k
0
k
0
3 . Po wyznaczeniu sumy dla
Y
*
(
s
)
i zastosowaniu równania (7), uzyskuje się transformatę Z
Y
(
z
)
z
(6.4)
z
e
T
Transformaty Z bardziej złożonych funkcji mogą być uzyskiwane z pomocą pewnych twierdzeń
dotyczących tej transformaty. W praktyce do wykonywania przekształceń pomiędzy y ( k ) oraz
Y ( z ) wykorzystuje się tablicę transformat (tabela 2).
Ostatnia aktualizacja: 05-03-17
M. Tomera
4
y
t
222272434.003.png 222272434.004.png
Teoria sterowania
Transformata Z
4. WAŻNE TWIERDZENIA TRANSFORMATY Z
Podobnie jak w przypadku transformaty Laplace'a twierdzenia te są bardzo użyteczne w wielu
przypadkach prowadzonej analizy przy zastosowaniu transformaty Z . Ciąg liczb rzeczywistych
wyrażony został jako f ( kT ) i jeśli okres próbkowania T nie jest określony, wówczas przyjmuje się że
jest jednostkowy. W tabeli 1 zebrane zostały twierdzenia transformaty Z .
Tabela 1. Podstawowe twierdzenia transformaty Z
1. Dodawanie i odejmowanie
Z
f 1
( )
kT
f 2
( )
kT
=
F 1
( )
z
F 2
( )
z
2. Mnożenie przez stałą
Z
af
( )
kT
= a Z
f
( )
kT
= a
F
( )
z
3. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej
Z
f
k
n
T
=
z −
n
F (opóźnienie czasowe)
( )
z
n
1
( )
n
k
Z
f
k
n
T
=
z
F
(
z
)
f
kT
z
(wyprzedzenie czasowe)
k
0
gdzie: n = liczba całkowita.
3. Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej
Z
e
kT
f
( )
kT
=
F
( )
ze
T
4. Twierdzenie o wartości początkowej
lim 0
f
(
kT
)
z
lim
F
(
z
)
5. Twierdzenie o wartości końcowej
( )
f
(
kT
)
lim
1
z
1
F
(
z
)
,
k
z
1
pod warunkiem, że
1
z −
1
F
(
z
)
nie ma żadnych biegunów na zewnątrz ani na okręgu
z
1
Przykład 7
( Twierdzenie o wartości końcowej ) Mając daną funkcję
0
792
z
2
F
(
z
)
(7.1)
( )
2
z
1
z
0
.
416
z
0
.
208
określ wartość f ( kT ) gdy k dąży do nieskończoności.
Rozwiązanie: Najpierw należy sprawdzić, czy funkcja
( )
1
z −
1
F
(
z
)
nie ma biegunów na lub na
( )
zewnątrz okręgu o promieniu
z
1
. Mianownik funkcji
1
z −
1
F
(
z
)
ma dwa pierwiastki
sprzężone
z
1
2
0
.
2080
j
0
.
4059
i obydwa znajdują się wewnątrz okręgu o promieniu
z
1
,
czyli może zostać zastosowane twierdzenie 5 z tabeli 1 .
( )
lim
f
(
kT
)
lim
1
z
1
F
(
z
)
lim
0
.
792
z
= 1
(7.2)
z
2
0
.
416
z
0
208
k
z
1
z
1
Ostatnia aktualizacja: 05-03-17
M. Tomera
5
k
lim
.
.
222272434.005.png 222272434.006.png 222272434.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin