Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja.pdf
(
439 KB
)
Pobierz
716241321 UNPDF
Opadanie cząstek w płynie
Pojedyncza cząstka opadająca w płynie ruchem jednostajnym podlega działaniu trzech
sił równoważących się, tj. sile ciężkości, sile wyporu i sile oporu:
Siła
ciężkości
d
G
s
3
p
g
6
Siła
wyporu
W
d
3
p
g
6
Siła
oporu
d
2
p
w
2
R
op
4
2
Bilans sił można zapisać jako:
G
W
R
d
3
p
d
3
p
d
2
p
w
2
g
g
6
s
6
op
4
2
skąd można obliczyć prędkość opadania cząstek kulistych w płynie:
w
4
d
p
3
g
s
op
lub średnicę opadającej cząstki kuliste
j:
3
w
2
d
op
4
g
s
, który jest wielkością zmienną i zależną od
liczby Reynoldsa cząstki, definiowanej zależnością:
w
Re
d
p
gdzie właściwości odnoszą się do ośrodka, w którym odbywa się ruch.
Doświadczalnie stwierdzono, że cząstki mogą poruszać się w sposób laminarny,
przejściowy i burzliwy. Dla tych obszarów ruchu obowiązują specyficzne zależności
p
ozwalające obliczać współczynnik oporu kształtu:
Obszar ruchu laminarnego,
Obszar Stokesa
Re
0
op
24
Re
Obszar ruchu przejściowego,
Obszar Allena
0
Re
500
18
,
op
Re
0
6
Obszar ruchu burzliwego,
Obszar Newtona
Re
500
0
44
Na wykresie w skali podwójnie logarytmicznej zależność ta, dla wszystkich trzech
obszarów pokazana jest na poniższym rysunku:
1
Zastosowanie obu tych równań do obliczeń jest utrudnione, ze względu na
występowanie współczynnika oporu kształtu
op
,
op
1,E+06
1,E+05
1,E+04
1,E+03
1,E+02
1,E+01
1,E+00
1,E-01
1,E-04 1,E-02 1,E+00 1,E+02 1,E+04 1,E+06
Re
Jeśli do zależności określającej siłę oporu działającej na cząstkę wstawić zależność dla
ruchu laminarnego, to otrzymuje się wzór:
24
d
2
p
w
2
R
3
d
w
w
d
4
2
p
p
znany jako
równanie Stokesa
. Po wykorzystaniu tego równania do bilansu sił i jego
przekształceniu otrzymuje się:
w
d
2
p
s
g
18
Postępując analogicznie w obszarze Allena uzyskuje się zależności:
18
,
0
6
d
2
p
w
2
18
,
R
d
1
p
4
0
6
w
1
4
0
4
w
0
6
d
0
p
,
6
0
6
4
2
8
1
1
6
1
1
4
4
d
1
4
4
g
4
w
p
s
3
18
,
0
,
6
0
4
1
4
1
4
d
1
p
143
2857
0
,
714
w
0
781
s
0
,
4286
0
,
Natomiast w obszarze Newtona uzyskuje się:
d
2
p
w
2
R
0
44
4
2
2
,
,
,
,
,
,
w
4
d
p
s
g
3
0
44
w
5
452
d
p
s
Wzory ujęte w ramki pokazują, że prędkość opadania różnie zależy od średnicy cząstki.
W obszarze Stokesa jest proporcjonalna do
2
p
d , w obszarze Allena do
143
d , a w obszarze
Newtona do
d . W postaci wykreślnej zależność ta przedstawiona jest na poniższym
5
rysunku
Obszar Stokesa
Obszar Allena
Obszar Newtona
d
Przedstawione powyżej równania są niewygodne do obliczeń projektowych, bo gdy
trzeba obliczyć prędkość lub gdy trzeba obliczyć średnicę opadającej cząstki, to równocześnie
trzeba znać obszar ruchu, w którym odbywa się opadanie. Zatem obliczenia można wykonać
jedynie zakładając ten obszar i po wykonaniu obliczeń sprawdzić poprawność założenia
(obliczyć wartość liczby Reynoldsa).
Innym sposobem przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy jest
następujące podejście. Z równania bilansowego:
d
3
p
d
3
p
d
2
p
w
2
g
g
6
s
6
op
4
2
wynika, że:
4
d
p
g
s
op
3
w
2
Mnożąc obie strony równania przez
Re otrzymuje się:
2
2
Re
2
4
d
3
p
s
g
op
3
Zdefiniujmy bezwymiarową wielkość:
d
3
p
g
2
Ar
s
3
1
p
,
0
p
jako liczbę Archimedesa. Zatem na podstawie dwóch powyższych zależności uzyskuje się
wzór:
3
2
op
Re
Ar
4
Zauważmy, że do obliczenia wartości liczby Archimedesa nie jest konieczna
znajomość prędkości opadania cząstki.
W obszarze Stokesa
graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 0,5, a współczynnik
oporu kształtu wynosi:
. Po podstawieniu do zależności w ramce uzyskuje się
op
24
Re
graniczną wartość liczby Archimedesa:
Ar
3
24
0
2
9
4
0
Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Stokesa wynosi:
3
2
24
Re
Ar
4
Re
18
Re
A
r
Ar
Re
18
W obszarze Newtona
najmniejsza graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 500, a
współczynnik oporu opadania wynosi 0,44, zatem:
3
Ar
0
44
500
2
82500
4
Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Newtona wynosi:
3
2
0
44
Re
Ar
Re
Obszar Allena
zawarty jest zatem w zakresie
82500
1
7408
Ar
9
, a współczynnik oporu
Ar
opadania wynosi:
, zatem:
18
,
op
Re
0
6
3
2
6
18
,
Re
Ar
4
Re
0
,
po przekształceniach otrzymuje się:
Ar
1
4
Ar
0
714
Re
13
875
13
,
875
Zestawienie powyższych przekształceń pokazano w tabeli:
Obszar ruchu Zakres liczb Reynoldsa Zakres liczb Archimedesa
Re vs Ar
Stokesa
Re
0
Ar
9
Ar
Re
18
Ar
1
4
Ar
0
714
Allena
0
500
9
Ar
82500
Re
13
875
13
,
875
Newtona
Re
500
500
Re
82500
Ar
Re
1
7408
Ar
Reasumując, przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy wygodnie
jest korzystać z liczby Archimedesa, natomiast przy obliczaniu średnicy cząstki o znanej
prędkości opadania obliczenia należy wykonać metodą prób i błędów.
4
4
,
,
,
,
Re
,
Przedstawione powyżej rozważania dotyczą cząstek o kształcie kulistym. Dla cząstek
o kształcie odbiegającym od kuli prędkość opadania należy skorygować za pomocą
odwrotności współczynnika kształtu czyli współczynnika sferyczności.
Przykładowo
w obszarze Stokesa
współczynnik oporu kształtu oblicza się z zależności:
a
op
,
Re
gdzie wielkość
a
24
,
0
843
log
0
065
a zatem prędkość opadania oblicza się z zależności:
w
d
2
z
s
g
0
843
log
18
0
065
Z kolei
w obszarze Newtona
współczynnik oporu kształtu przedstawia zależność:
87
op
5
31
4
a prędkość opad
ania liczy się z zależności:
w
4
d
p
s
g
3
617
d
p
s
5
31
4
87
5
0
,
3
5
31
4
87
Dla
obszaru Allena
nie ma jednej zależności na obliczanie prędkości opadania, gdyż
współczynnik oporu kształtu zależy nie tylko od sferyczności, ale także od wartości liczby
Reynoldsa.
Współczynnik sferyczności występujący w powyższych równaniach określa
stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni cząstki przy takiej samej objętości, zatem
jest to liczba mniejsza
od 1.Przykładowe wartości dla wybranych brył poda
no poniżej.
Bryła
Współczynnik
sferyczności
Kula
1
Sześcian
0,806
a
0,766
Graniastosłup 3
2
a 0,76
a
Walec r
h
2
0,873
h
0,691
Opadanie pojedynczych cząstek w aparatach przemysłowych jest wyjątkowo rzadkie.
Najczęściej występuje tak zwane opadanie gromadne, tj. takie w którym sąsiadujące cząstki
mają wpływ na ruch innych. Wówczas ciecz i obecne w niej cząstki należy traktować jako
zawiesinę. Obecność wielu cząstek powoduje zmniejszenie przekroju, w którym jest faza
ciągła i w związku z tym występuje wówczas wsteczny ruch cieczy. Wielkością, która opisuje
wpływ innych cząstek na opadanie w roju jest porowatość zawiesiny , czyli udział objętości
swobodnej w całej zawiesinie.
Dla celów praktycznego wykorzystania w projektowaniu prędkość opadania kulistych
cząstek w zawiesinie w oblicza się mnożąc prędkość opadania pojedynczej cząstki przez
pewien współczynnik f.
Walec r
10
2
1
f
82
1
1
5
Graniastosłup
a
Plik z chomika:
Beretek
Inne pliki z tego folderu:
Absorpcja.doc
(1031 KB)
Dyfuzja w fazie gazowej wieloskładnikowa.doc
(553 KB)
Filtracja.doc
(117 KB)
Rektyfikacja.DOC
(879 KB)
Wnikanie masy.doc
(373 KB)
Inne foldery tego chomika:
Nowy folder
Nowy folder (2)
Podstawy Bioinformatyki
Podstawy Chemii Fizycznej
Podstawy Chemii Organicznej L
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin