05 Dynamika punktu materialnego II.pdf

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 5

5. Dynamika punktu materialnego II

5.1 Siły kontaktowe i tarcie

5.1.1 Siły kontaktowe

Gdy dwa ciała s ą dociskane do siebie to wyst ę puj ą mi ę dzy nimi siły kontaktowe .

Ź ródłem tych sił jest odpychanie pomi ę dzy atomami. Przy dostatecznie małej odległo ś ci

wyst ę puje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosn ą ce wraz z malej ą c ą

odległo ś ci ą . To jest siła elektromagnetyczna i mo Ŝ e by ć bardzo du Ŝ a w porównanie

z siłami grawitacyjnymi.

Je Ŝ eli siła ci ęŜ ko ś ci pcha blok w dół sił ą F g to powstaje druga siła - siła kontak-

towa F 1 . Siła wypadkowa F wyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej za-

sady dynamiki Newtona jest bardzo istotne, Ŝ eby obliczy ć sił ę wypadkow ą .

Przykład 1

Rozwa Ŝ my dwa klocki m 1 i m 2 na gład-

kiej powierzchni. Do klocka m 1 przyło-

Ŝ ono sił ę F . Czy siła F jest przenoszona

poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak

było to zgodnie z trzeci ą zasad ą dynami-

ki Newtona klocek 2 działałby na klocek

1 sił ą równ ą i przeciwnie skierowan ą .

Wtedy F wyp równałaby si ę zero!!!!, czyli,

Ŝ e nie mo Ŝ na by było poruszy ć ciała 1 bez wzgl ę du na to jak du Ŝ a jest siła F .

Zasada Newtona nie mówi, Ŝ e siła F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; po-

winno si ę przyj ąć sił ę kontaktow ą F k o dowolnej warto ś ci . Ogólnie: powinno si ę stoso-

wa ć drug ą zasad ę dynamiki oddzielnie do ka Ŝ dego ciała .

Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - F k = m 1 a

Dla klocka 2 F k = m 2 a

St ą d przyspieszenie a = F /( m 1 + m 2 )

Zauwa Ŝ my, Ŝ e ten wynik mo Ŝ na otrzyma ć gdy traktujemy te dwa klocki jak jedn ą mas ę

m = m 1 + m 2 .

m 1

m 2

-F k

F k

5.1.2 Tarcie

Siły kontaktowe, o których mówili ś my s ą normalne (prostopadłe) do powierzchni.

Istnieje jednak składowa siły kontaktowej le Ŝą ca w płaszczy ź nie powierzchni. Je Ŝ eli

ciało pchniemy wzdłu Ŝ stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma si ę . Z drugiej zasa-

dy dynamiki wiemy, Ŝ e je Ŝ eli ciało porusza si ę z przyspieszeniem to musi działa ć siła.

Tak ą sił ę nazywamy sił ą tarcia .

Rozwa Ŝ my np. klocek, do którego przykładamy "mał ą " sił ę F tak, Ŝ e klocek nie po-

rusza si ę . Oznacza to, Ŝ e sile F przeciwstawia si ę siła tarcia T . Mamy wi ę c: T = - F .

Zwi ę kszamy stopniowo sił ę F a Ŝ klocek zaczyna si ę porusza ć . Im gładsza powierzchnia

tym szybciej to nast ą pi. Oznacza to, Ŝ e siła tarcia zmienia si ę od warto ś ci zero do pew-

5-1

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

nej warto ś ci krytycznej w miar ę wzrostu siły F . Oznaczmy t ę krytyczn ą sił ę T s

(s-statyczna). To jest maksymalna siła tarcia statycznego .

T s (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:

Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jak ą jedna powierzchnia naci-

ska na drug ą .

Stosunek siły T s do nacisku F N nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego

(5.1)

Uwaga: Mówimy tylko o warto ś ciach tych sił bo s ą one do siebie prostopadłe. Je Ŝ eli F

jest wi ę ksze od T s to klocek poruszy si ę , ale b ę dzie istniała siła tarcia T k (k - kinetyczna)

przeciwstawiaj ą ca si ę ruchowi.

Siła T k spełnia trzy prawa empiryczne:

Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jak ą jedna powierz-chnia na-

ciska na drug ą ,

Nie zale Ŝ y od pr ę dko ś ci wzgl ę dnej poruszania si ę powierzchni .

Istnieje odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego

(5.2)

Dla wi ę kszo ś ci materiałów

k jest nieco mniejszy od

s . Np.

1 dla opon na jezdni

betonowej.

Tarcie jest bardzo zło Ŝ onym zjawiskiem i wyja ś nienie go wymaga znajomo ś ci od-

działywa ń atomów na powierzchni. Nie b ę dziemy si ę tym zajmowa ć . Ograniczmy si ę do

zauwa Ŝ enia, Ŝ e tarcie odgrywa bardzo istotn ą rol ę w Ŝ yciu codziennym. W samochodzie

np. na pokonanie siły tarcia zu Ŝ ywa si ę około 20% mocy silnika. Tarcie powoduje zu-

Ŝ ywanie poruszaj ą cych si ę cz ęś ci maszyn. Staramy si ę je zwalcza ć . Z drugiej strony bez

tarcia nie mogliby ś my chodzi ć , je ź dzi ć samochodami, trzyma ć ołówka, kredy, czy te Ŝ

nimi pisa ć .

5.2 Siły bezwładno ś ci

We wst ę pie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił wyst ę puj ą cych w przyrodzie.

Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi , poniewa Ŝ mo Ŝ emy je zawsze zwi ą za ć

z jakim ś konkretnym ciałem, mo Ŝ emy poda ć ich pochodzenie. Czy to samo mo Ŝ emy

powiedzie ć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspieszaniu,

hamowaniu czy zakr ę caniu samochodu?

Przykład 2

Dwaj obserwatorzy opisuj ą ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poni Ŝ ej.

Jeden z obserwatorów znajduje si ę w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek pocz ą tkowo

porusza si ę ze stał ą pr ę dko ś ci ą po linii prostej (1), nast ę pnie hamuje ze stałym opó ź nie-

niem a (2). Mi ę dzy kulk ą a wózkiem nie ma tarcia.

5-2

Jest w przybli Ŝ eniu niezale Ŝ na od powierzchni zetkni ę cia (w szerokim zakresie),

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

(1)

v k =0, F=0

(2)

F 1 =-ma

- a

v k =const, F=0

Gdy wózek jedzie ze stał ą pr ę dko ś ci ą to obydwaj obserwatorzy stwierdzaj ą zgodnie na

podstawie pierwszej zasady dynamiki, Ŝ e na kulk ę nie działa Ŝ adna siła. Zwró ć my uwa-

g ę , Ŝ e obserwatorzy znajduj ą si ę w inercjalnych układach odniesienia. Sytuacja zmienia

si ę gdy wózek zaczyna hamowa ć (2). Obserwator zwi ą zany z Ziemi ą dalej twierdzi, Ŝ e

kulka porusza si ę ze stał ą pr ę dko ś ci ą , a tylko podłoga wózka przesuwa si ę pod nim. Na-

tomiast obserwator w wózku stwierdza, Ŝ e kulka zaczyna si ę porusza ć si ę z przyspie-

szeniem – a w stron ę przedniej ś ciany wózka. Dochodzi do wniosku, Ŝ e na kulk ę o ma-

sie m k zacz ę ła działa ć siła

F 1 = - m k a

ale nie mo Ŝ e wskaza ć Ŝ adnego ciała, b ę d ą cego ź ródłem tej siły. Mówili ś my ju Ŝ , Ŝ e dru-

ga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauwa Ŝ my,

Ŝ e obserwator w wózku znajduje si ę teraz w układzie nieinercjalnym. Wida ć , Ŝ e jest w

bł ę dzie; nie istnieje rzeczywista siła F 1 . Jest to tak zwana pozorna siła bezwładno ś ci .

Powstaje wi ę c pytanie jak post ę powa ć gdy musimy rozwi ą za ć problem w układzie

nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej

ś cianki to wówczas według obserwatora na Ziemi (układ inercjalny) b ę dzie porusza ć si ę

z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo działa na ni ą siła F s spr ęŜ ysto ś ci przedniej

ś ciany wózka równa

F s = m k a

Natomiast obserwator w wózku stwierdza, Ŝ e kulka przestała si ę porusza ć ; spoczywa

wzgl ę dem niego. Jego zdaniem siła spr ęŜ ysto ś ci ś ciany F s równowa Ŝ y sił ę F 1 , tak Ŝ e

siła wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza si ę

F s + F 1 = 0

co po podstawieniu za F 1 = - m k a daje

F s = m k a

Okazuje si ę , Ŝ e wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki

sam jak dla obserwatora zwi ą zanego z Ziemi ą ale pod warunkiem uwzgl ę dnienia sił po-

zornych . Siły te "znikaj ą " je ś li rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalne-

5-3

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu

zdarze ń w układach poruszaj ą cych si ę z przyspieszeniem. W takim układzie uwzgl ę d-

niamy, Ŝ e na ka Ŝ de ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przy-

spieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a .

Przykład 3

Winda porusza si ę ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego

swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% wi ę kszy ni Ŝ w

windzie stoj ą cej. Obliczy ć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g .

Rozwi ą zujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed-

nym przypadku znajduje si ę na zewn ą trz windy, a w drugim jest pasa Ŝ erem tej windy.

W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), Ŝ e ciało przebywa dłu Ŝ sz ą drog ę

gdy winda jest w ruchu.

Dla windy stoj ą cej

Dla windy w ruchu

oraz

przy czym

Rozwi ą zanie tego układu równa ń daje wynik

Drugi obserwator za ka Ŝ dym razem widzi, Ŝ e ciało przebywa t ę sam ą drog ę H od sufitu

do podłogi ale w ró Ŝ nych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest ró Ŝ ne przyspiesze-

nie. Obserwator wprowadza do oblicze ń dodatkow ą sił ę nadaj ą c ą przyspieszenie – a .

Odpowiednie równania wygl ą daj ą teraz:

Dla windy stoj ą cej

Dla windy w ruchu

(

)

Uwzgl ę dniaj ą c, Ŝ e

5 t

otrzymujemy

Tak wi ę c uwzgl ę dnienie sił bezwładno ś ci jest konieczne je Ŝ eli chcemy stosowa ć zasady

dynamiki w układach nieinercjalnych .

5-4

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

W takim układzie uwzgl ę dniamy, Ŝ e na ka Ŝ de ciało działa siła wprost proporcjonalna do

masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a .

Inny przykład stanowi ą układy nieinercjalne poruszaj ą ce si ę ruchem obrotowym. Np.

obserwator w satelicie kr ąŜą cym wokół Ziemi obserwuj ą c ciało spoczywaj ą ce w tym

satelicie stwierdza, Ŝ e siła wypadkowa działaj ą ca na ten obiekt jest równa zeru. Musi

wi ę c istnie ć , według niego, siła która równowa Ŝ y sił ę grawitacji (do ś rodkow ą ). Sił ę t ę

nazywamy sił ą od ś rodkow ą i jest to siła pozorna .

Na zako ń czenie rozpatrzmy ruch post ę powy ciała w obracaj ą cym si ę układzie

odniesienia. Przykładem mo Ŝ e by ć człowiek poruszaj ą cy si ę po linii prostej (radialnie)

od ś rodka do brzegu karuzeli obracaj ą cej si ę z pr ę dko ś ci ą k ą tow ą

t , człowiek

zmienia swoje poło Ŝ enie z punktu A do A'. Obliczymy teraz zmian ę jego pr ę dko ś ci ra-

dialnej v r i stycznej v s . Pr ę dko ść radialna zmienia swój kierunek. Pr ę dko ść styczna na-

tomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie do ś rodkowe) ale równie Ŝ warto ść bo

człowiek oddala si ę od ś rodka (ro ś nie r ).

Najpierw rozpatrzmy ró Ŝ nic ę pr ę dko ś ci v r w punktach A i A' pokazan ą na powy Ŝ szym

rysunku po prawej stronie. Dla małego k ą ta

w czasie

(tzn. małego

t ) mo Ŝ emy napisa ć

v s

v r

v s

v r

r+ D r

v r

D v r = v r

Je Ŝ eli obustronnie podzielimy równanie przez

t to w granicy

t ã 0 otrzymamy

Zmienia si ę równie Ŝ pr ę dko ść styczna bo człowiek porusza si ę wzdłu Ŝ promienia. W

punkcie A pr ę dko ść styczna v s = w r , a w punkcie A' v s ' = w( r +D r ). Zmiana pr ę dko ś ci

stycznej wynosi wi ę c

5-5

. Na rysunku poni Ŝ ej

pokazana jest zmiana pr ę dko ś ci człowieka. Linia (promie ń ) wzdłu Ŝ której porusza si ę

człowiek zmienia swój kierunek (karuzela obraca si ę ) o k ą t

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: