11 Elementy szczególnej teorii względności.pdf

(116 KB) Pobierz
11 Elementy szczególnej teorii wzglêdnoœci
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 11
11.Elementy szczególnej teorii wzgl ę dno ś ci
11.1 Wst ę p
Mechanika klasyczna oparta na zasadach dynamiki Newtona poprawnie opisuje zja-
wiska, w których pr ę dko ś ci ciał s ą małe w porównaniu z pr ę dko ś ci ą ś wiatła. Jednak
w zjawiskach atomowych, j ą drowych i w astrofizyce spotykamy si ę z pr ę dko ś ciami
zbli Ŝ onymi do pr ę dko ś ci ś wiatła i wtedy zamiast mechaniki klasycznej musimy stoso-
wa ć mechanik ę relatywistyczn ą opart ą na szczególnej teorii wzgl ę dno ś ci opracowanej
przez Einsteina. Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechanik ą relatywistyczn ą ,
a stanowi jej szczególny przypadek (dla małych pr ę dko ś ci).
11.1.1 Zasada wzgl ę dno ś ci
Wiemy ju Ŝ , Ŝ e gdy układ porusza si ę ze stał ą pr ę dko ś ci ą po linii prostej to ka Ŝ de do-
ś wiadczenie przebiega tak samo jakby ś my si ę nie poruszali. Jednocze ś nie jakakolwiek
zmiana pr ę dko ś ci natychmiast jest przez nas zauwa Ŝ ana.
Narzuca si ę wniosek, poparty przez niezliczone obserwacje, Ŝ e Ŝ adne do ś wiadczenie nie
pozwala nam stwierdzi ć , Ŝ e si ę poruszamy ( v = const). Inaczej mówi ą c:
Prawa przyrody (w szczególno ś ci fizyki) s ą takie same bez wzgl ę du na to, czy obserwu-
jemy je z układu nie poruszaj ą cego si ę , czy z ruchomego, ale poruszaj ą cego si ę bez
przy ś pieszenia (czyli układu inercjalnego)
Ten wniosek, nazywany obecnie zasad ą wzgl ę dno ś ci : sformułowano jeszcze za czasów
Galileusza.
11.1.2 Transformacja Galileusza
Omawiaj ą c zasady dynamiki Newtona stwierdzili ś my, Ŝ e prawa przyrody (w
szczególno ś ci fizyki) s ą takie same bez wzgl ę du na to, czy obserwujemy je z układu nie
poruszaj ą cego si ę , czy z ruchomego, ale poruszaj ą cego si ę bez przy ś pieszenia (układy
inercjalne).
Spróbujemy teraz opisa ć zjawiska widziane z dwóch ró Ŝ nych inercjalnych układów
odniesienia, poruszaj ą cych si ę wzgl ę dem siebie (rysunek). W tym celu wyobra ź my so-
bie, obserwatora na ziemi, który rejestruje dwa wybuchy na pewnej, jednakowej wyso-
ko ś ci. Odległo ść mi ę dzy miejscami wybuchów wynosi, (według ziemskiego obserwato-
ra)
x , natomiast czas mi ę dzy wybuchami
D
t ’.
Porównajmy teraz spostrze Ŝ enia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to
np. z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisa ć to co widz ą pasa Ŝ erowie samo-
lotu.
D
x ’, a ró Ŝ nica czasu
D
11-1
t . Te same dwa zdarzenia obserwowane s ą
przez pasa Ŝ era samolotu lec ą cego z pr ę dko ś ci ą V po linii prostej ł ą cz ą cej miejsca wybu-
chów. Wzgl ę dem lokalnego układu odniesienia zwi ą zanego z lec ą cym samolotem ró Ŝ -
nica poło Ŝ e ń wybuchów wynosi
D
19146771.021.png 19146771.022.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Je Ŝ eli, pierwszy wybuch nast ą pił w punkcie x 1 ’ (wzgl ę dem samolotu), a drugi po
czasie
D
t , to w tym czasie samolot przeleciał drog ę V
D
t (wzgl ę dem obserwatora na
Ziemi) i drugi wybuch został zaobserwowany w punkcie
x
2
' 1
x
'
+
D
x
-
Vt
czyli
D
x
'
=
x
2
'
-
x
1
'
=
D
x
-
Vt
Jednocze ś nie, poniewa Ŝ samolot leci wzdłu Ŝ linii ł ą cz ą cej wybuchy, to D y’ = D z’ = 0.
Oczywistym wydaje si ę te Ŝ , Ŝ e D t’ = D t .
Otrzymali ś my wi ę c wzory przekładaj ą ce wyniki obserwacji jednego obserwatora na
spostrze Ŝ enia drugiego .
x
'
=
x
-
Vt
y
'
=
y
(11.1)
z
'
=
z
t
'
=
t
Te równania nosz ą nazw ę transformacji Galileusza
Sprawd ź my, czy stosuj ą c powy Ŝ sze wzory do opisu do ś wiadcze ń , otrzymamy takie sa-
me wyniki, niezale Ŝ nie od układu w którym to do ś wiadczenie opisujemy. Jako przykład
wybierzmy ciało poruszaj ą ce wzdłu Ŝ osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przy-
spieszeniem a . W układzie nieruchomym pr ę dko ść chwilowa ciała wynosi
u
=
D
x
D
t
Jego przyspieszenie jest stałe i równe a . Natomiast obserwator w poje ź dzie poruszaj ą -
cym si ę wzdłu Ŝ osi x ze stał ą pr ę dko ś ci ą V rejestruje, Ŝ e w czasie
D
t ’ ciało przebywa
odległo ść
D
x ’. Zatem pr ę dko ść chwilowa ciała zmierzonego przez tego obserwatora
wynosi
11-2
=
19146771.023.png 19146771.024.png 19146771.001.png 19146771.002.png 19146771.003.png 19146771.004.png 19146771.005.png 19146771.006.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
u
'
=
D
x
'
D
t
'
Zgodnie z transformacj ą Galileusza
D
x ' =
D
x - V
D
t , oraz
D
t ' =
D
t , wi ę c
u
'
D
= '
x
'
=
D
x
-
V
D
t
=
u
-
V
D
t
D
t
Otrzymali ś my pr ę dko ść wzgl ę dn ą jednego obiektu wzgl ę dem drugiego co jest wynikiem
intuicyjnie oczywistym. Natomiast przy ś pieszenie w układzie poruszaj ą cym si ę wynosi
a
'
=
D
u
'
=
D
(
u
-
V
)
=
D
u
=
a
D
t
'
D
t
D
t
10 8 m/s. Tymczasem zgodnie
z transformacj ą Galileusza i ze zdrowym rozs ą dkiem powinni ś my otrzyma ć warto ść
c – V . Wykonano szereg do ś wiadcze ń , w których próbowano podwa Ŝ y ć równania
Maxwella, a w szczególno ś ci próbowano pokaza ć , Ŝ e pr ę dko ść ś wiatła, tak jak pr ę dko ść
d ź wi ę ku zale Ŝ y od układu odniesienia (stosuje si ę do transformacji Galileusza). Naj-
sławniejsze z nich, to do ś wiadczenie Michelsona-Morleya maj ą ce na celu wykrycie
wpływu ruchu orbitalnego Ziemi na pr ę dko ść ś wiatła poprzez pomiar pr ę dko ś ci ś wiatła
w kierunku prostopadłym i równoległym do ruchu Ziemi. Wszystkie te do ś wiadczenia
dały wynik negatywny i musimy uzna ć , Ŝ e pr ę dko ść ś wiatła w pró Ŝ ni jest jednakowa we
wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Pr ę dko ść ś wiatła c = 2.988
×
10 8 m/s we wszystkich układach odniesienia .
Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikaj ą ce ze stało ś ci pr ę dko ś ci ś wiatła.
×
11.1.3 Dylatacja czasu
Załó Ŝ my, Ŝ e w rakiecie znajduje si ę przyrz ą d wysyłaj ą cy impuls ś wiatła z punktu A ,
który nast ę pnie odbity przez lustro Z , odległe od A o d powraca do punktu A , gdzie jest
rejestrowany (rysunek).
Czas
t ' = 2 d / c (rysunek po lewej stronie).
Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego, wzgl ę dem którego rakieta
porusza si ę w prawo z pr ę dko ś ci ą V . Chcemy, w tym układzie, znale źć czas
D
t przelotu
ś wiatła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A . Jak wida ć na rysunku (po prawej
D
11-3
Wida ć , Ŝ e w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik
zgodny z do ś wiadczeniem. Jednak nie jest to prawd ą w ka Ŝ dym przypadku. Miedzy in-
nymi stwierdzono, Ŝ e ta transformacja zastosowana do równa ń Maxwella nie daje tych
samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. W szczególno ś ci z praw
Maxwella wynika, Ŝ e pr ę dko ść ś wiatła jest podstawow ą stał ą przyrody i powinna by ć
taka sama w ka Ŝ dym układzie odniesienia .
Oznacza to na przykład, Ŝ e gdy impuls ś wiatła rozchodz ą cy si ę w pró Ŝ ni w kierunku x
jest obserwowany przez dwóch obserwatorów (patrz na tekst i rysunek powy Ŝ ej) to za-
równo obserwator nieruchomy jak poruszaj ą cy si ę z pr ę dko ś ci ą V (wzgl ę dem pierwsze-
go) zmierz ą identyczn ą pr ę dko ść impulsu c = 2.998
t ' jaki upływa mi ę dzy wysłaniem ś wiatła, a jego zarejestrowaniem przez obser-
watora b ę d ą cego w rakiecie jest oczywi ś cie równy
D
19146771.007.png 19146771.008.png 19146771.009.png 19146771.010.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
stronie) ś wiatło przechodz ą c od punktu A do zwierciadła Z porusza si ę po linii
o długo ś ci S
D
t
2
S
=
V
+
d
2
2
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi A Z A (tj. dwóch odcinków S ) wynosi
D
t
2
V
+
d
2
2
D
t
=
2
c
lub po przekształceniu
2
d
D
t
=
c
=
D
t
'
(11.2)
V
2
V
2
1
-
1
-
c
2
c
2
Widzimy, Ŝ e warunek stało ś ci pr ę dko ś ci ś wiatła w ró Ŝ nych układach odniesienia mo Ŝ e
by ć spełniony tylko wtedy gdy, czas pomi ę dzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi
i mierzonymi z ró Ŝ nych układów odniesienia jest ró Ŝ ny.
W konsekwencji, ka Ŝ dy obserwator stwierdzi, Ŝ e poruszaj ą cy si ę zegar idzie wolniej ni Ŝ
identyczny zegar w spoczynku .
To zjawisko dylatacji czasu jest własno ś ci ą samego czasu i dlatego spowolnieniu ulega-
j ą wszystkie procesy fizyczne gdy s ą w ruchu. Dotyczy to równie Ŝ reakcji chemicznych,
wi ę c i np. biologicznego starzenia si ę .
Dylatacj ę czasu zaobserwowano do ś wiadczalnie min. za pomoc ą nietrwałych cz ą stek.
Cz ą stki takie przyspieszano do pr ę dko ś ci bliskiej pr ę dko ś ci ś wiatła i mierzono zmian ę
ich czasu połowicznego zaniku.
11-4
19146771.011.png 19146771.012.png 19146771.013.png 19146771.014.png 19146771.015.png 19146771.016.png 19146771.017.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
11.2 Transformacja Lorentza
Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przekłada-
j ą cych spostrze Ŝ enia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znale źć
transformacj ę współrz ę dnych ale tak ą , w której obiekt poruszaj ą cy si ę z pr ę dko ś ci ą
równ ą c w układzie nieruchomym ( x , y , z , t ), równie Ŝ w układzie ( x ', y ', z ', t ') poruszaj ą -
cym si ę z pr ę dko ś ci ą V wzdłu Ŝ osi x b ę dzie porusza ć si ę z pr ę dko ś ci ą c .
Transformacja współrz ę dnych, która uwzgl ę dnia niezale Ŝ no ść pr ę dko ś ci ś wiatła od
układu odniesienia ma posta ć
x
'
=
x
-
Vt
=
x
-
Vt
2
2
V
1
-
b
1
-
c
2
y
'
=
y
z
'
=
z
(11.3)
t
-
V
x
t
-
V
x
c
2
c
2
t
'
=
=
2
2
V
1
-
b
1
-
c
2
= V / c . Te równania nosz ą nazw ę transformacji Lorentza .
Omówimy teraz niektóre wnioski wynikaj ą ce z transformacji Lorentza.
b
11.2.1 Jednoczesno ść
Przyjmijmy, Ŝ e według obserwatora w rakiecie poruszaj ą cej si ę wzdłu Ŝ osi x ' (czyli
tak Ŝ e wzdłu Ŝ osi x , bo zakładamy, Ŝ e te osie s ą równoległe) pewne dwa zdarzenia za-
chodz ą równocze ś nie
D
t ' = t 2 ' - t 1 ' = 0, ale w ro Ŝ nych miejscach x 2 ' - x 1 ' =
D
x '
¹
D
t
-
V
D
x
c
2
D
t
'
=
2
1
-
b
D
x
=
D
x
'
1
-
b
2
+
V
D
t
Ł ą cz ą c oba powy Ŝ sze równania otrzymujemy zwi ą zek
D
t
'
=
D
t
1
-
b
2
-
V
D
x
'
(11.4)
c
2
Je Ŝ eli teraz uwzgl ę dnimy fakt, Ŝ e zdarzenia w układzie zwi ą zanym z rakiet ą s ą jedno-
czesne
D
t ' = 0 to otrzymamy ostatecznie
11-5
gdzie
0.
Sprawd ź my, czy te same zdarzanie s ą równie Ŝ jednoczesne dla obserwatora w spoczyn-
ku. Z transformacji Lorentza wynika, Ŝ e
19146771.018.png 19146771.019.png 19146771.020.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin