17 Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II.pdf
(
110 KB
)
Pobierz
17 Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 17
17.
Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II
17.1
Ś
rednia droga swobodna
Ś
rednia droga swobodna to inaczej
ś
rednia odległo
ść
mi
ę
dzy miejscami kolejnych
zderze
ń
. Zale
Ŝ
y od rozmiarów cz
ą
steczek i od ich liczby w jednostce obj
ę
to
ś
ci.
Rozpatrujemy cz
ą
stk
ę
kulist
ą
o
ś
rednicy
d
. Zderzenie b
ę
dzie miało miejsce gdy odle-
gło
ść
mi
ę
dzy
ś
rodkami b
ę
dzie mniejsza ni
Ŝ
d
. Inaczej mówi
ą
c cz
ą
steczka jest "tarcz
ą
" o
powierzchni
s
=
p
d
2
Ta powierzchnia nosi nazw
ę
całkowitego przekroju czynnego
.
W czasie
t
cz
ą
steczka poruszaj
ą
ca si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
v
"przemiata" obj
ę
to
ść
walca
v
t
s
.
Je
Ŝ
eli
n
jest liczb
ą
cz
ą
steczek w jednostce obj
ę
to
ś
ci to w tym walcu nasza cz
ą
stka napo-
tka (zderzy si
ę
z)
n
z
=
v
t
s
n
cz
ą
stek.
Ś
rednia droga swobodna to
ś
rednia odległo
ść
pomi
ę
dzy punktami kolejnych zderze
ń
.
Jest ona równa całkowitej odległo
ś
ci przebywanej przez cz
ą
stk
ę
podzielonej przez licz-
b
ę
zderze
ń
l
=
v
v
t
=
1
=
1
(17.1)
t
s
n
s
n
p
d
2
n
To równanie wyprowadzono w oparciu o zało
Ŝ
enie,
Ŝ
e cz
ą
stka zderza si
ę
z nierucho-
mymi obiektami. W rzeczywisto
ś
ci cz
ą
steczki uderzaj
ą
w poruszaj
ą
cy si
ę
cel. Cz
ę
sto
ść
zderze
ń
jest wi
ę
ksza, a
ś
rednia droga swobodna mniejsza
l =
2
1
p
d
2
n
(17.2)
Zwró
ć
my uwag
ę
,
Ŝ
e wtedy w równaniu (1
7.
1) dwie wyst
ę
puj
ą
ce tam pr
ę
dko
ś
ci s
ą
ró
Ŝ
ne:
pr
ę
dko
ść
w liczniku to pr
ę
dko
ść
ś
rednia
v
cz
ą
stec
zek wzgl
ę
dem naczynia, a pr
ę
dko
ść
w mianowniku to
ś
rednia pr
ę
dko
ść
wzgl
ę
dna
wzgl
v
w stosunku do innych cz
ą
steczek.
Mo
Ŝ
na si
ę
przekona
ć
jako
ś
ciowo,
Ŝ
e
v
>
v
wzgl
Np. gdy cz
ą
stki biegn
ą
naprzeciw siebie to
wzgl
v
= 2
v
, gdy pod k
ą
tem prostym to
v
2
=
v
a gdy w t
ę
sam
ą
stron
ę
to
wzgl
v
= 0. Uwzgl
ę
dniaj
ą
c rzeczywisty rozkład
pr
ę
dko
ś
ci otrzymujemy
v
2
=
v
.
17-1
wzgl
wzgl
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Przykład 1
Cz
ą
stki powiet
rz
a w temperaturze 273 K i pod ci
ś
nieniem 1 atm.
d
= 2·10
-8
cm,
v
= 10
5
cm/s,
n
= 3·10
19
/cm
3
.
Wówczas
ś
rednia droga swobodna jest równa 2·10
-5
cm (około 1000
d
).
Odpowiednia cz
ę
sto
ść
zderze
ń
wynosi 5·10
9
/s.
17.2
Rozkład pr
ę
dko
ś
ci Maxwella
Na poprzednim wykładzie omawiali
ś
my pr
ę
dko
ść
ś
redni
ą
kwadratow
ą
cz
ą
steczek
gazu. Jednak ka
Ŝ
dy gaz ma charakterystyczny rozkład pr
ę
dko
ś
ci, który zale
Ŝ
y od tempe-
ratury (cz
ą
stki nie mog
ą
mie
ć
takich samych pr
ę
dko
ś
ci bo pr
ę
dko
ś
ci zmieniaj
ą
si
ę
w
wyniku zderze
ń
).
Clerk Maxwell podał prawo rozkładu pr
ę
dko
ś
ci cz
ą
steczek, które dla gazu zawieraj
ą
ce-
go
N
cz
ą
steczek ma posta
ć
3
m
v
2
m
2
-
N
(
v
)
=
4
p
N
v
2
e
2
kT
(17.3)
2
p
kT
W równaniu tym
N
(
v
)d
v
jest liczb
ą
cz
ą
stek o pr
ę
dko
ś
ciach z przedziału od
v
do
v
+
d
v
.
T
- temperatura bezwzgl
ę
dna,
k
- stała Boltzmana,
m
- masa cz
ą
steczki.
Całkowit
ą
liczb
ę
cz
ą
steczek mo
Ŝ
na zatem obliczy
ć
dodaj
ą
c (całkuj
ą
c) liczby dla po-
szczególnych ró
Ŝ
niczkowych przedziałów pr
ę
dko
ś
ci
N
=
0
∫
¥
N
(
v
v
)
d
Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch ró
Ŝ
nych temperatur.
T=70 K
_
v
v
2
v
p
__
T=300 K
0
200
400
600
800
1000
v (m/s)
gdzie -
v
pr
ę
dko
ść
ś
rednia,
v
- pr
ę
dko
ść
ś
rednia kwadratowa,
v
p
– pr
ę
dko
ść
najbar-
dziej prawdopodobna.
17-2
2
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny niesko
ń
-
czono
ś
ci. Ze wzrostem temperatury ro
ś
nie pr
ę
dko
ść
ś
rednia kwadratowa. Obszar pr
ę
d-
ko
ś
ci jest teraz wi
ę
kszy. Poniewa
Ŝ
liczba cz
ą
stek (pole pod krzyw
ą
) jest stała wi
ę
c roz-
kład si
ę
"rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperatur
ą
, liczby cz
ą
stek o pr
ę
dko
ś
ciach wi
ę
k-
szych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybko
ś
ci reakcji chemicz-
nych towarzysz
ą
cych zwi
ę
kszeniu temperatury. Z równania wida
ć
,
Ŝ
e rozkład pr
ę
dko
ś
ci
zale
Ŝ
y od masy cz
ą
steczek. Im mniejsza masa tym wi
ę
cej szybkich cz
ą
steczek (w danej
temperaturze). Dlatego wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery ni
Ŝ
tlen czy
azot.
17.3
Równanie Van der Waalsa
Równanie stanu gazu doskonałego
pV = nRT
dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych g
ę
sto
ś
ciach. Przy wi
ę
kszych g
ę
sto-
ś
ciach nie mo
Ŝ
na pomin
ąć
faktu,
Ŝ
e cz
ą
stki zajmuj
ą
cz
ęść
obj
ę
to
ś
ci dost
ę
pnej dla gazu
oraz
Ŝ
e zasi
ę
g sił mi
ę
dzycz
ą
steczkowych mo
Ŝ
e by
ć
wi
ę
kszy ni
Ŝ
odległo
ś
ci mi
ę
dzycz
ą
-
steczkowe.
J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzgl
ę
dnia te
czynniki. Je
Ŝ
eli cz
ą
stki posiadaj
ą
sko
ń
czon
ą
obj
ę
to
ść
to rzeczywista obj
ę
to
ść
dost
ę
pna
dla cz
ą
stek jest mniejsza od obj
ę
to
ś
ci naczynia. "Obj
ę
to
ść
swobodna" jest mniejsza od
obj
ę
to
ś
ci naczynia o "obj
ę
to
ść
własn
ą
" cz
ą
steczek
b
. Je
Ŝ
eli oznaczymy przez
v
obj
ę
to
ść
przypadaj
ą
c
ą
na jeden mol
v
=
V
/
n
to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu gazu
p
(
v
– b
) =
RT
Mo
Ŝ
na równie
Ŝ
prosto uwzgl
ę
dni
ć
efekt sił mi
ę
dzycz
ą
steczkowych. Siły przyci
ą
gania
pomi
ę
dzy
n
cz
ą
steczkami (na jednostk
ę
obj
ę
to
ś
ci) "po lewej" z
n
cz
ą
steczkami (na jed-
nostk
ę
obj
ę
to
ś
ci) "po prawej" jest proporcjonalna do
n
2
czyli proporcjonalna do 1/
v
2
.
Siła przyci
ą
gaj
ą
ca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ci
ś
nieniu, które zo-
stało uwzgl
ę
dnione w równaniu Van der Waalsa
p
+
a
2
v
(
-
b
)
=
RT
(17.4)
v
gdzie stałe
a
i
b
wyznaczamy do
ś
wiadczalnie. (Równanie Van der Waalsa te
Ŝ
bywa za-
wodne ale nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby si
ę
do ró
Ŝ
nych gazów w
ró
Ŝ
nych warunkach).
Na rysunku poni
Ŝ
ej porównano zachowanie si
ę
gazu doskonałego (rysunek po lewej)
w stałej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).
17-3
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
400
400
350
350
300
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0
0.05
0.10
0.15
V
V
17.4
Entropia i druga zasada termodynamiki
17.4.1
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego spr
ęŜ
anie gazu.
1.
Tłok przesuwamy bardzo szybko i czekamy a
Ŝ
ustali si
ę
równowaga z otoczeniem.
W czasie takiego procesu ci
ś
nienie i temperatura gazu nie s
ą
dobrze okre
ś
lone bo
nie s
ą
jednakowe w całej obj
ę
to
ś
ci.
2.
Tłok przesuwamy bardzo powoli, tak
Ŝ
e ci
ś
nienie i temperatura gazu s
ą
w ka
Ŝ
dej
chwili dobrze okre
ś
lone. Poniewa
Ŝ
zmiana jest niewielka to gaz szybko osi
ą
ga nowy
stan równowagi. Mo
Ŝ
emy zło
Ŝ
y
ć
cały proces z ci
ą
gu takich małych przesuni
ęć
tłoka
i wtedy podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Je
Ŝ
eli b
ę
dziemy
zmniejsza
ć
nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym
wszystkie stany po
ś
rednie (pomi
ę
dzy pocz
ą
tkowym i ko
ń
cowym) s
ą
stanami rów-
nowagi.
Proces typu (1) nazywamy
procesem nieodwracalnym
a proces typu (2)
procesem
odwracalnym
.
Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomoc
ą
bardzo małej (ró
Ŝ
niczkowej) zmiany
otoczenia mo
Ŝ
na wywoła
ć
proces odwrotny do niego tzn. przebiegaj
ą
cy po tej samej
drodze w przeciwnym kierunku
.
17.4.2
Cykl Carnota
Bardzo wa
Ŝ
nym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granic
ę
naszych mo
Ŝ
liwo
ś
ci zamiany ciepła na prac
ę
.
1)
Gaz znajduje si
ę
w stanie
p
1
,
V
1
,
T
1
(punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła
i pozwalamy,
Ŝ
eby gaz rozpr
ęŜ
ył si
ę
izotermicznie do stanu
p
2
,
V
2
,
T
1
(punkt B). Gaz
pobiera ciepło Q
1
.
2)
Cylinder stawiamy na izoluj
ą
cej podstawce i pozwalamy na dalsze rozpr
ęŜ
anie adia-
batyczne gazu (np. zmniejszaj
ą
c obci
ąŜ
enie tłoka) do stanu
p
3
,
V
3
,
T
2
(punkt C). Gaz
wykonuje prac
ę
przy podnoszeniu tłoka i jego temperatura spada do
T
2
.
3)
Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (
T
2
) i spr
ęŜ
amy gaz izotermicznie do
stanu
p
4
,
V
4
,
T
2
(punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło
Q
2
.
17-4
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
4)
Cylinder stawiamy na izoluj
ą
-
cej podstawce i spr
ęŜ
amy adiaba-
tycznie do stanu
p
1
,
V
1
,
T
1
(punkt
A). Siły zewn
ę
trzne wykonuj
ą
prac
ę
i temperatura gazu podnosi
si
ę
do
T
1
.
Wypadkowa praca
W
wyko-
nana przez układ w czasie pełne-
go cyklu jest opisana przez po-
wierzchni
ę
zawart
ą
wewn
ą
trz
krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa
ilo
ść
ciepła pobrana przez układ
podczas jednego cyklu wynosi
Q
1
-
Q
2
. Wypadkowa zmiana
energii wewn
ę
trznej wynosi zero bo stan ko
ń
cowy pokrywa si
ę
z pocz
ą
tkowym.
Z pierwszej zasady termodynamiki mamy wi
ę
c
A
Q
1
B
W
T
1
D
C
Q
2
T
2
V
W
=
Q
1
–
Q
2
Sprawno
ść
silnika wynosi
h
=
W
=
Q
-
Q
2
=
T
-
T
2
(17.5)
Q
Q
T
1
1
1
Cykl Carnota mo
Ŝ
na prowadzi
ć
w kierunku przeciwnym (maszyna chłodz
ą
ca).
17.4.3
Druga zasada termodynamiki
Zwró
ć
my jeszcze raz uwag
ę
na to,
Ŝ
e w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego cz
ęść
pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o ni
Ŝ
szej temperaturze i w konsekwen-
cji ta ilo
ść
ciepła nie była zamieniana na prac
ę
. Powstaje pytanie, czy mo
Ŝ
na skonstru-
owa
ć
urz
ą
dzenie, które pobierałoby ciepło i w cało
ś
ci zamieniałoby je na prac
ę
? Mogli-
by
ś
my wtedy wykorzysta
ć
ogromne (z naszego punktu widzenia niesko
ń
czone) ilo
ś
ci
ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowa-
nie słoneczne.
Negatywna, niestety, odpowied
ź
na to pytanie jest zawarta w
drugiej zasadzie
termodynamiki
. Poni
Ŝ
ej podane zostały równowa
Ŝ
ne sformułowania tej zasady
1)
Nie mo
Ŝ
na zbudowa
ć
perpetum mobile drugiego rodzaju.
2)
Gdy dwa ciała o ró
Ŝ
nych temperaturach znajd
ą
si
ę
w kontakcie termicznym, wów-
czas ciepło b
ę
dzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego.
3)
ś
adna cykliczna maszyna cieplna pracuj
ą
ca pomi
ę
dzy temperaturami
T
1
i
T
2
nie mo-
Ŝ
e mie
ć
sprawno
ś
ci wi
ę
kszej ni
Ŝ
(
T
1
-
T
2
)/
T
1
.
4)
W układzie zamkni
ę
tym entropia nie mo
Ŝ
e male
ć
.
Rozpatrzmy nast
ę
puj
ą
cy schemat (pokazany na rysunku poni
Ŝ
ej),w którym super
silnik o sprawno
ś
ci wi
ę
kszej od silnika Carnota nap
ę
dza ten silnik. Efektem ko
ń
cowym
jest przeniesienie dwóch jednostek ciepła z
zimniejszego
do
cieplejszego
zbiornika.
17-5
p
1
1
Plik z chomika:
sliwak
Inne pliki z tego folderu:
00 Spis treści.pdf
(53 KB)
01 Wprowadzenie.pdf
(74 KB)
02 Ruch jednowymiarowy.pdf
(68 KB)
03 Ruch na płaszczyźnie.pdf
(74 KB)
04 Dynamika punktu materialnego I.pdf
(59 KB)
Inne foldery tego chomika:
Animacje i symulacje do różnych działów fizyki
Arkusz maturalne
Arkusze matur
arkusze maturalne 2005-2011
Arkusze przykładowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin