19 Elektrostatyka I.pdf

(131 KB) Pobierz
19 Elektrostatyka I
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 19
19. Elektrostatyka I
19.1 Wst ę p
Wi ę kszo ść ciał stałych mo Ŝ na podzieli ć na przewodniki i izolatory . W izolatorze
nadmiarowy ładunek mo Ŝ e by ć rozmieszczony w całej obj ę to ś ci natomiast w przewod-
nikach swobodne elektrony b ę d ą si ę zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wytwo-
rzy si ę pole równowa Ŝą ce pole zewn ę trzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchni ę zamkni ę t ą tu Ŝ
poni Ŝ ej powierzchni przewodnika. Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
S
∫
E
d
S
=
Q
wewn
.
e
0
Wewn ą trz przewodnika w dowolnym punkcie po-
wierzchni S pole musi by ć równe zeru, bo inaczej elek-
trony poruszałyby si ę czyli
∫
E
d
S
=
0
Zatem
0 = Q wewn . /
e
0
St ą d
Q wewn . = 0
Tak wi ę c ładunek wewn ą trz dowolnej zamkni ę tej powierzchni (przewodnika) musi by ć
równy zeru; cały ładunek gromadzi si ę na powierzchni.
19.2 Kuliste rozkłady ładunków
19.2.1 Jednorodnie naładowana sfera
+Q
Rozpatrzmy jednorodnie naładowan ą po-
wierzchni ę kulist ą . W dowolnym punkcie sfery E
S wi ę c
r
∫
E
d
S
=
E
(
4
p
r
2
)
R
Zgodnie z prawem Gaussa:
E (4p r 2 ) = Q /e 0
czyli
19-1
19146834.026.png 19146834.027.png 19146834.028.png 19146834.029.png 19146834.001.png 19146834.002.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
E
=
1
Q
=
k
Q
(19.1)
4
pe
r
2
r
2
0
dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w ś rodku sfery).
Dla r < R , E = 0.
19.2.2 Jednorodnie naładowana kula
Przewodniki - równowa Ŝ ne sferze bo ładunek na powierzchni.
Izolator - równowa Ŝ ny szeregowi współ ś rodkowych sfer.
E
=
k
Q
wewn
.
r
2
gdzie Q wewn . = Q ( r 3 / R 3 ) (stosunek obj ę to ś ci kuli o promieniu r do obj ę to ś ci kuli o pro-
mieniu R , rysunek obok).
r
3
E
(
p
r
2
)
=
4
p
k
Q
R
3
Czyli
E
=
k
Q
r
(19.2)
R
3
Wykres E w funkcji odległo ś ci od ś rodka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany
poni Ŝ ej.
E
kQ 2 /R 2
R
r
Przykład 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywn ą jednorodnie
naładowan ą kul ę o promieniu R = 10 -10 m, całkowitym
ładunku Q = e = -1.6·10 -19 C i masie m e = 9.1·10 -31 kg.
Proton znajduj ą cy si ę w ś rodku chmury elektronowej
(stan podstawowy) zostaje przemieszczony o mał ą odle-
gło ść x 0 i puszczony swobodnie. Jaka b ę dzie cz ę stotli-
wo ść drga ń jakie elektron i proton b ę d ą wykonywały wo-
kół ich poło Ŝ e ń równowagi?
R
Q
r
Q wewn
19-2
4
19146834.003.png 19146834.004.png 19146834.005.png 19146834.006.png 19146834.007.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
chmura
elektronowa
Siła przywracaj ą ca proton do poło Ŝ enia
równowagi F = eE czyli
e
2
F
=
-
k
x
R
3
R
lub
x 0
d
2
x
e
2
proton
m e
=
-
k
x
d
t
2
R
3
Powinni ś my si ę posługiwa ć raczej mas ą
zredukowan ą
m
= M p m e /( M P + m e ) ale m e << M p wi ę c
m
»
m e .
Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
ke
2
w
=
m
R
3
e
f
=
2
p
= 2.5·10 15 Hz
Ta cz ę stotliwo ść jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierw-
szym stanie wzbudzonym czyli, Ŝ e taki model jest uzasadniony.
19.2.3 Liniowe rozkłady ładunków
Liczymy pole E w odległo ś ci r od jednorodnie naładowanego pr ę ta (drutu) o długo-
ś ci l >> r .
Wprowadzamy liniow ą g ę sto ść ładunku
l
L
r
+
+
+
Z prawa Gaussa
∫
E
d
S
=
l
L
=
4
p
k
(
l
L
)
e
0
E jest równoległe do wektora S i ma tak ą sam ą warto ść w ka Ŝ dym punkcie powierzchni
wi ę c
2
p
rLE = 4
p
kL
l
19-3
(ładunek na jednostk ę długo ś ci).
Jako powierzchni ę Gaussa wybieramy walec (mo Ŝ emy wybiera ć dowolnie).
19146834.008.png 19146834.009.png 19146834.010.png 19146834.011.png 19146834.012.png 19146834.013.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
E
=
2
k
l
=
l
(19.3)
r
2
pe
r
0
Teraz pole wewn ą trz. Wybieramy powierzchni ę Gaussa o promieniu r < R .
Ładunek wewn ą trz powierzchni Gaussa Q wewn. =
rp
r 2 L , gdzie
r
- g ę sto ść obj ę to ś ciowa
ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E (2
p
rL ) = 4
p
k (
rp
r 2 L )
E = 2 k
rp
r
poniewa Ŝ
l
=
rp
R 2
wi ę c
E
=
2
k
l
r
=
l
r
(19.4)
R
2
2
pe
R
2
0
19.2.4 Płaskie rozkłady ładunków
Obliczamy pole od niesko ń czonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.
Ładunek otoczony przez powierzchni ę Gaus-
sa jest równy Q wewn. =
jest g ę sto ś ci ą po-
wierzchniow ą , a S powierzchni ą podstawy walca. Z
prawa Gaussa
s
S , gdzie
s
E
E
2ES =
s
S /
e 0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom wal-
ca.
Ostatecznie otrzymujemy
E =
s
/2
e
0
(19.5)
Wiele zastosowa ń dotyczy układu dwóch, płaskich
równoległych płyt (kondensator płaski).
Pole wytwarzane przez płyt ę "po lewej stronie" (rysunek poni Ŝ ej) jest równe
E minus =
s
/2
e
0 i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płyt ę po prawej
E plus =
s
/
e
0 i skierowane jest od płyty.
Zatem w obszarze I
E I =
s
/2
e
0 + (–
s
/2
e
0 ) = 0
19-4
19146834.014.png 19146834.015.png 19146834.016.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
w obszarze II
I
II
III
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
E II = –
s
/2
e
0 + (–
s
/2
e
0 ) = –
s
/
e
0
w obszarze III
E III = (–
s
/2
e
0 ) +
s
/2
e
0 = 0
19.2.5 Powierzchnia przewodnika
Je Ŝ eli przedstawiona na rysunku naładowana
powierzchnia stanowi cz ęść powierzchni przewodnika to poniewa Ŝ cały ładunek groma-
dzi si ę na zewn ę trznej powierzchni to wewn ą trz E = 0. Co wi ę cej E musi by ć prostopa-
dłe do powierzchni (równoległe do S ) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony
poruszałyby si ę . Z prawa Gaussa
ES = (
s
S )/
e
0
wi ę c
E =
s
/
e
0
(19.6)
na powierzchni przewodnika.
19.3 Potencjał elektryczny
Zgodnie z naszymi rozwa Ŝ aniami ró Ŝ nica energii potencjalnych jest dana przez
B
E
pB E
-
pA
=
-
∫
F d
r
A
co dla pola elektrycznego daje
B
B
E
pB
-
E
pA
=
-
∫
F
d
r
=
-
q
∫
E
d
r
(19.7)
A
A
Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej mo Ŝ emy zdefiniowa ć punkt zerowej
energii potencjalnej dla ciała znajduj ą cego si ę w niesko ń czono ś ci. Wtedy
r
E
p
(
r
)
=
-
q
∫ ¥
E d
r
Je Ŝ eli przenosimy ładunek q z niesko ń czono ś ci do punktu odległego o r od innego ła-
dunku punktowego Q , to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile
elektrycznej , czyli
19-5
19146834.017.png 19146834.018.png 19146834.019.png 19146834.020.png 19146834.021.png 19146834.022.png 19146834.023.png 19146834.024.png 19146834.025.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin