17 Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II.pdf

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 17

17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II

17.1 Ś rednia droga swobodna

Ś rednia droga swobodna to inaczej ś rednia odległo ść mi ę dzy miejscami kolejnych

zderze ń . Zale Ŝ y od rozmiarów cz ą steczek i od ich liczby w jednostce obj ę to ś ci.

Rozpatrujemy cz ą stk ę kulist ą o ś rednicy d . Zderzenie b ę dzie miało miejsce gdy odle-

gło ść mi ę dzy ś rodkami b ę dzie mniejsza ni Ŝ d . Inaczej mówi ą c cz ą steczka jest "tarcz ą " o

powierzchni

d 2

Ta powierzchnia nosi nazw ę całkowitego przekroju czynnego .

W czasie t cz ą steczka poruszaj ą ca si ę z pr ę dko ś ci ą v "przemiata" obj ę to ść walca v t s .

Je Ŝ eli n jest liczb ą cz ą steczek w jednostce obj ę to ś ci to w tym walcu nasza cz ą stka napo-

tka (zderzy si ę z)

n z = v t

cz ą stek.

Ś rednia droga swobodna to ś rednia odległo ść pomi ę dzy punktami kolejnych zderze ń .

Jest ona równa całkowitej odległo ś ci przebywanej przez cz ą stk ę podzielonej przez licz-

b ę zderze ń

= v

(17.1)

To równanie wyprowadzono w oparciu o zało Ŝ enie, Ŝ e cz ą stka zderza si ę z nierucho-

mymi obiektami. W rzeczywisto ś ci cz ą steczki uderzaj ą w poruszaj ą cy si ę cel. Cz ę sto ść

zderze ń jest wi ę ksza, a ś rednia droga swobodna mniejsza

l =

d 2

(17.2)

Zwró ć my uwag ę , Ŝ e wtedy w równaniu (1 7. 1) dwie wyst ę puj ą ce tam pr ę dko ś ci s ą ró Ŝ ne:

pr ę dko ść w liczniku to pr ę dko ść ś rednia v cz ą stec zek wzgl ę dem naczynia, a pr ę dko ść

w mianowniku to ś rednia pr ę dko ść wzgl ę dna wzgl

v w stosunku do innych cz ą steczek.

Mo Ŝ na si ę przekona ć jako ś ciowo, Ŝ e

v > v

wzgl

Np. gdy cz ą stki biegn ą naprzeciw siebie to wzgl

v = 2 v , gdy pod k ą tem prostym to

v 2

a gdy w t ę sam ą stron ę to wzgl

v = 0. Uwzgl ę dniaj ą c rzeczywisty rozkład

pr ę dko ś ci otrzymujemy

v 2

17-1

wzgl

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Przykład 1

Cz ą stki powiet rz a w temperaturze 273 K i pod ci ś nieniem 1 atm.

d = 2·10 -8 cm, v = 10 5 cm/s, n = 3·10 19 /cm 3 .

Wówczas ś rednia droga swobodna jest równa 2·10 -5 cm (około 1000 d ).

Odpowiednia cz ę sto ść zderze ń wynosi 5·10 9 /s.

17.2 Rozkład pr ę dko ś ci Maxwella

Na poprzednim wykładzie omawiali ś my pr ę dko ść ś redni ą kwadratow ą cz ą steczek

gazu. Jednak ka Ŝ dy gaz ma charakterystyczny rozkład pr ę dko ś ci, który zale Ŝ y od tempe-

ratury (cz ą stki nie mog ą mie ć takich samych pr ę dko ś ci bo pr ę dko ś ci zmieniaj ą si ę w

wyniku zderze ń ).

Clerk Maxwell podał prawo rozkładu pr ę dko ś ci cz ą steczek, które dla gazu zawieraj ą ce-

go N cz ą steczek ma posta ć

(

)

(17.3)

W równaniu tym N ( v )d v jest liczb ą cz ą stek o pr ę dko ś ciach z przedziału od v do v +

d v . T - temperatura bezwzgl ę dna, k - stała Boltzmana, m - masa cz ą steczki.

Całkowit ą liczb ę cz ą steczek mo Ŝ na zatem obliczy ć dodaj ą c (całkuj ą c) liczby dla po-

szczególnych ró Ŝ niczkowych przedziałów pr ę dko ś ci

= 0

∫ ¥

( v

)

Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch ró Ŝ nych temperatur.

T=70 K

v 2

v p

T=300 K

200

400

600

800

1000

v (m/s)

gdzie - v pr ę dko ść ś rednia,

v - pr ę dko ść ś rednia kwadratowa, v p – pr ę dko ść najbar-

dziej prawdopodobna.

17-2

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny niesko ń -

czono ś ci. Ze wzrostem temperatury ro ś nie pr ę dko ść ś rednia kwadratowa. Obszar pr ę d-

ko ś ci jest teraz wi ę kszy. Poniewa Ŝ liczba cz ą stek (pole pod krzyw ą ) jest stała wi ę c roz-

kład si ę "rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperatur ą , liczby cz ą stek o pr ę dko ś ciach wi ę k-

szych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybko ś ci reakcji chemicz-

nych towarzysz ą cych zwi ę kszeniu temperatury. Z równania wida ć , Ŝ e rozkład pr ę dko ś ci

zale Ŝ y od masy cz ą steczek. Im mniejsza masa tym wi ę cej szybkich cz ą steczek (w danej

temperaturze). Dlatego wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery ni Ŝ tlen czy

azot.

17.3 Równanie Van der Waalsa

Równanie stanu gazu doskonałego

pV = nRT

dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych g ę sto ś ciach. Przy wi ę kszych g ę sto-

ś ciach nie mo Ŝ na pomin ąć faktu, Ŝ e cz ą stki zajmuj ą cz ęść obj ę to ś ci dost ę pnej dla gazu

oraz Ŝ e zasi ę g sił mi ę dzycz ą steczkowych mo Ŝ e by ć wi ę kszy ni Ŝ odległo ś ci mi ę dzycz ą -

steczkowe.

J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzgl ę dnia te

czynniki. Je Ŝ eli cz ą stki posiadaj ą sko ń czon ą obj ę to ść to rzeczywista obj ę to ść dost ę pna

dla cz ą stek jest mniejsza od obj ę to ś ci naczynia. "Obj ę to ść swobodna" jest mniejsza od

obj ę to ś ci naczynia o "obj ę to ść własn ą " cz ą steczek b . Je Ŝ eli oznaczymy przez v obj ę to ść

przypadaj ą c ą na jeden mol v = V / n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu gazu

p ( v – b ) = RT

Mo Ŝ na równie Ŝ prosto uwzgl ę dni ć efekt sił mi ę dzycz ą steczkowych. Siły przyci ą gania

pomi ę dzy n cz ą steczkami (na jednostk ę obj ę to ś ci) "po lewej" z n cz ą steczkami (na jed-

nostk ę obj ę to ś ci) "po prawej" jest proporcjonalna do n 2 czyli proporcjonalna do 1/ v 2 .

Siła przyci ą gaj ą ca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ci ś nieniu, które zo-

stało uwzgl ę dnione w równaniu Van der Waalsa

2 v

(

)

(17.4)

gdzie stałe a i b wyznaczamy do ś wiadczalnie. (Równanie Van der Waalsa te Ŝ bywa za-

wodne ale nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby si ę do ró Ŝ nych gazów w

ró Ŝ nych warunkach).

Na rysunku poni Ŝ ej porównano zachowanie si ę gazu doskonałego (rysunek po lewej)

w stałej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).

17-3

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

400

350

300

250

200

150

100

0.05

0.10

0.15

0.20

0.05

0.10

0.15

17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki

17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne

Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego spr ęŜ anie gazu.

1. Tłok przesuwamy bardzo szybko i czekamy a Ŝ ustali si ę równowaga z otoczeniem.

W czasie takiego procesu ci ś nienie i temperatura gazu nie s ą dobrze okre ś lone bo

nie s ą jednakowe w całej obj ę to ś ci.

2. Tłok przesuwamy bardzo powoli, tak Ŝ e ci ś nienie i temperatura gazu s ą w ka Ŝ dej

chwili dobrze okre ś lone. Poniewa Ŝ zmiana jest niewielka to gaz szybko osi ą ga nowy

stan równowagi. Mo Ŝ emy zło Ŝ y ć cały proces z ci ą gu takich małych przesuni ęć tłoka

i wtedy podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Je Ŝ eli b ę dziemy

zmniejsza ć nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym

wszystkie stany po ś rednie (pomi ę dzy pocz ą tkowym i ko ń cowym) s ą stanami rów-

nowagi.

Proces typu (1) nazywamy procesem nieodwracalnym a proces typu (2) procesem

odwracalnym .

Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomoc ą bardzo małej (ró Ŝ niczkowej) zmiany

otoczenia mo Ŝ na wywoła ć proces odwrotny do niego tzn. przebiegaj ą cy po tej samej

drodze w przeciwnym kierunku .

17.4.2 Cykl Carnota

Bardzo wa Ŝ nym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granic ę

naszych mo Ŝ liwo ś ci zamiany ciepła na prac ę .

1) Gaz znajduje si ę w stanie p 1 , V 1 , T 1 (punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła

i pozwalamy, Ŝ eby gaz rozpr ęŜ ył si ę izotermicznie do stanu p 2 , V 2 , T 1 (punkt B). Gaz

pobiera ciepło Q 1 .

2) Cylinder stawiamy na izoluj ą cej podstawce i pozwalamy na dalsze rozpr ęŜ anie adia-

batyczne gazu (np. zmniejszaj ą c obci ąŜ enie tłoka) do stanu p 3 , V 3 , T 2 (punkt C). Gaz

wykonuje prac ę przy podnoszeniu tłoka i jego temperatura spada do T 2 .

3) Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku ( T 2 ) i spr ęŜ amy gaz izotermicznie do

stanu p 4 , V 4 , T 2 (punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło Q 2 .

17-4

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

4) Cylinder stawiamy na izoluj ą -

cej podstawce i spr ęŜ amy adiaba-

tycznie do stanu p 1 , V 1 , T 1 (punkt

A). Siły zewn ę trzne wykonuj ą

prac ę i temperatura gazu podnosi

si ę do T 1 .

Wypadkowa praca W wyko-

nana przez układ w czasie pełne-

go cyklu jest opisana przez po-

wierzchni ę zawart ą wewn ą trz

krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa

ilo ść ciepła pobrana przez układ

podczas jednego cyklu wynosi

Q 1 - Q 2 . Wypadkowa zmiana

energii wewn ę trznej wynosi zero bo stan ko ń cowy pokrywa si ę z pocz ą tkowym.

Z pierwszej zasady termodynamiki mamy wi ę c

Q 1

T 1

Q 2

T 2

W = Q 1 – Q 2

Sprawno ść silnika wynosi

(17.5)

Cykl Carnota mo Ŝ na prowadzi ć w kierunku przeciwnym (maszyna chłodz ą ca).

17.4.3 Druga zasada termodynamiki

Zwró ć my jeszcze raz uwag ę na to, Ŝ e w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego cz ęść

pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o ni Ŝ szej temperaturze i w konsekwen-

cji ta ilo ść ciepła nie była zamieniana na prac ę . Powstaje pytanie, czy mo Ŝ na skonstru-

owa ć urz ą dzenie, które pobierałoby ciepło i w cało ś ci zamieniałoby je na prac ę ? Mogli-

by ś my wtedy wykorzysta ć ogromne (z naszego punktu widzenia niesko ń czone) ilo ś ci

ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowa-

nie słoneczne.

Negatywna, niestety, odpowied ź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie

termodynamiki . Poni Ŝ ej podane zostały równowa Ŝ ne sformułowania tej zasady

1) Nie mo Ŝ na zbudowa ć perpetum mobile drugiego rodzaju.

2) Gdy dwa ciała o ró Ŝ nych temperaturach znajd ą si ę w kontakcie termicznym, wów-

czas ciepło b ę dzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego.

3) ś adna cykliczna maszyna cieplna pracuj ą ca pomi ę dzy temperaturami T 1 i T 2 nie mo-

Ŝ e mie ć sprawno ś ci wi ę kszej ni Ŝ ( T 1 - T 2 )/ T 1 .

4) W układzie zamkni ę tym entropia nie mo Ŝ e male ć .

Rozpatrzmy nast ę puj ą cy schemat (pokazany na rysunku poni Ŝ ej),w którym super

silnik o sprawno ś ci wi ę kszej od silnika Carnota nap ę dza ten silnik. Efektem ko ń cowym

jest przeniesienie dwóch jednostek ciepła z zimniejszego do cieplejszego zbiornika.

17-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: