Pascal.doc

Trójkąt Pascala                            KN MiR
24.10.2007

Trójkąt Pascala to tablica liczb, w której każdy element powstaje poprzez sumowanie elementów stojących nad nim. Elementy skrajne to jedynki.

Wymyślili go oczywiście Chińczycy, jakieś 900 lat temu, swoja nazwę natomiast zawdzięcza Pascalowi, który wykorzystywał trójkąt do badań nad prawdopodobieństwem – i uzyskiwał dość satysfakcjonujące wyniki.

Przyjrzyjmy się teraz bliżej naszej liczbowej tablicy pod względem budowy. Od razu na początku umówmy się, że wiersze i rzędy numerujemy rozpoczynając od zera.

Znając Chińczyków można się spodziewać, że trójkąt będzie miał więcej dziwnych własności, których nie widać tak na pierwszy rzut oka.

Chciałam zwrócić Waszą uwagę na pierwsze pięć rzędów, czyli od 0 do 4.

0.              1              1              1              1              1              1              1              1              1

1.              1              2              3              4              5              6              7              8

2.              1              3              6              10              15              21              28

3.              1              4              10              20              35              56

4.              1              5              15              35              70

Na pierwszy rzut oka widać, że rząd 0 składa się z samych jedynek, a rząd 1 to kolejne liczby naturalne. Popatrzmy jednak dalej. Okazuje się, że w rzędzie 2 znajdują się tzw. Liczby trójkątne.

Różnice pomiędzy sąsiednimi liczbami to kolejne liczby naturalne. Np. 1-0=1, 3-1=2, 6-3=3, 10-6=4 … Klasa druga: zwróćcie uwagę, że powstał tutaj ciąg, przed sprawdzianem można sobie spróbować wyprowadzić wzory ogólne i rekurencyjne J Najlepiej jednak można pokazać te zależności miedzy kolejnymi elementami za pomocą rysunku.

Liczba kółek potrzebna do zbudowania „trójkąta” o wysokości n.
Rysunek.

Kolejny rząd (numer 3) to tzw. liczby piramidalne. Za momencik Wam pokażę, ze te nazwy wcale nie są przypadkowe.

Kolejny rysunek – czworościany foremne wypełnione kulkami.

Następny rząd – 4 – to liczba „kul” w „czworościanie” w przestrzeni czterowymiarowej. Niestety nie jestem w stanie tego narysować, ale zwróćcie uwagę, że kolejne wyrazy, podobnie jak w poprzednim przypadku, będą powstawały poprzez „doklejanie” do wyrazu poprzedniego czworościanu trójwymiarowego (a właściwie liczby kulek w nim zawartych).

Zdaję sobie sprawę, że ten ostatni rząd brzmiał strasznie, dlatego teraz uogólnijmy to, co zauważyliśmy. Możemy powiedzieć, że w każdym z tych rzędów elementy układają się w liczbę elementów w „trójkącie” w n-wymiarowej przestrzeni.

Kolejną ciekawostką dotyczącą budowy trójkąta Pascala jest również to, że po wymazaniu wszystkich liczb parzystych otrzymujemy trójkąt Sierpińskiego. Jest to fraktal, czyli figura samopodobna, co oznacza, że po wycięciu i powiększeniu jej dowolnego fragmentu otrzymujemy figurę wyjściową. Innymi słowy, fraktal powstaje z jakiejś figury, którą powielamy, zmniejszamy i gdzieś tam wklejamy.

To, o czym mówiłam do tej pory, podałam raczej w formie ciekawostki. Dla mnie to jest raczej rzecz niesamowita, że w na pozór nieskomplikowanej strukturze znajduje się tyle powiązań miedzy poszczególnymi elementami.

Teraz chciałam już przejść do stosowania trójkąta Pascala w praktyce. Pierwszą rzeczą, jaką zauważamy jest fakt, że suma elementów w kolejnych wierszach to potęgi dwójki. Popatrzcie:
20=1

21=2=1+1

23=8=1+3+3+1

Jest to oczywiście rzecz przydatna i o ile nie widać tego na tych niewielkich liczbach, to weźmy teraz 210. Wyobraźcie sobie, ze jest sprawdzian, musicie gdzieś spotęgować dwójkę do dziesiątej i skończyła się bateria w kalkulatorze prostym.. Chyba mniej pomyłek można zrobić w dodawaniu pięciu liczb i mnożeniu ich przez dwa niż w dziesięciokrotnym mnożeniu, prawda?

210=1024=2(1+10+45+120+210)+252.

Wnikliwi obserwatorzy zapewne zauważą też, że pierwsze pięć wierszy w trójkącie Pascala (0-4) to kolejne potęgi 11.

110=1
112=121

114=14641.

Kolejne zagadnienie, które chcę poruszyć to symbol Newtona. Taka operacja matematyczna jest wykorzystywana głównie w prawdopodobieństwie, a przypominam, że Pascalowi zajmującemu się prawdopodobieństwem trójkąt zawdzięcza swoją nazwę.

Symbol Newtona zapisywany w taki sposób [zapis] to nic innego jak liczba kombinacji (podzbiorów) k-elementowych w n-elementowym zbiorze. Brzmi strasznie, ale już pokazuję, o co chodzi. Weźmy sobie taki prosty przykład: czteroelementowy zbiór {1, 2, 3, 4}. Ile jest dwuelementowych podzbiorów w takim zbiorze? Spróbujmy je zwyczajnie wypisać:
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2,4}, {3,4}. W sumie mamy 6 podzbiorów.

Okazuje się, że na rozwiązanie takiego problemu jest wzór. Ja nie będę go tutaj wyprowadzać, bo tym zajmiemy się kiedy indziej, ale ogólna zasada jest prosta.

Te wykrzykniki oznaczają tzw. silnię. Bardzo prosta operacja, która polega na mnożeniu po kolei wszystkich liczb naturalnych aż do tej napisanej przed wykrzyknikiem. Np. 4!=1*2*3*4. Przypominam, że n to liczba elementów w zbiorze, a k to liczba elementów w podzbiorach, które szukamy. Wstawmy więc do wzoru nasz przykład.

Ktoś teraz spyta, jaki to ma związek z trójkątem Pascala. To spójrzcie na czwarty wiersz. Na 2 wyraz w tym wierszu. Pamiętajcie, że liczymy od zera. Co tam jest? Sześć. I okazuje się, że za każdym razem k-ty wyraz w n-tym wierszu to symbol Newtona n nad k.

Żeby pokazać to zastosowanie rozwiążmy szybko takie klasyczne zadanko z różnych konkursów logicznych itp.

W szkolnym turnieju szachowym bierze udział 15 osób. Partie są rozgrywane na zasadzie „każdy z każdym”. Ile odbędzie się gier w tym turnieju?

I może jeszcze jedno, bardziej złożone.

Na basen wybrało się 10 znajomych. Na basenie znajduje się czteroosobowe jacuzzi. Na ile różnych sposobów mogą wejść do jacuzzi?

Oczywiście można rozwiązywać te zadania na przeróżne sposoby, nieraz bardziej zmyślne, ale czemu nie ułatwić sobie życia i po prostu nie sprawdzać, jak z tablic pewnych liczb?

Kolejnym zastosowaniem trójkąta jest wyznaczanie dwumianu Newtona. Jest to rzecz, którą naprawdę warto znać i potrafić wyprowadzać, bo to nic innego jak wzory skróconego mnożenia.

Często w różnych rachunkach, zwłaszcza w liceum, spotykacie się z jakimiś strasznymi obliczeniami, gdzie pojawiają się potęgowania w stylu (a+b)5.Wymnażanie wszystkiego po kolei jest wtedy bardzo kłopotliwe, ale są na to inne sposoby.

Zacznijmy może od przykładu: (a+b)3. [Wymnażanie.]

Okazuje się, że na coś takiego istnieje wzór! Teraz go zapiszę i dam chwilę na przyzwyczajenie się do jego widoku…

Zdaję sobie sprawę, że wzór wygląda trochę przerażająco, ale już tłumaczę. Co to w ogóle jest to „E”? Otóż jest to sigma, co w matematyce i fizyce oznacza sumowanie. Ma tam u góry i na dole takie znaczki. k=0 mówi o tym, że operacje zaczynamy w momencie, gdy k jest równe 0 i z każdym następnym krokiem zwiększamy k o 1. Operacje są wykonywane do momentu, gdy k osiągnie n. Pokażę to może na przykładzie. Zapis oznacza, że musimy pięć razy wykonać działanie 12i i wszystkie te operacje wysumować. Działanie będzie wyglądało następująco: (12*0) +(12*1)+(12*2) +(12*3)+(12*4)=…

Jako ciekawostka dla osób, które programują: sigma działa zupełnie jak pętla.

              for(k=0; k>=n; k++).

Wróćmy teraz do wzoru na dwumian. Wykorzystując go wyznaczmy szybko (a+b)3. [wyznaczanie ze wzoru].

Zwróćcie uwagę, że pojawia nam się tutaj symbol Newtona, a dosłownie przed chwilą doszliśmy do wniosku, ze n nad k to k-ty wyraz w n-tym wierszu. Wstawmy więc to do wzoru. [uzupełnienie wzoru].

Teraz wydaje się, że szybszym sposobem jest już wymnażanie, ale co trzeba zapamiętać. Jeżeli macie (a+b)n, to wystarczy spojrzeć na n-ty wiersz trójkąta Pascala. Kolejne liczby w tym wierszu to współczynniki stojące przed kolejnymi wyrazami we wzorze skróconego mnożenia. Natomiast wykładniki potegowania powstają tak, że w sumie przy a i b mamy n. Przy każdym kolejnym wyrazie zmniejszamy potęgę a i zwiększamy b o jeden. Żeby to jeszcze utrwalić, zróbmy kilka przykładów.

To oczywiście nie są wszystkie zastosowanie trójkąta Pascala, bo jest ich całe multum, a niektóre pewnie nie zostały jeszcze odkryte. Myślę jednak, ze warto mieć gdzieś z tyłu w zeszycie taki trójkąt, żeby móc w każdym momencie wykorzystać go do tego, o czym dziś mówiłam.

Mam nadzieję, że udało mi się Wam pokazać, że na pozór prosta tablica liczb jest bardziej złożona niż możnaby się domyśleć i jak pięknie te wszystkie operacje układają się w jedną całość, bo w istocie, to możnaby między nimi subtelnie przechodzić. I wyprowadzać jedną z drugiej.

- 7 -