16.pdf

(617 KB) Pobierz
Microsoft Word - 16.doc
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
1
16.
KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
16.1. METODA SIŁ
16.1.1. Obliczanie sił wewnętrznych
Z rozważań poprzedniego rozdziału wynika, że istnieje ścisły związek między statyczną
wyznaczalnością a geometryczną niezmiennością konstrukcji. Konstrukcja statycznie niewyznaczalna jest
układem przesztywnionym, przy czym stopień przesztywnienia jest równy stopniowi statycznej
niewyznaczalności, czyli liczbie brakujących równań niezbędnych do określenia pola statycznego.
Podstawową metodą obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych jest tzw. metoda sił .
Wywodzi się ona z następującego rozumowania. Konstrukcję statycznie niewyznaczalną można
przekształcić w wyznaczalną (w tzw. układ podstawowy ) przez usunięcie odpowiedniej liczby więzów i
dodatkowe jej obciążenie reakcjami tych więzów (tzw. siłami nadliczbowymi ). Liczba usuniętych
więzów równa się stopniowi statycznej niewyznaczalności, a wartości sił nadliczbowych muszą być takie,
by były spełnione kinematyczne warunki ciągłości (zgodności) przemieszczeń.
Rys. 16.1
Rozważymy konstrukcję dwukrotnie statycznie niewyznaczalną, przedstawioną na rys. 16.1 a . Przy
przyjmowaniu układu podstawowego mamy dużo swobody, gdyż układów takich jest nieskończenie
wiele. Przyjmiemy układ podstawowy zobrazowany na rys. 16.1 b . Jest on statycznie wyznaczalny i
geometrycznie niezmienny. Reakcje usuniętych więzów oznaczymy przez X 1 i X 2 . Na obciążenie układu
podstawowego składają się zarówno obciążenia zewnętrzne q i P , jak i siły nadliczbowe X 1 i X 2 .
Ponieważ przyczyny (tzn. siły nadliczbowe) i skutki (siły przekrojowe, reakcje) są powiązane liniowymi
równaniami równowagi, niezależnie od charakterystyki fizycznej materiału obowiązuje zasada
superpozycji zapisana zależnościami (15.3). Z zależności tych otrzymujemy następujące wyrażenia na
wielkości statyczne w układzie niewyznaczalnym:
RR RX RX
NN NX NX
QQ QX QX
MM MX MX
,
( a )
0 1 1 2 2
01122
,
,
0
1 1
2 2
,
gdzie indeksem 0 oznaczono wielkości statyczne występujące w statycznie wyznaczalnym układzie
podstawowym, wywołane przez obciążenie zewnętrzne, natomiast indeksy 1 i 2 odnoszą się do wielkości
statycznych w układzie podstawowym wywołanych odpowiednio przez obciążenia X 1 = 1 i X 2 = 1.
Wymienione wyżej wielkości statyczne zestawiono na rys. 16.2. Wzór ( a ) opisuje nieskończenie wiele
statycznie dopuszczalnych reakcji i pól sił wewnętrznych, gdyż wartości nadliczbowe X 1 i X 2 są na razie
niewiadome.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
=+ +
=+ +
=+ +
=+ +
01122
29733683.002.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2
Rys. 16.2
Zwróćmy uwagę, że w układzie statycznie wyznaczalnym stan X 1 = 1 jest równoznaczny z
występowaniem reakcji podporowych R 1 oraz sił wewnętrznych N 1 , Q 1 i M 1 . W konstrukcji statycznie
niewyznaczalnej układ sił R 1 , N 1 , Q 1 , M 1 pozostaje zatem w równowadze z zerowym obciążeniem
zewnętrznym. Pod wpływem czynników zewnętrznych (obciążenie, temperatura, błędy wykonania,
osiadanie podpór) układ niewyznaczalny zdeformuje się. Miarą tej deformacji są rzeczywiste uogólnione
odkształcenia λ, β, k i związane z nimi rzeczywiste przemieszczenia uogólnione u , w , ϕ oraz rzeczywiste
osiadania podpór ∆ * . Ponieważ siły R 1 , N 1 , Q 1 , M 1 są statycznie dopuszczalne, a układ λ, β , k, u, w, ϕ i
∆ * jest kinematycznie dopuszczalny, więc wielkości te spełniają równanie pracy wirtualnej (14.4) w
układzie statycznie niewyznaczalnym:
∫
(
NQM s
λβ
++ = + + ∑
1
1
k
)
∫
(
quqwm s
x
1
z
1
y
1
ϕ
)
R
1
∆
.
s
s
f
Po uwzględnieniu, że obciążenie zewnętrzne jest równe zeru, tzn. q x 1 = q z 1 = m y 1 = 0, otrzymujemy bardzo
ważną zależność:
( b )
∫
(
λ++ ∑
1
1
k
)
f
1
∆
*
,
s
f
gdzie symbol całkowania dotyczy wszystkich prętów konstrukcji, a sumowanie przedstawia pracę reakcji
R f 1 na rzeczywistych przemieszczeniach podpór ∆ * w układzie statycznie niewyznaczalnym.
Analogiczną zależność można ułożyć dla stanu X 2 = 1. Dysponujemy zatem następującymi równaniami:
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
*
1
f
f
NQM s
1
f
29733683.003.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3
( c )
∫
(
NQMs
i
λ++ − = =
i
i
k
)
∑
R
fi f
∆ 0
*
,
i
1 2
, .
s
f
Równania ( c ) są poszukiwanymi równaniami ciągłości lub tzw. warunkami zgodności przemieszczeń.
Odnotujmy, że zależność ( c ) obowiązuje dla każdego materiału pod warunkiem, że jest słuszna zasada
zesztywnienia, czyli gdy przemieszczenia są bardzo małe.
Aby wyznaczyć wartości sił nadliczbowych, trzeba sprecyzować zależności fizyczne. Dla prętów
wykonanych z materiału liniowo-sprężystego zależności te przyjmują postać (por. wzory (15.6)):
λ
=
N
+
λ
0
=
1
⋅
(
N
+
N
X
+
N
X
)
+
λ
0
,
EA
EA
0
1
1
2
2
( d )
β
=
Q
+
β
0
=
k
⋅
(
Q
+
Q
X
+
Q
X
)
+
β
0
,
(
GA
/
k
)
GA
0
1
1
2
2
M
1
κ
=
+
κ
0
=
⋅
(
M
+
M
X
+
M
X
)
+
κ
0
.
EJ
EJ
0
1
1
2
2
Po podstawieniu zależności fizycznych ( d ) do równań ciągłości ( c ) otrzymujemy układ równań
algebraicznych do wyznaczenia sił nadliczbowych:
( e )
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
11 1
X
+ + =
+ + =
12 2
X
10
0
0
,
,
21 1
X
22 2
X
20
gdzie
∆
ik
=
∫
NN
EA
ik
+
QQ
GA k
ik
+
MM
EJ
i k
ds i k
, ,
=
12
, .
( / )
s
( f )
N
EA
Q
GA k
M
EJ
∆
=
∫
N
0
+
λ
0
+
Q
0
+
β
0
+
M
0
+
k
0
ds
−
∑
R
∆
*
.
i
0
i
i
i
fi
f
( / )
f
s
Układ równań ( e ) nosi nazwę równań kanonicznych metody sił . Jest to układ równań liniowych ze
względu na niewiadome siły nadliczbowe X 1 i X 2 . Liniowość układu równań kanonicznych wynika z
faktu, że materiał wszystkich prętów konstrukcji jest liniowo-sprężysty. Liniowe cechy materiału nadają
współczynnikom ∆ ik własność symetrii, polegającą na tym, że ∆ ik = ∆ ki . Własność ta wynika z twierdzenia
o wzajemności Bettiego (por. p.5.4), gdyż współczynniki ∆ ik mają sens przemieszczeń. Z budowy
zależności ( f ) widać bowiem, że współczynnik ∆ ik oznacza przemieszczenie punktu przyłożenia
jednostkowej siły nadliczbowej X i wywołane siłą nadliczbową działaniem X k = 1 w układzie
podstawowym. Wyraz wolny ∆ i 0 jest natomiast przemieszczeniem punktu przyłożenia siły X i wywołanym
przez działanie czynników zewnętrznych w układzie podstawowym. Każde z równań kanonicznych
wyraża zatem fakt, że przemieszczenie względne w kierunku działania danej siły nadliczbowej jest równe
zeru. Odnotujmy, że liczba równań kanonicznych (tzn. warunków zgodności przemieszczeń) jest równa
liczbie niewiadomych sił X i .
Dla ilustracji obliczeń metodą sił wyznaczymy siły nadliczbowe X 1 i X 2 oraz sporządzimy ostateczne
wykresy sił są wykonane z dwuteowników walcowanych, a ukośny pręt (tzw. zastrzał) połączony
przegubowo jest rurą o stałym przekroju (por. rys. 16.1 a ):
− słupy (IPE 140): A = 16,40 · 10 −4 m 2 , J = 541 · 10 −8 m 4 , k = 2,75,
− rygiel (IPE 220): A = 33,40 · 10 −4 m 2 , J = 2770 · 10 −8 m 4 , k = 2,80,
− zastrzał (rura 100/4): A = 12,06 · 10 −4 m 2 , J = 139 · 10 −8 m 4 .
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
29733683.004.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
4
Wszystkie pręty są wykonane ze stali o module sprężystości E = 2,0 · 10 8 kN/m 2 oraz module ścinania
G = 0,75 · 10 8 kN/m 2 .
Sztywności poszczególnych przekrojów wynoszą:
Słupy
EA = 2 ·10 8 ·16,4 ·10 −4 = 32,8 ·10 4 kN,
GA / k = 0,75 ·10 8 ·16,4 ·10 −4 /2,75 = 4,45⋅10 4 kN,
EJ = 2 ·10 8 ·541 ·10 −8 = 0,1082 ·10 4 kN⋅m 2 ,
Rygiel
EA = 2 ·10 8 ·33,4 ·10 −4 = 66,8 ·10 4 kN,
GA / k = 0,75 ·10 8 ·33,4 ·10 −4 /2,80 = 8,95 ·10 4 kN,
EJ = 2·10 8 ·2770 ·10 −8 = 0,554 ·10 4 kN⋅m 2 ,
Zastrzał
EA = 2·10 8 ·12,06 ·10 −4 = 24,12 ·10 4 kN.
Współczynniki ∆ ik oraz ∆ i 0 obliczymy według wzorów ( f ) z wykorzystaniem wykresów sił
wewnętrznych podanych na rys. 16.2 (λ 0 = 0, β 0 = 0, k 0 = 0, ∆ *
= 0
):
4
08 4
32 8
,
2
⋅
06 3
66 8
,
2
⋅
15
24 15
2
⋅
06 4
445
,
2
⋅
08 3
895
,
2
⋅
10
∆=
+
+
+
+
+
11
,
,
,
,
,
+
24 4 05 067
0554
0 078 0 016 0 207 0 323 0 214 53 235 13 863 67 72
,
⋅⋅ ⋅ ⋅
, ,
,
+
,
⋅⋅ ⋅
, ,
=
,
,
= + + + + + + =
,
,
,
,
,
,
,
,
m / kN
,
10
4
∆
=
10
4
∆
=
(, (, )
,
−−
0 8 0 167 4
32 4
+ + +
0
66 8
0
24 12
06 025 4
445
,( , )
,
−
+
12
21
,
,
+
0
895
−⋅ ⋅ ⋅
24405067
0 1082
,
, ,
+ = − − = −
0
0 554
0 016 0 135 29 575
,
,
,
29694
kN
−
1
,
,
,
,
4
∆= ⋅ ⋅
2 0 167 4
32 8
,
2
025 6
66 8
,
2
⋅
0
24 12
2025 4
445
⋅ ⋅
,
2
0 167 6
895
,
2
⋅
10
+
+ +
+
+
22
,
,
,
,
,
+
1605067
0 554
0 0068 0 0056 0 1112
21405067
0 1082
⋅⋅⋅ ⋅
, ,
+
⋅⋅ ⋅
, ,
=
,
,
=
,
+ + +
,
,
+0
,
0186 24 6457 3 6101 28 3992
+
,
+ =
,
,
(
kN m
⋅
) .
−
1
10
4
∆= −⋅ ⋅ −
(,
08 4
)( )
,
259
+ + +
0
66 8
0
24 12
(,
−⋅ ⋅
06 4 24
445
)
+
10
32 8
,
,
,
+
(, )(
96 4 0 5 0 67 2 4
01082
162 3 05 067 24 36 3 0125 067 3 24 05
0554
08 3
108 05
895
, )
+
(
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
, ,
, )
+
,
,
⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
, ,
,
2
,
,
,
,
+
=
,
= − +
25 26 12 94
,
,
14 48 2839 19 529 86
,
−
,
+ = −
,
2282 53
,
m.
10
4
⋅ =
∆
0 167 4 259 65
32 8
,
⋅ −
(
)
+
(,
−⋅ ⋅ − +
025 6
)(, )
,
24
(,
−⋅ ⋅ − +
025 4
)(, )
24
20
,
66 8
445
,
+
14 0596067
01082
258 6 067 36 6 0125 067 6 05
0554
3 94 0 54 4 6 5 4 1182
,
⋅⋅ ⋅ −
, (
)
+
⋅⋅ ⋅ ⋅
,
,
+
,
,
⋅⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
,
2
,
,
,
+
=
,
= + + + +
,
,
,
,
,
99 346 57 1544 24
+
,
=
, rad.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
2430506724
01082
−⋅ ⋅ − ⋅
0 167 6 0 5 151 65
895
29733683.005.png
Część 3
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
5
Układ równań kanonicznych ( e ) przybiera postać:
67 72
,
X
1
−
29 69
,
X
2
= − ⋅
∆
10
10
4
,
−
29 69
,
X
1
+
28 40
,
X
2
= − ⋅
∆
20
10
4
,
a jego rozwiązanie można wyrazić, jak następuje:
10
−
4
⋅ = ⋅− − ⋅
⋅ −
1
28 4 29 69
67 72 28 40 29 69
∆
10
20
2
=− ⋅ − ⋅
0 02726
,
∆
10
0 0285
∆ ,
20
,
,
10
−
4
⋅ =
67 72 29 69
67 72 28 40 29 69
⋅− − ⋅
⋅ −
∆
20
)
,
∆
10
=− ⋅ − ⋅
00285
,
∆
0065
∆ .
2
10
20
2
,
,
,
Po podstawieniu wartości ∆ 10 i ∆ 20 otrzymujemy siły nadliczbowe:
X 1 = − 0,02726 ·(−2282,53) − 0,0285 ·1544,24 = 18,2 kN,
X 2 = − 0,02850 ·(−2282,53) − 0,0650 ·1544,24 = −35,3 kNm.
Ostateczne wartości reakcji i sił wewnętrznych można wyznaczyć za pomocą równań ( a ). Innym
sposobem jest ponowne obliczenie układu podstawowego poddanego działaniu obciążeń zewnętrznych
oraz znanych już sił nadliczbowych X 1
i X 2 . Reakcje i siły wewnętrzne w układzie niewyznaczalnym podano na rys. 16.3.
Rys. 16.3
Z przytoczonych rachunków widać, że zginanie ma dominujący wpływ na wartości współczynników
układu równań kanonicznych. Wniosek ten trzeba stosować z dużą ostrożnością, bo są konstrukcje, w
których równie istotny jest wpływ wydłużeń. Do takich konstrukcji należą np. łuki ze ściągiem
(rys. 16.4 a ). Ponieważ ściąg ma na ogół stosunkowo mały przekrój, wpływ jego wydłużenia jest bardzo
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
, ( ) ,
,
∆
X
,
,
(
X
,
29733683.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin