INTERPOLACJA

wyznaczenie przybliżonych wartości y = f(x) w punktach nie będących węzłami interpolacji.

x0 , x1 ,..., xn - węzły interpolacyjne F(xi)==f(xi).

F(x) – f. interpolująca, [a,b] – badany przedział.

Istnieje tylko jeden wielomian stopnia co najwyżej n który dla x0 , x1 ,..., xn przyjmuje wartości y0 , y1 ,..., yn

Zjawisko Rungego – zafalowanie wykr. na końcach

Wzór Lagrange’a dla n+1 węzłów:

u góry iloczyny (x – (każde x prócz xi))

na dole tak samo ale (xi - (każde x prócz xi))

po prostu podstawiamy wartości z tabelki.

Macierz Vandermonda V:

Jeżeli węzły są różne od siebie det V != 0

V * A = Y, zatem: A=V-1 * Y

Ilorazy różnicowe Newtona:

Wzór ogólny dla rzędu n:

gdzie (przykład, wzór ogólny do wywnioskowania):

Rozwiązywanie:

Błąd (obliczany dla konkretnego x-a), który podstawiamy wszędzie poza sup, tam podstawiamy najmniejszą wartość węzła interpolacyjnego!!

Funkcjami sklejanymi stopnia k

Funkcja interpolująca jest w każdym z danych przedziałów wielomianem stopnia k oraz ma (k-1)szą pochodną ciągłą na całym przedziale interpolacji.

Funkcję sklejaną stopnia 2k-1 z węzłami t0<t1<…<tn nazywamy naturalną f. sklejaną jeśli w przedziałach (-oo,t0) i (tn,+oo) dana jest wielomianami st. k-1.

Jeśli węzły są różne oraz 1>=m>=n+1, to dla dowolnych wart. y istnieje dokładnie jedna nat. f. s.

APROKSYMACJA

wyznaczenie przybliżonych wartości y = f(x) na zdanym przedziale.

Qm(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

n – ilość węzłów; m – stopień w. aproksymowanego

aproksymacja = = interpolacja gdy m = n-1

x0 , x1 ,..., xn - węzły aproksymacji F(xi) ?= f(xi).

F(x) – f. aproksymująca, [a,b] – badany przedział.

Najlepsze przybliżenie gdy (różne warianty): suma odchyleń lub kwadratów odchyleń dąży do minimum, a dla ciągłych całka od a do b kwadratów odchyleń zamiast sumy. Sumę lub całkę potem pod pierwiastek

Metoda najmniejszych kwadratów (prz. dla n=3)

Tabelka (poziom): x,y,x2,x3,x4,yx,yx2

(pion): poszczególne węzły, pod spodem suma wart.

Podstawiamy do układu równ. wartości z tabelki i ok.

Jak mamy dla kilku m to robimy tab. dla najwyższego

a z niej będziemy mieć wartości dla niższych.

Dla ciągłych zamiast sumy całka od a do b!

ROZW. UKŁ. RÓWNAŃ LINIOWYCH

Met. eliminacji Gaussa

1. Tworzymy macierz rozszerzoną o k. wyr. wolnych

2. Wybieramy w pierwszej kolumnie wyraz o najwyższej w. bezwzg. i wiersz z nim zamieniamy miejscami z pierwszym wierszem.

3. Dzielimy wiersz tak, aby w pierwszej k. była 1

4. Zerujemy pozostałe wyrazy pierwszej kolumny wymnażając je przez pierwszy

5. Przechodzimy do 2-giej kolumny, pierwszy wiersz olewamy, z pozostałych wybieramy wyraz o najwyższym module i powtarzamy tak, aby po przekątnej były jedynki = górna m. trójkątna

6. Znamy już ostatni x, zatem jedziemy w górę obliczając kolejne.

Odwracanie macierzy: A*A-1=E

Gdzie E to m. jednostkowa [1,0;0,1] itd. – jak rozszerzymy A o E to jak A sprowadzimy do jednostkowej (operacje tylko na wierszach – sprowadzamy do g. trójk. i od dołu zerujemy to co zostało) to to co było w miejscu E to nasze A-1

Rozkład LU (lower upper)

1. Rozbijamy macierz A na L i U: A=LU

rozwiązując u. równań wynikających z mnożenia m.:

a11=L11 ; a12=L11+U12 ; a21=L21 ; a22=L21U12+L22

Podstawiamy wartości obliczonych L i U do ich m.

2. AX=b ; LUX=b ; UX=Y ; LY=b

3. Obliczamy wektor Y z LY=b

4. Obliczamy wektor X z UX=Y

...