MatPom2ETI.pdf
(
162 KB
)
Pobierz
33992610 UNPDF
Metody Probabilistyczne
Materiały pomocnicze 2
dr hab. Henryk Gacki
II rok ETI 2008/9
Warunki ci¡gło±ci prawdopodobie«stwa
1
n
=1
jest rodzin¡ wst¦puj¡cych zbiorów z
F
, czyli
A
n
A
n
+1
dla
n
= 1
,
2
,
···
,
oraz
A
n
(1)
[
A
n
=
A
to
Pr
(
A
) = lim
n
!1
Pr
(
A
n
)
n
=1
n
=1
jest rodzin¡ zst¦puj¡c¡ zbiorów z
F
, czyli
A
n
A
n
+1
dla
n
= 1
,
2
,
···
,
oraz
(2)
\
A
n
=
A
to
Pr
(
A
) = lim
n
!1
Pr
(
A
n
)
n
=1
Wzór na prawdopodobi«stwo całkowite
Niech
A
i
,i
= 1
,
2
,...
bedzie takim ciagiem zdarze« , »e
Pr
A
i
>
0
,i
=
1
,
2
,...
, oraz
=
A
1
[
A
2
[
...
[
A
n
...
oraz
A
i
\
A
j
=
;
dla
i
6
=
j,i,j
= 1
,....
wtedy dla dowolnego zdarzenia
A
2F
Pr
A
=
X
Pr
A
|
A
i
Pr
A
i
oraz
Pr
A
i
|
A
=
Pr
A
|
A
i
Pr
A
i
P
i
=1
Pr
A
|
A
i
Pr
A
i
i
=1
Zadanie 1. Informacje przekazuje sie za pomoca telegrafu, nadajac sygna-
ły kropka i kreska. Statystyczne wła±ciwo±ci przeszkód sa takie, »e ±red-
nio
2
5
sygnałów kropka i
1
3
sygnałów kreska zostaje zniekształconych.
Wiadomo, »e w±ród przekazywanych sygnałów kropka i kreska wystepuja w
stosunku 5 : 3. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e odebrane sygnały kropka i
kreska w rzeczywisto±ci były te» nadane odpowiednio jako kropka i kreska.
Niech
=
n
!
1
= (
.,
−
)
,!
2
= (
−
,.
)
,!
3
= (
.,.
)
,!
4
= (
−
,
−
)
o
,
1
5
p
.
Je»eli
6
p
.
Je»eli
A
n
1
gdzie pierwsze miejsce zajmuje sygnał nadany a drugie miejsce zajmuje sy-
gnał odebrany. Oznaczmy przez
A
zdarzenie odebrano sygnał kropka, a
zdarzenie
B
- odebrano sygnał kreska.
A
1
- oznacza, »e nadano sygnał kropka i
A
2
- »e, nadano sygnał kreska.
Zgodnie z warunkami zadania
Pr
A
1
:
Pr
A
2
= 5 : 3
,
oraz
Pr
A
1
+
Pr
A
2
= 1
A wiec otrzymujemy
Pr
A
1
=
8
,
Pr
A
2
=
3
8
Wiadomo, »e
Pr
A
|
A
1
=
3
5
,
Pr
A
|
A
2
=
1
3
,
2
5
,
Pr
2
3
.
Pr
B
|
A
1
=
B
|
A
2
=
Zatem
Pr
A
=
8
3
5
+
3
8
1
=
2
,
Pr
B
=
8
2
5
+
3
8
2
=
1
2
,
3
3
Pozostałe prawdopodobie«stwa obliczamy ze wzoru Bayesa
Pr
A
1
|
A
=
Pr
A
|
A
1
Pr
A
1
8
3
5
1
2
3
4
,
Pr
A
=
=
Pr
B
|
A
2
Pr
A
2
8
2
3
1
2
1
2
Pr
A
2
|
B
=
Pr
B
=
=
Zadanie 2. W czasie lotu rakiety kosmicznej w jej aparature wpada
r
-czastek
elementarnych z prawdopodobie«stwem
Pr
(
r,
) =
r
r
!
e
−
,
gdzie
, >
0
, r
= 0
,
1
,....
Dla ka»dej z nich prawdopodobie«stwo trafienia w czuły na czastki ele-
mentarne blok jest równe
p
.
Znale¹¢ prawdopodobie«stwo trafienia w blok dokładnie
k
-czastek.
2
5
5
1
5
5
3
1
=
n
0
,
1
,
2
,...
o
opisuje ilo±¢ czastek wpadajacych w blok rakiety.
Pr
1
=
X
r
!
e
−
r
,
gdzie
r
=
8
<
0 je»eli wpada
s
6
=
r
−
czastek
1 je»eli wpada
r
−
czastek
.
:
r
=1
Para
1
,
Pr
1
jest przestrzenia probabilistyczna dobrze opisujaca pierw-
szy etap do±wiadczenia. Niech
2
=
n
0
,
1
,
2
,...
o
oraz
X
n
r
!
Pr
2
|
n
=
p
r
(1
−
p
)
n
−
r
r
r
=0
Niech
A
k
- oznacza, »e w blok trafi dokładnie
k
- czastek. Zdarzenie to mo»emy
zapisa¢ w postaci:
A
k
=
[
s
=
k
(
s,k
)
Zgodnie z konstrukcja modelu statystycznego dla do±wiadczenia dwuetapo-
wego
2
,
Pr
2
Pr
(2)
A
k
=
Pr
(2)
[
s
=
k
(
s,k
)
=
X
Pr
(2)
(
s,k
)
s
=
k
=
X
Pr
1
s
)
Pr
2
|
s
k
s
=
k
s
!
e
−
s
!
X
s
p
k
(1
−
p
)
s
−
k
=
p
k
e
−
k
!
X
s
(1
−
p
)
s
−
k
(
s
−
k
)!
=
k
s
=
k
s
=
k
=
p
k
e
−
k
k
!
X
s
−
k
(1
−
p
)
s
−
k
(
s
−
k
)!
=
(
p
)
k
e
−
k
!
X
n
(1
−
p
)
n
n
!
s
=
k
(1
−
p
)
n
n
!
n
=0
=
(
p
)
k
e
−
k
!
X
=
(
p
)
k
e
−
k
!
e
(1
−
p
)
=
(
p
)
k
k
!
e
−
p
.
n
=0
Do±wiadczenia niezalezne o niesko«czenie wielu etapach
k
=
n
!
k
1
,!
k
2
,...
o
, dla k
= 1
,
2
,....
W pierwszym etapie wykonujemy do±wiadczenie, którego modelem staty-
stycznym jest para
1
,
Pr
1
. Dalej postepujemy jak w modelu sko«czonym
(n-etapowym), z ta ró»nica, »e postepowanie nasze nigdy si¦ nie ko«czy .
3
r
Rozwi¡zanie:
Przypu±¢my, »e mamy niesko«czony ciag przestrzeni zdarze« ele-
mentarnych
Je»eli k-pierwszych etapów zako«czy sie kolejno wynikami
!
(1)
i
1
,!
(2)
i
2
,...,!
(
k
)
i
k
,
to w (
k
+ 1)- szym etapie wykonujemy do±wiadczenie o modelu
k
+1
,
Pr
k
+1
|
i
1
,i
2
,...,i
k
, k
= 1
,
2
,....
Uwaga 1. W niesko«czonym iloczynie kartezja«skim
(
1
)
=
1
×
2
×
...,
istnieje dokładnie jeden rozkład prawdopodobie«stwa
Pr
(
1
)
taki, »e dla
dowolnej liczby naturalnej
n
i dowolnych
A
k
k
, k
= 1
,
2
,...,n
, spełniony
jest wzór
Pr
(
1
)
A
1
×
...
×
A
n
×
n
+1
×
n
+2
×
...
=
Pr
(
n
)
A
1
×
...
×
A
n
Jest zrozumiałym, »e para
(
1
)
,
Pr
(
1
)
stanowi odpowiedni model staty-
styczny opisanego do±wiadczenia losowego o niesko«czenie wielu etapach.
Posiadane przez nas informacje o tym modelu nie pozwalaja na obliczenie
prawdopodobie«stwa ka»dego zdarzenia
A
(
1
)
ale umo»liwiaja obliczenie
prawdopodobie«stwa ka»dego zdarzenia odnoszacego sie do sko«czonej liczby
etapów naszego do±wiadczenia, co w pewnych przypadkach jest wystarczajace.
Uwaga 2. Szczególnym przykładem do±wiadczenia wieloetapowego jest tzw.ła«cuch
Markowa.
W ogólnym schemacie do±wiadcze« wieloetapowych do±wiadczenie wyko-
nywane w danym etapie zale»ało od wyników wszystkich etapów poprzednich.
Z kolei w ła«cuchu Markowa do±wiadczenie wykonywane w (k+1)-
etapie zale»y tylko od wyniku poprzedniego, k-tego etapu.
Mo»na powiedzie¢, »e ła«cuch Markowa to taki schemat do±wiadcze«
wieloetapowych, »e
Pr
k
+1
|
i
1
,i
2
,...,i
k
−
1
,i
k
=
Pr
k
+1
|
j
1
,j
2
,...,j
k
−
1
,i
k
.
dla ka»dego
k
= 1
,
2
,...
oraz wszelkich
i
1
,i
2
,...,i
k
,j
1
,j
2
,...,j
k
−
1
= 1
,
2
,....
Ła«cuchy Markowa s¡ dobrymi modelami probabilistycznymi pewnych
układów fizycznych mog¡cych zmienia¢ swój stan co jednostk¦ czasu. Jest
ogólnie przyj¦te stosowanie terminologii fizycznej do wszelkich ła«cuchów
Markowa. W zwi¡zku z tym ograniczymy nasze rozwa»ania do przypadku,
gdy zbiory zdarze« elementarnych do±wiadcze« wykonywanych w kolejnych
etapach s¡ identyczne:
1
=
2
=
...
= =
n
!
1
,!
2
,...
o
.
4
W zwi¡zku z tym mo»liwe wyniki do±wiadcze« z ka»dego etapu b¦dzie-
my dalej nazywa¢ stanami układu. Je»eli do±wiadczenie z k-tego etapu
sko«czyło si¦ wynikiem
!
i
, to powiemy, »e układ w chwili k znalazł si¦ w
stanie
!
i
(lub w stanie i).
Przypu±¢my teraz, »e do±wiadczenie wykonywane w k-tym etapie (
k
=
2
,
3
,...
) nie zale»y od k, a tylko od wyniku do±wiadczenia z poprzedniego,
(
k
−
1)-szego etapu, tzn. »e
Pr
2
|
i
=
Pr
3
|
i
=
Pr
4
|
i
=
...
(
i
= 1
,
2
,...
)
Wówczas ła«cuch Markowa nazywamy jednorodnym. Ze wzgl¦du na
fakt, »e dalej b¦dziemy zajmowa¢ si¦ jednorodnymi ła«cuchami Mar-
kowa przyjmujemy oznaczenia:
Pr
1
(
!
i
) =
p
(1)
i
,
Pr
|
i
(
!
j
) =
p
ij
,
Pr
(
n
)
(
!
i
) =
p
(
n
)
i
,
i
jest to prawdopodobie«stwo pocz¡tkowe znalezienia si¦ układu w
stanie i.
p
ij
jest to prawdopodobie«stwo przej±cia układu ze stanu i do sta-
nu j.
i
jest to prawdopodobie«stwo znalezienia si¦ układu w chwili
n w stanie i.
Prawdopodobie«stwa przej±cia wygodnie jest ustawi¢ w tzw. macierz przej-
±cia:
2
4
p
11
p
12
p
13
...
p
21
p
22
p
23
...
p
31
p
32
p
33
...
... ... ... ...
3
5
.
Cz¦±¢ rozwiazania-ła«cuch ergodyczny
Aby wyznaczy¢ rozkład
P
(
n
+1)
w chwili (
n
+ 1) wystarczy wyznaczy¢
elementy macierzy
M
n
. Otó» mamy
"
(
1
−
a
)
2
+
ab
(
1
−
a
)
a
+ (
1
−
b
)
a
(
1
−
a
)
b
+ (
1
−
b
)
b ab
+ (
1
−
b
)
2
#
M
2
=
Niech (1
−
a
−
b
) =
c
. Łatwo sprawdzi¢, »e macierz
M
2
mo»na zapisa¢ nast¦-
puj¡co:
"
c
2
+
b
a
+
b
[
1
−
c
2
]
a
a
+
b
[
1
−
c
2
]
#
a
+
b
[
1
−
c
2
]
c
2
+
a
a
+
b
[
1
−
c
2
]
5
gdzie
p
(1)
p
(
n
)
b
Plik z chomika:
ETI_sosnowiec
Inne pliki z tego folderu:
skanuj0009.jpg
(545 KB)
Tablice Statystyczne.pdf
(3729 KB)
MatPom2ETI.pdf
(162 KB)
Material1.pdf
(152 KB)
StatystykaZestaw2.pdf
(150 KB)
Inne foldery tego chomika:
Angielski
art
Chemia
Ciekawe e-booki
Dydaktyka
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin