Material1.pdf

Statystyka matematyczna i rachunek prawdopodobie«stwa

Materiały pomocnicze Wykład 1

dr hab. Henryk Gacki

II rok ETI 2008/9

Literatura

1. H. Cramer Mathematical Methods of Statistics, PWN Warszawa 1958.

2. William Feller Wst¦p do rachunku prawdopodobie«stwa, I, II tom

, wyd. II zmienione, PWN Warszawa 1966 (od tej pory były dalsze

wydania).

3. J. Serﬂing Twierdzenia graniczne statystyki matematycznej, PWN

Warszawa 1991.

4. W. Krysicki, J. Bartos, W.Dyczka, K. Królikowska, M. Wasi-

lewska

cz¦±¢ I Rachunek Prawdopodobie«stwa

cz¦±¢ II Statystyka Matematyczna, PWN Warszawa 1997.

5. Agnieszka Pluci«ska, Edmund Pluci«ski Probabilistyka:

Rachunek Prawdopodobie«stwa, Statystyka Matematyczna, Procesy Sto-

chastyczne, WNT Warszawa 2000.

6. Jerzy Onbach Rachunek prawdopodobie«stwa wspomagany kompu-

terowo - MAPLE,Wydawnictwo U. J. Wydanie I , Kraków 2000

Przykład 1. Rozkład Poissona opisuje liczbe wyemitowanych czastek przy

rozpadzie substancji radioaktywnej w ciagu 7,5 sekundy. Istotnie warto±ci

które s¡ przyjmowane to0 , 1 , 2 ,.... W znanym do±wiadczeniu Rutherford,

Chadwick, Ellis pokazali w 1920 roku, »e prawdopodobie«stwo wyst¡-

pienia k cz¡stek jest równe :

Pr ( k )= e − k

k ! ,

gdzie > 0jest parametrem opisujacym ±rednia ilo±¢ czastek emitowanych

w ciagu 7,5 sekundy przez substancje radioaktywna.

Dokładniej przeprowadzili n =2608niezale»nych do±wiadcze« z których

ka»de trwało 7.5 sekundy i polegało na rejestrowaniu przez licznik liczby

dochodzacych do niego czastek w wyniku rozpadu substancji radioaktywnej.

n Pr ( k )

0 570,0220,021

12030,0780,081

23830,1470,156

35250,2010,201

45320,2040,195

54080,1560,151

62730,1050,097

71390,0530,054

8 450,0170,026

9 27 0,010,014

10160,0060,004

P 26081,00

n k

k-oznaczaliczbe czastek zarejestrowanychprzezlicznik,

n k -oznaczaliczbe do±wiadcze«

Prawdopodobie«stwo Pr ( k )wczwartejkolumniewyznaczonoztablicrozkła-

du Poissonadla =3 , 85.

= 1

10 X

kn k .

k =0

Przykład 2. Dokonujemypomiarupewnejnieznanejwielko±ci(np.gł¦boko±ci

oceanuzapomoc¡echosondy).Wynikpomiaruzawszejestobarczony

bł¦demlosowym.Pomiardanejwielko±ciprzedstawiasi¦wpostaci:

(1) X = a + ", gdzie , a 2 R ,

oraz " ,jestzmienn¡losow¡opewnymrozkładzie.

Najcz¦±ciejzakładasi¦,»e " marozkładnormalny N (0 , 2 )tzn.funkcja

g¦sto±cijestposta¢

(2) f " ( x )= 1

p 2 e − x 2

2 2 , gdzie , x 2 R , oraz , 0 .

Zapisujemytowskrócie " N (0 , 2 ).

k n k

Własno±ci 1.Wzórwł¡cze«iwył¡cze«

Dladowolnych A i 2F dla i =1 , 2 , ··· ,n zachodzi:

Pr [

i =1

A i =

Pr ( A i ) −

Pr ( A i 1 \ A i 2 )

i =1

1 <i 1 <i 2 ¬ n

+ ··· +( − 1) n +1 Pr

A i

i =1

Zadanie 1.Problemroztargnionejsekretarki

Sekretarkanapisałan-listów,któretrzebabyłowysła¢doosób M 1 ,M 2 ,...,M n .

Wło»yłajedokopertikopertyzakleiła.Zaklejonekopertysi¦pomieszały,ale

sekretarkamimotowypisałanaka»dejkoperciepojednymadresie,poczym

wysłałalisty.Obliczy¢prawdopodobie«stwo,»e

1.Ka»dazosób M 1 ,M 2 ,...,M n otrzymaswójlist.

2.Dokładnie( n − 1)osóbotrzymaprzeznaczonedonichlisty.

3.adnazosóbnieotrzymaswojegolistu.

Rozwi¡zanie: 1.Oznaczmyprzez A r , r =1 ,...n zdarzeniepolegaj¡-

cegonatym,»er-taosobaotrzymaswójlist.NaszezdarzenieA-»e,»adna

osobanieotrzymaswojegolistumo»emyzapisa¢wpostaci

A = A 0

1 \ A 0

2 \ ... \ A 0

n =

A 1 [ A 2 [ ... [ A n

Czyli

P ( A )=1 − P A 1 [ A 2 [ ... [ A n

(3)

Abyskorzysta¢ze"wzoruwł¡cze«iwył¡cze«"musimypoliczy¢

Pr ( A i )= P

1 ¬ i ¬ n

1 ¬ i 6 = j ¬ n Pr ( A i \ A j )= ( n − 2)!

= 1 2!

n !

= 1 3!

....................................................................................

Pr A 1 \ A 2 \ ... \ A n

Pr ( A i \ A j \ A k )= ( n − 3)!

n !

1 ¬ i 6 = j 6 = k ¬ n

= 0! n !

= 1 n !

Zgodniez(3)dostaniemy

Pr ( A )=1 − P A 1 [ A 2 [ ... [ A n

=1 − 1

1! + 1

2! − ... +( − 1) n 1

n ! = e − 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: