LF-E_CW24.pdf

(204 KB) Pobierz
Microsoft Word - LF-E_CW24.doc
Ć w i c z e n i e 24
BADANIA REZONANSU W OBWODACH ELEKTRYCZ-
NYCH
24.1 Wstęp teoretyczny
Zjawisko rezonansu, które poniżej zostanie zdefiniowane, związane jest z „wymuszonymi drgania-
mi” układów drgających np. mechanicznych lub elektrycznych. Samo pojęcie drgań zostało opisane
w ćwiczeniach nr 4 i 5, gdzie badano drgania układów wytrąconych z równowagi i pozostawionych
samym sobie. W tych ćwiczeniach zdefiniowano pojęcia: okresu drgań, częstości drgań własnych,
drgania normalne, dudnienia. W ćwiczeniu 37 omówiono również drgania tłumione. Znajomość
tych pojęć jest niezbędna do zrozumienia efektu rezonansu. Pojęcie „wymuszenia drgań „ oznacza,
że obwód nie został wytrącony z równowagi i pozostawiony sam sobie, lecz przez cały czas działa
na niego siła. W rozważaniach na temat rezonansu będziemy badali, co się dzieje z układem, gdy
działa na niego siła harmoniczna np. F = F 0 cos(ωt) i jak to działanie zależy od częstości siły wymu-
szającej w stosunku do częstości drgań własnych. Ze względu na łatwość techniczną realizacji w
ćwiczeniu badamy elektryczny układ rezonansowy.
e
i(t)
i(t)
L
L
C
R
C
a)
b)
Rys.24.1. Układ rezonansowy RLC; a- bez wymuszenia, b – z wymuszeniem.
Drgania tłumione . Rozważmy układ bez wymuszenia. W pewnym momencie na kondensatorze C
został zgromadzony ładunek q, a prąd płynący w obwodzie jest równy zeru. Następuje rozładowa-
nie kondensatora, zaczyna płynąć prąd określony zależnością:
i
(
=
dq
t
)
(24.1)
dt
Energia zgromadzona w kondensatorze zależy od zgromadzonego w nim ładunku:
E C
2
=
q
(24.2)
2
C
Wraz z rozładowaniem kondensatora energia ta maleje, wzrasta natomiast energia pola magnetycz-
nego gromadzona w cewce o indukcyjności L:
L
⋅
i
2
E L
=
(24.3)
2
698070172.012.png 698070172.013.png 698070172.014.png
W rezultacie pole elektryczne maleje, pole magnetyczne wzrasta a energia zawarta w polu elek-
trycznym kondensatora zamienia się na energię pola magnetycznego cewki. W procesie tym przez
opornik R przepływa prąd i(t) wydzielając na nim ciepło Joule’a i następuje zamiana części energii
na ciepło w ilości:
⋅
=
R
i
2
E J
(24.4)
2
R wtedy nastąpi strata energii cieplnej i
układ nie wróci do pierwotnego naładowania, ale cykl zamknie się w momencie uzyskania maksy-
malnej wartości ładunku na kondensatorze. Dla R=0 układ jest bezstratny i istnieje pełna analogia
opisu zjawiska do drgań wahadła matematycznego.
Aby opisać zmiany prądu i(t) w obwodzie RLC skorzystamy z II prawa Kirchhoffa, które mówi, że
suma spadków napięć w oczku jest równa zeru.
Z prawa Ohma wiemy, że spadek napięcia na oporniku R jest równy:
≠
0
U R
(
t
)
= )
i
(
t
⋅
R
(24.5)
Napięcie na kondensatorze wyraża się zależnością:
1
t
U
(
t
)
=
∫
i
(
t
)
dt
+
U
(24.6)
C
C
C
0
0
gdzie:
U oznacza wartość napięcia na kondensatorze w chwili początkowej (t=0).
0
Z prawa Faradaya wiemy, że w cewce pod wpływem zmiennego w czasie prądu indukuje się siła
elektromotoryczna:
U L
=
−
L
di
(
t
)
(24.7)
dt
Dla obwodu z Rys. 24.1a korzystając z II prawa Kirchhoffa możemy napisać:
di
(
t
)
1
t
U
(
t
)
=
U
(
t
)
+
U
(
t
)
−
L
=
∫
i
(
t
)
dt
+
i
(
t
)
R
(24.8)
L
R
C
dt
C
0
Przyjmijmy, że w chwili początkowej t=0 ładunek q(t=0) =0. Zatem równanie (24.8) przyjmie po-
stać:
d
2
q
dq
1
L
+
R
+
q
=
0
(24.9)
dt
2
dt
C
Wprowadzając oznaczenia:
- współczynnik tłumienia
β
R
2
L
- częstotliwość drgań swobodnych zwaną częstością własną
ω
0 =
1
LC
Jeden pełny cykl zaczynający się np. od chwili podłączenia do obwodu RLC naładowanego kon-
densatora zawiera rozładowanie kondensatora, naładowanie przeciwnym ładunkiem, ponowne roz-
ładowanie i naładowanie do pierwotnego stanu. Jeśli
C
698070172.015.png 698070172.001.png
uzyskuje się równanie różniczkowe drgań tłumionych w postaci:
d
2
q
dq
+
2
β
+
ω
2
0
q
=
0
(24.10)
dt
2
dt
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:
q
(
t
)
=
q
e
−
β
t
cos(
ω
t
+
ϕ
)
(24.11)
0
gdzie:
ω −
=
ω
2
0
β
- częstość (pulsacja) drgań tłumionych
Widzimy, że wskutek działania tłumienia amplituda drgań maleje z upływem czasu według zależ-
ności:
A
=
q
e
−
β
t
, zaś częstość drgań tłumionych jest mniejsza niż drgań własnych.
0
Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia - Λ .
Jest to logarytm naturalny stosunku amplitudy w chwili t oraz w chwili t+T ( T- okres drgań).
q
e
−
β
t
Λ
=
ln
0
=
β
T
(24.12)
q
e
−
β
(
t
+
T
)
0
β< . W przeciwnym razie ruch nie jest ruchem drga-
jącym lecz pełzającym (aperiodycznym). Charakteryzuje się ten ruch tym, że badany parametr nie
wykonuje drgań lecz zbliża się do położenia równowagi asymptotycznie. Szczególnym przypad-
kiem jest ruch pełzający krytyczny gdy ω
β= .
Drgania wymuszone. Jeśli chcemy, aby mimo tłumienia utrzymać drgania harmoniczne powinni-
śmy wprowadzić odpowiednio zmienne wymuszenie w postaci źródła napięcia zmiennego w czasie
w sposób harmoniczny ( Rys.24.1 b):
e
(
t
)
=
U
0
cos(
Ω
t
)
(24.13)
gdzie Ω - jest częstością wymuszenia.
Z II prawa Kirchhoffa możemy napisać:
d
2
q
dq
1
L
+
R
+
q
=
U
cos(
Ω
t
)
(24.14)
dt
2
dt
C
0
lub w formie:
d
2
q
R
dq
1
U
+
R
+
q
=
0
cos(
Ω
t
)
(24.15)
dt
2
L
dt
LC
L
Jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem są drgania harmoniczne o czę-
stości wymuszenia Ω . Drgania wymuszone mogą być przesunięte w fazie względem wymuszenia o
kąt φ będący fazą początkową drgania wymuszonego. Ta faza jest różnicą fazy wychylenia (24.16)
i fazy wymuszenia (24.13). Amplituda tych drgań jest ściśle określona i jest zależna od częstości
wymuszenia oraz od amplitudy wymuszenia. Zatem rozwiązaniem jest:
q
(
t
)
=
A
cos(
Ω
t
+
φ
)
(24.16)
2
Zależności (24.11) i (24.12) mają sens, jeśli ω
698070172.002.png 698070172.003.png
gdzie:
A
=
U
0
(24.17)
2
2
2
2
2
L
ω
−
Ω
)
+
4
β
Ω
φ arctg
=
−
2
ω
β
Ω
(24.18)
2
0
−
Ω
2
Aby przekonać się, że funkcja przedstawiona w (24.16) jest rozwiązaniem równania (24.15) należy
zróżniczkować tą funkcję obliczając pierwszą i drugą pochodną i wstawić do równania (24.15).
Rezonans. Jak wynika z analizy zależności (24.17) na amplitudę drgań wymuszonych, przy odpo-
wiednim dobraniu częstości wymuszenia nawet przy niewielkim wymuszeniu można uzyskać bar-
dzo dużą wartość. Takie zjawisko nazywamy rezonansem. Przeanalizujmy, zatem krzywą rezonan-
sową tzn. zależność (24.17).
5
A
β 1
4
β 2
3
2
β 3
1
Ω
20 40 60 80 100 120 140
Rys.24.2 Przykładowe krzywe rezonansowe .
< . Wartość częstości wymuszenia przy której
amplituda drgań osiąga maksimum ( zaznaczono na wykresie linią przerywaną) silnie zależy od
stałej zaniku β. Im mniejsza stała zaniku tym ostrzejsza jest krzywa rezonansowa a częstość rezo-
nansu wzrasta.
Wykorzystując zależności (24.16)-(24.18) oraz (24.6), (24.7) (24.1) można napisać wyrażenia na
U C ( oraz U L ). W ćwiczeniu wykorzystuje się pomiar U C . Przyjmując, że układ rezonansowy ma
małe straty ( tzn. (
β <
1
2
β
3
4
2 <β ) dla częstości bliskich rezonansu
1
U
=
U
0
(24.19)
C
2
2
2
2
Ω
R
C
+
( x
)
r
gdzie: Ω r =2πf r – częstość rezonansu ( dla danego β),
x
=
Ω
−
Ω
r
=
f
−
f
r
jest to częstotliwość
Ω
f
r
r
względna liczona względem częstotliwości rezonansowej f r .
(
Wykres przedstawia zależność amplitudy A od częstości kołowej drgań wymuszonych Ω dla róż-
nych wartości stałej zaniku, przy czym
698070172.004.png 698070172.005.png 698070172.006.png 698070172.007.png
 
Zauważmy, że dla częstości rezonansowej x=0, zatem:
U
C
=
U
L
=
1
=
Q
(24.20)
U
U
Ω
2
RC
0
0
r
Jest to jedna z najważniejszych wielkości charakteryzujących obwód rezonansowy, zwana dobrocią
układu. Dla obwodu szeregowego mówi ona ilokrotnie w rezonansie wzrasta napięcie na elemen-
tach C oraz L. Zatem dla Q>>1 charakterystykę częstotliwościową w pobliżu rezonansu zapisujemy
w postaci:
U C
=
1
(24.21)
U
1
0
+
(
2
x
)
2
Q
2
Zauważmy, że w rezonansie U C =QU 0 . Wprowadza się pojęcie pasma częstotliwości obwodu – B:
B
=
f
r
=
Ω
r
(24.22)
Q
2
Q
określone jako zakres częstotliwości, dla których zachodzi warunek:
U C
>
1
Q
(24.23)
U
2
0
10
Q
U C /U 0
8
Q/ 2
6
4
2
-0.4
-0.2
f r
0.2
0.4
x
f r -B/2
B
f r +B/2
f
Rys. 24.3 Przykładowa krzywa rezonansowa.
698070172.008.png 698070172.009.png 698070172.010.png 698070172.011.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin