Podręcznik 1 klasa GIM - rozdział oś_liczbowa.pdf

(187 KB) Pobierz
(o\234_liczbowa.pdf)
42
L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A
O Ś L I C Z B O W A . O D L E G Ł O Ś C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J
43
8 Oś liczbowa. Odległości liczb na osi liczbowej
Na osi liczbowej między liczbami 3 i 7 miesz
czą się 4 odcinki jednostkowe, więc odległość
między tymi liczbami wynosi 4.
ĆWICZENIE A. Na poniższym rysunku każdy punkt oznaczony literą odpo
wiada pewnej liczbie. Wymień, które z tych liczb są:
a) większe od 4,
c) większe od −2 lub równe −2,
Na osi liczbowej między liczbami −8 i −6,5
mieści się 1,5 odcinka jednostkowego. Odle
głość między tymi liczbami wynosi 1,5.
b) mniejsze od −1,
d) mniejsze od 5 lub równe 5.
Na osi liczbowej między liczbami −2 i 6 mie
ści się 8 odcinków jednostkowych. Odległość
między tymi liczbami wynosi 8.
ĆWICZENIE B. Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej kilka liczb większych
od −3,5. Zaproponuj, jak zaznaczyć na osi wszystkie liczby spełniające ten
warunek.
ĆWICZENIE E. Zaznacz na osi liczbowej liczby −5,6 i −2.
a) Jaka jest odległość między tymi liczbami?
b) Od większej z tych liczb odejmij liczbę mniejszą. Co zauważyłeś?
Liczby, które rozważaliśmy w powyższych ćwiczeniach, musiały speł
niać pewne warunki. Każdy z tych warunków można opisać za pomocą
nierówności. Zbiory wszystkich liczb spełniających takie nierówności
możemy zaznaczać na osi liczbowej.
Aby obliczyć odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej, wy
starczy od większej z tych liczb odjąć liczbę mniejszą.
Przykład
Liczby większe od 3,5 to te,
które spełniają nierówność:
x > 3,5
Liczby większe od −2 lub równe −2
to te, które spełniają nierówność:
x ≥ −2
Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a = −9,1 i b = −3,7?
−9,1 < −3,7
Ustalamy, która liczba jest większa.
b − a = −3,7 − (−9,1) = −3,7 + 9,1 = 5,4
Od większej z liczb odejmujemy
liczbę mniejszą.
Liczby mniejsze od −1 to te,
które spełniają nierówność:
x < −1
Liczby mniejsze od 5 lub równe 5
to te, które spełniają nierówność:
x ≤ 5
Odp. Odległość między liczbami a i b wynosi 5,4.
Zadania
ĆWICZENIE C. Poniższe nierówności opisują następujące zbiory liczbowe:
1 — liczby dodatnie, 2 — liczby ujemne, 3 — liczby nieujemne, 4 — liczby
niedodatnie. Dopasuj każdy z tych zbiorów do odpowiedniej nierówności.
A
X
< 0
B
X
≥ 0
C
X
> 0
D
X
≤ 0
1. Zapisz odpowiednie nierówności:
a) Liczba x jest większa od −2,5.
b) Liczba a jest mniejsza od 11.
c) Liczba x jest ujemna.
d) Liczba x jest mniejsza lub równa 5.
e) Liczba y jest nieujemna.
f) Liczba b jest nie mniejsza niż 8.
g) Liczba c jest nie większa niż 11.
Uwaga. Liczba jest nie mniejsza od 8, gdy jest większa od 8 lub równa 8.
Przyjmujemy, że na osi liczbowej odcinek
łączący liczby 0 i 1 ma długość 1 i nazy
wamy go odcinkiem jednostkowym .
ĆWICZENIE D. Podaj przykład dwóch liczb ujem
nych, których odległość na osi jest równa 1.
Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jest
równa długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom
(jednostką długości jest odcinek jednostkowy).
2. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających podany warunek.
a) x < −2
c) x ≤ 200
e) x ≥ −3,5
b) x ≥ 10
d) x < −1 1
4
f) x >
7
3
183006678.027.png 183006678.028.png 183006678.029.png 183006678.030.png 183006678.001.png 183006678.002.png 183006678.003.png 183006678.004.png 183006678.005.png 183006678.006.png
44
L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A
O Ś L I C Z B O W A . O D L E G Ł O Ś C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J
45
3. Zapisz nierówność, jaką spełniają wszystkie liczby z zaznaczonego
zbioru (i tylko te liczby).
Symbol | a | oznacza wartość bezwzględną
liczby a . Bezwzględną wartością liczby do
datniej lub równej 0 jest ta sama liczba,
a bezwzględną wartością liczby ujemnej
jest liczba do niej przeciwna. Na przykład:
5 3
Na przykład dla a = 2 i b = −8 otrzymamy:
| a − b | = | 2 − (−8) | = | 10 | = 10
| b − a | = | − 8 − 2 | = | − 10 | = 10
Możemy więc powiedzieć, że dla dowol
nych liczb a i b zachodzi równość:
| a − b | = | b − a |
Zatem, gdy chcemy określić odległość mię
dzy dwiema dowolnymi liczbami na osi
liczbowej, nie musimy ustalać, która z liczb
jest większa, wystarczy obliczyć wartość
bezwzględną z dowolnej różnicy tych liczb.
4. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełnia
jących warunek:
a) 4 ≤ x < 9
c) −2,5 ≤ s ≤ 2,5
b) −3 < a < 0
d) −1 < y ≤
1
2
5. Ustal, ile jest liczb spełniających warunek:
a) x ≤ 14 i x jest liczbą naturalną,
b) x > −6 7 i x jest liczbą całkowitą ujemną,
c) −2,5 < x ≤ 3,4 i x jest liczbą naturalną,
d) −105 ≤ x ≤ 95 i x jest liczbą naturalną.
Gdy dla dowolnych dwóch liczb a i b naj
pierw obliczymy różnicę a − b , a potem ob
liczymy różnicę b − a , to otrzymamy dwie
liczby przeciwne, a więc liczby, których
wartości bezwzględne są równe.
Do określania odległości między liczbami na
osi liczbowej symbol wartości bezwzględ
nej przydaje się szczególnie wtedy, gdy nie
wiemy, która z dwóch liczb jest większa.
10. a) Przeczytaj ciekawostkę i oblicz:
| − 5 | | 2,6 | | 0 − 6,7 | | 7,5 − 10 | | − 8 − 2 | | 6 − (−2) |
b) Zdanie: Odległość liczby a od 7 jest równa 3 można opisać za po
mocą równania | a − 7 | = 3. Dwie liczby spełniają ten warunek. Jakie?
c) Znajdź liczby spełniające równanie | x − 12 | = 15.
6. Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a i b , gdy:
a) a = 3,5
b) a = −12
c) a = −1
d) a =
3
4
b = 1
b = 37
b = −105
b = −1
7. a) Jakie liczby leżą na osi liczbowej w odległości 15 od liczby −5?
b) Pewna liczba leży na osi liczbowej dokładnie w tej samej odległości
od liczb −3 i 17. Co to za liczba?
8. Zaznacz na trzech różnych osiach podane zbiory liczbowe, a następnie
opisz je za pomocą nierówności (zob. ramka powyżej).
1 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 5 od liczby 0.
2 Zbiór liczb leżących w odległości nie większej niż 2 od liczby 1.
3 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 10 od liczby −7.
1. Wśród liczb zaznaczonych na osi na pewno
nie ma żadnej liczby:
A. dodatniej
B. mniejszej od −3
C. nieujemnej
D. mniejszej od 3
2. Odcinek, którego końce na osi mają współrzędne −4 oraz 12 ma długość:
A. 4
C. 12
D. 16
9. Na osi liczbowej zaznaczono punkt A o współrzędnej −5 oraz punkt B
o współrzędnej 7. Następnie zaznaczono jeszcze dwa punkty C i D
w taki sposób, że odległości między punktami C i A oraz D i B są
równe 1,5. Jaka jest odległość między punktami C i D ?
3. Które z podanych liczb leżą na osi liczbowej w równej odległości od −2?
A. 1 i −5
B. 0 i 2
C. −4 i 4
D. −3 i −4
zadania uzupełniające 73–76, str. 52
= 5 3 | 0 | = 0 | − 4 | = 4
Wartość bezwzględna jest zawsze liczbą
nieujemną. Zauważ, że dla każdej liczby
jej odległość od zera na osi liczbowej jest
równa wartości bezwzględnej tej liczby.
B. 8
183006678.007.png 183006678.008.png 183006678.009.png 183006678.010.png 183006678.011.png 183006678.012.png 183006678.013.png 183006678.014.png 183006678.015.png 183006678.016.png 183006678.017.png 183006678.018.png 183006678.019.png 183006678.020.png 183006678.021.png 183006678.022.png 183006678.023.png
52
L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A . Z A D A N I A U Z U P E Ł N I A J Ą C E
65. W 2007 r. firma X zatrudniała 340
pracowników, z czego 17 stanowili męż
czyźni. Rok później liczba zatrudnio
nych wzrosła o 5 , przy czym liczba męż
czyzn wzrosła tylko o 15. Ile kobiet za
trudniała firma X w 2008 r.?
70. Oblicz jak najprostszym sposobem:
a) 12 −
7 − 7 + 13 3
7
b) −5,8 + 2,7 − 2,2 + 0,3
c) −5 1
8
+ 1
1
12
+ 2
7
12
+
1
8
3
4
+ 1 1
2
d) −0,5 −
− 0,25
66. Zła macocha wsypała dwie miski so
czewicy do wiadra z popiołem i kazała
Kopciuszkowi w ciągu godziny wybrać
wszystkie ziarenka. Ziarna stanowiły 4
ciężaru tej mieszanki. Najpierw przyle
ciały gołębie i wyłuskały z popiołu 5
ziaren, potem przyleciały turkawki i wy
łuskały 0,7 pozostałych ziaren, na ko
niec przyleciały wróble i wyjęły z po
piołu ostatnie 18 dag ziaren. Ile ważyła
soczewica, a ile popiół?
71. Oblicz:
a) −1 1
e) (−3) 2 · 1
3
2
b) −6 2
3
: 2
· (−9)
c) −0,2 · (−0,2)
g) −6 2
:
1
2
d) −3 3 · (−3)
h) 3 4
: (−1,25) 2
72. Czy liczba przeciwna do iloczynu
dwóch liczb przeciwnych jest liczbą do
datnią czy ujemną?
67. Sprawdź, czy poniższa równość jest
prawdziwa.
1 +
2
= 2
1
21
Oś liczbowa. Odległości na osi
liczbowej
73. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb
spełniających podany warunek:
a) X ≥ −4
1+
2
1+
2
2
1+2
1+
c) X > 2 4
b) X < 7
Działania na liczbach dodatnich
i ujemnych
74. Ustal, ile liczb całkowitych leży na
osi liczbowej w odległości:
a) mniejszej niż 20 od zera,
b) mniejszej niż 20 od liczby 15.
68. Oblicz:
a) −7 4
9
− 2 1
6
e) −7,2 + 12,36
75. Podaj liczby, których odległość od
liczby −2 na osi liczbowej wynosi:
a) 10
b) 3 4
− 8 6
f) 6,4 − 10,25
c) −2 3
5
+ 7 1
3
g) −3 1
7
− 1,2
b) 3,5
c) 113
d) 1999
d) −3,12 − 6,1
h) 4 6
− 8,2
76. Zapisz, używając symbolu warto
ści bezwzględnej, równość opisującą po
dany warunek i znajdź liczby spełniające
ten warunek:
a) Odległość liczby A od liczby 5 na osi
liczbowej jest równa 3.
b) Odległość liczby B od liczby 4 na osi
liczbowej jest równa 20.
c) Odległość liczby C od liczby −2 na osi
liczbowej jest równa 1.
69. Oblicz:
a) −5,65 + (−2,08) − 1,35
b) 6,51 + (−2,775) − 11,125
c) − 10
9
+ − 1
6
+ 9 3
4
− (− 6,25)
d) −9,3 − −12 1
5
− (72,8 − (−13,002))
2
4 · (−4)
f) 1
3
183006678.024.png 183006678.025.png 183006678.026.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin