transformacje w układach trójfazowych.pdf

(138 KB) Pobierz
WPROWADZENIE DO TRANSFORMACJI LINIOWYCH W OBWODACH MASZYN ELEKTRYCZNYCH
WPROWADZENIE DO TRANSFORMACJI LINIOWYCH W OBWODACH MASZYN
ELEKTRYCZNYCH
ABC to osie uzwojeń układu trójfazowego, αβ to osie równoważnego uzwojenia
dwufazowego. Analiza rozkładu pola magnetycznego uzwojeń w maszynach elektrycznych
wykazuje, że oba uzwojenia są równoważne przy założeniu, że każde z uzwojeń fazowych
wytwarza sinusoidalny rozkład pola magnetycznego w szczelinie powietrznej. Przyjmując
zatem do opisu istnienie jedynie pierwszej harmonicznej pola można w sposób przyjąć, że
oba uzwojenia (trójfazowe i dwufazowe) wytwarzają dokładnie taką samą wartość
strumienia wypadkowego w szczelinie powietrznej. Poszczególne wielkości występujące
w równaniach maszyny trójfazowej można łatwo przeliczyć na równoważne uzwojenie
dwufazowe dokonując „rzutowania” wielkości pomiędzy wyżej narysowanymi układami
współrzędnych:
w
α
=
(
w
A
−
w
B
sin
30
°
−
w
C
sin
30
°
)
k
w
β
=
(
w
B
sin
60
°
−
w
C
sin
60
°
)
k
w
o
=
(
k
2
w
A
+
k
2
w
B
+
k
2
w
C
)
k
W równaniach powyższych wprowadzono współczynnik k, który w ogólnym
przypadku można przyjąć całkowicie dowolnie, przy czym należy pamiętać wówczas o
odpowiednim współczynniku jaki musi się pojawić przy przeliczaniu wielkości z układu
dwufazowego do trójfazowego. Równania dotyczące układu dwufazowego często
uzupełnia się o równanie wyznaczające tzw. składową zerową odpowiednich wielkości
(prądów, napięć). Z rozkładu pola wynika, że przy dokonywaniu analizy uwzględniającej
jedynie pierwszą składową pola magnetycznego w szczelinie składowa zerowa prądu nie
wytwarza pola magnetycznego.
Wygodnie jest stosować do zapisu powyższych przekształceń zapis macierzowy,
wówczas:
⎡
w
α
⎤
⎡
w
A
⎤
[]
⎢
w
⎥
=
S
⎢
w
⎥
β
B
⎢
w
⎥
⎢
w
⎥
⎣
o
⎦
⎣
C
⎦
- 1-
⎢
⎥
⎢
⎥
136251805.005.png
⎡
1
−
1
−
1
⎤
2
2
⎢
⎥
3
3
[]
⎢
⎥
S
=
k
0
−
⎢
2
2
⎥
⎢
k
k
k
⎥
⎢
2
2
2
⎥
⎣
⎦
Wartości współczynników k i k 2 wynikają z konkretnych założeń dotyczących
transformacji. Jeśli będziemy w identyczny sposób transformowali np. prąd i napięcie to
jako kryterium doboru współczynników możemy przyjąć równość mocy chwilowej przed i po
transformacji. Moc chwilową przed transformacją można przedstawić jako:
⎡
i
A
⎤
[
]
⎢
⎥
p
=
u
u
u
i
=
[
u
]
T
[
i
]
A
B
C
⎢
B
⎥
⎢
⎥
i
⎣
C
⎦
Po transformacji (przy założeniu, że do transformacji prądów i napięć używamy takiej
samej wartości k) otrzymamy:
p
'
=
([
S
][
u
])
T
[
S
][
i
]
=
[
u
]
T
[
S
]
T
[
S
][
i
]
Dla zachowania stałości mocy musi być spełniony:
[
[ =
S T
]
[
S
]
⎡
⎤
⎡
1
−
1
−
1
⎤
⎢
1
0
k
⎥
⎢
⎥
2
2
2
⎢
⎥
⎢
⎥
1
3
⎢
3
3
⎥
k
2
⎢
−
k
⎥
0
−
=
[
⎢
2
2
2
⎥
⎢
2
2
⎥
⎢
k
k
k
⎥
⎢
⎥
1
3
−
−
k
⎢
2
2
2
⎥
⎢
⎥
⎣
2
2
2
⎦
⎣
⎦
⎡
1
+
k
2
2
−
1
+
k
2
2
−
1
+
k
2
2
⎤
2
2
⎢
⎥
1
1
k
2
⎢
−
+
k
2
2
1
+
k
2
2
−
+
k
2
2
⎥
=
[
⎢
2
2
⎥
⎢
1
1
⎥
−
+
k
2
2
−
+
k
2
2
1
+
k
2
2
⎢
⎥
⎣
2
2
⎦
Stąd otrzymamy:
−
1
+
k
2
2
=
0
-
>
k
=
1
2
2
2
- 2-
⎢
⎥
⎢
⎥
136251805.006.png
k
2
(
+
k
2
2
)
=
1
-
>
k
2
=
2
-
>
k
=
2
3
3
Zatem:
⎡
1
−
1
−
1
⎤
2
2
⎢
⎥
[]
2
⎢
3
3
⎥
S
=
0
−
3
⎢
2
2
⎥
⎢
1
1
1
⎥
⎢
⎥
⎣
2
2
2
⎦
Macierz odwrotna przyjmuje postać:
⎡
1
0
1
⎤
2
⎢
⎥
2
1
3
1
[] []
⎢
⎥
S
−
1
=
S
T
=
−
⎢
⎥
3
2
2
2
⎢
⎥
⎢
1
3
1
⎥
−
−
⎢
⎥
⎣
2
2
2
⎦
Inne metody wyboru wartości współczynników w praktyce opierają się na
przyjmowaniu innych wartości przy przeliczaniu prądu a innych napięcia. Oczywistym jest,
że zachowując moc chwilową współczynniki te muszą spełniać warunek:
k
u k
=
2
i
3
Brak zachowania warunku tego powoduje, że wartość chwilowa mocy po
transformacji ulega zmianie, co należy uwzględnić w analizie mocy, strat i momentu
elektromagnetycznego maszyny.
Często stosowanym jest współczynnik równy:
2
k
=
3
wówczas:
⎡
1
−
1
−
1
⎤
2
2
⎢
⎥
2
3
3
[]
S
=
⎢
0
−
⎥
3
⎢
2
2
⎥
⎢
1
1
1
⎥
⎢
⎥
⎣
2
2
2
⎦
- 3-
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
136251805.007.png
⎡
1
0
1
⎤
2
⎢
⎥
⎢
1
3
1
⎥
[]
S
−
1
=
−
⎢
⎥
2
2
2
⎢
⎥
1
3
1
⎢
−
−
⎥
⎢
2
2
2
⎥
Moc chwilowa jest wówczas po transformacji zbyt mała, gdyż
⎛
2
⎞
2
4
k
2
=
⎝
⎠
=
3
9
W takim przypadku i moc chwilową po transformacji należy zwiększyć w stosunku
3/2 i obliczać według zależności:
p
=
3
(
u
i
+
u
i
+
u
0 i
)
2
α
α
β
β
0
Współczynnik o tej wartości jest jednak bardzo wygodny. Macierz odwrotna ma
bowiem taką postać w której, przy pominięciu składowej zerowej, wartości wielkości w fazie
A są równe wielkościom w fazie α .
Wielkości w osiach αβ prezentuje się zwykle w postaci wektorów przestrzennych
jako:
=
Często stosowaną metodą opisu jest stosowanie dodatkowej transformacji
wyznaczającej od razu wektory w opisie zespolonym. Przy transformacji zachowującej
stałą moc przy przekształceniu należy wówczas pomnożyć równania we współrzędnych
αβ 0 przez macierz:
w
w
α
+
jw
β
1
⎡
1
j
0
⎤
⎢
⎥
[]
C
=
1
−
j
0
⎢
⎥
2
⎢
⎥
0
0
2
⎣
⎦
Wartość współczynnika przed macierzą transformacji wyznacza się z warunku
stałości mocy:
1
⎡
1
j
0
⎤
⎡
1
1
0
⎤
⎡
1
j
0
⎤
[[]
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
[ 1
C
C
*
=
1
−
j
0
−
j
j
0
=
1
−
j
0
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
2
⎢
0
0
2
⎥
⎢
0
0
2
⎥
⎢
0
0
2
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Postępowanie takie jest równoznaczne transformacji z układu współrzędnych
naturalnych do postaci wektorowej poprzez stosowanie macierzy:
- 4-
⎢
⎥
⎣
⎦
T
136251805.008.png 136251805.001.png
 
⎡
1
a
a
2
⎤
a
=
−
1
+
j
3
1
⎢
⎥
2
2
[[][]
C
S
=
T
=
⎢
1
a
2
a
⎥
3
gdzie:
1
3
⎢
⎥
a
2
=
−
−
j
1
1
1
⎣
⎦
2
2
Macierz odwrotna przyjmuje wówczas postać:
1
⎡
1
1
1
⎤
⎢
⎥
[]
T
−
1
=
a
2
a
1
⎢
⎥
3
⎢
a
a
2
1
⎥
⎣
⎦
Przy stosowaniu macierzy w postaci zespolonej w takiej postaci należy pamiętać o
założeniach dotyczących doboru współczynników. Całkowita moc po przekształceniu jest
równa mocy przed transformacją, natomiast moc chwilową należy tu liczyć jako:
p
=
u
i
*
+
u
*
i
+
u
i
Znacznie wygodniejszą postacią macierzy transformacyjnej o współczynnikach
zespolonych stosowanej w praktyce jest:
0
0
⎡
1
a
a
2
⎤
[]
2
⎢
⎥
T
'
=
1
a
2
a
⎢
⎥
3
⎢
⎥
1
1
1
⎣
⎦
Stosowanie takiej postaci macierzy do układu trójfazowego bez składowej zerowej
sprowadza przekształcenie trzech wielkości fazowych do jednego wektora przestrzennego.
Przekształcenie prądów fazowych daje wówczas następującą postać po przekształceniu:
⎡
i
⎤
⎡
1
a
a
2
⎤
⎡
i
⎤
A
⎢
⎥
2
⎢
⎥
⎢
⎥
i
*
=
1
a
2
a
i
i
=
i +
ji
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
3
B
gdzie:
α
β
⎢
⎥
⎢
⎥
i
1
1
1
⎢
i
⎥
⎣
0
⎦
⎣
⎦
⎣
C
⎦
Macierz odwrotna przyjmuje wówczas postać:
[]
1
⎡
1
1
1
⎤
⎢
⎥
−
1
T
'
=
a
2
a
1
⎢
⎥
2
⎢
2
⎥
a
a
1
⎣
⎦
Prąd fazy A można (przy pominięciu składowej zerowej) wyznaczyć zatem ze wzoru:
i A
=
1
(
i
+
i
*
)
=
i
2
Wartość mocy po transformacji będzie zaniżona i wówczas przy pominięciu
składowej zerowej moc w układzie należy liczyć jako:
p
= ui
3
Re{
*
}
=
3
(
u
i
+
u
i
)
2
2
α
α
β
β
- 5-
136251805.002.png 136251805.003.png 136251805.004.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin