CHiF_wyklad_02_2013.pdf
(
87 KB
)
Pobierz
Wykład2
Kaskadygenerowaneprzezfunkcje
ci¡głezmiennejrzeczywistej
2.1WnioskiztwierdzeniaDarboux
Twierdzenie 1
(Darboux)
.
NiechI
R
b¦dzieprzedziałemif
:
I
!
R
b¦dziefunkcj¡ci¡gł¡.
Je»elia,b
2
Is¡takimiliczbami,»ea<biy
2
R
jestliczb¡le»¡c¡wprzedzialeoko«cachf
(
a
)
i
f
(
b
)
,toistniejetakaliczbac
2
[
a,b
]
,»ef
(
c
) =
y.
Wniosek 1.
Je»elif
:
[
a,b
]
!
R
jestfunkcj¡ci¡gł¡if
(
a
)
f
(
b
)
<
0
,toistniejetakaliczba
c
2
[
a,b
]
,»ef
(
c
) = 0
.
Twierdzenie 2.
NiechI
= [
a,b
]
R
b¦dzieprzedziałemif
:
I
!
Ib¦dziefunkcj¡ci¡gł¡.
Wówczas
Fix(
f
)
6
=
;
.
Dowód
polega na zastosowaniu wniosku 1 do funkcji
g
(
x
) =
f
(
x
)
−
x
.
Twierdzenie 3.
NiechI
= [
a,b
]
R
b¦dzieprzedziałemif
:
I
!
R
b¦dzietak¡funkcj¡ci¡gł¡,
»eI
f
[
I
]
.Wówczas
Fix(
f
)
6
=
;
.
Dowód
polega na zastosowaniu wniosku 1 do funkcji
g
(
x
) =
f
(
x
)
−
x
,
x
2
[
c,d
], gdzie
c
i
d
s¡
takimi liczbami z przedziału [
a,b
], »e
f
(
c
) =
a
i
f
(
d
) =
b
.
2.2TwierdzeniaLi-Yorke’aiSzarkowskiego
Twierdzenie 4
(Li-Yorke 1975)
.
Je»elif
:R
!
R
jestfunkcj¡ci¡gł¡tak¡,»e
Per
3
(
f
)
6
=
;
,to
Per
n
(
f
)
6
=
;
dlaka»dejliczbynaturalnejn.
Przykład
1
.
Funkcja
f
(
x
) =
−
3
2
x
2
+
5
2
+ 1,
x
2
R, ma orbit¦ okresow¡
{
0
,
1
,
2
}
o długo±ci 3, a
wi¦c Per
3
(
f
)
6
=
;
. Wobec twierdzenia Li-Yorke’a wynika st¡d, »e funkcja
f
ma punkty okresowe o
dowolnych okresach podstawowych.
1
Definicja 1.
Porz¡dkiemSzarkowskiego
nazywamy porz¡dek
w zbiorze liczb naturalnych zdefi-
niowany nast¦pujaco:
3
5
7
...
2
·
3
2
·
5
2
·
7
...
2
2
·
3
2
2
·
5
2
2
·
7
...
...
2
n
·
3
2
n
·
5
2
n
·
7
...
...
...
2
3
2
2
2
1
.
Twierdzenie 5
(Szarkowski 1964)
.
Niechf
:R
!
R
in,m
2
N
.Je»eli
Per
n
(
f
)
6
=
;
orazn
m,
to
Per
m
(
f
)
6
=
;
.
Uwaga
1
.
Poniewa» dla ka»dej liczby naturalnej
n
6
= 3 zachodzi warunek: 3
n
, wi¦c twierdzenie
Li-Yorke’a jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia Szarkowskiego.
Uwaga
2
.
Twierdzenie Szarkowskiego jest prawdziwe tak»e dla funkcji ci¡głych
f
:
I
!
I
, gdzie
I
= [
a,b
] jest zwartym przedziałem wR. Mo»na si¦ o tym przekona¢ rozwa»aj¡c przedłu»enie
f
0
:R
!
Rfunkcji
f
naRzdefiniowane nast¦puj¡co:
8
>
>
>
>
<
f
(
a
)
dla
x<a,
f
0
(
x
) =
f
(
x
)
dla
x
2
[
a,b
]
,
>
>
>
>
:
f
(
b
)
dla
x>b.
2.3Zbiorystabilne
Definicja 2.
Niech
f
:R
!
Rb¦dzie funkcj¡ ci¡gł¡ i
p
2
Rb¦dzie punktem okresowym o okresie
podstawowym
k
.
Zbioremstabilnym
punktu
p
nazywamy zbiór
W
s
(
p
) =
{
x
2
R:
n
!1
f
nk
(
x
) =
p
}
.
lim
Zbioremstabilnymniesko«czono±ci
nazywamy zbiór
W
s
(
1
) =
{
x
2
R:
n
!1
|
f
n
(
x
)
|
=
1}
.
lim
Przykład
2
.
Rozwa»my funkcj¦
f
(
x
) =
−
x
3
,
x
2
R. Łatwo stwierdzi¢, »e: Fix(
f
) =
{
0
}
, Per
2
(
f
) =
{−
1
,
1
}
oraz Per
n
(
f
) =
;
dla
n>
2. Korzystaj¡c z jawnego wzoru
f
n
(
x
) = (
−
1)
n
x
3
n
dla
x
2
R
stwierdzamy, »e:
(i) je»eli
|
x
|
<
1, to lim
n
!1
f
n
(
x
) = 0,
(ii) je»eli
|
x
|
>
1, to lim
n
!1
|
f
n
(
x
)
|
=
1
,
2
(iii)
f
2
n
(
−
1) =
−
1 oraz
f
2
n
(1) = 1.
Wynika st¡d, »e
W
s
(0) = (
−
1
,
1)
, W
s
(
1
) = (
−1
,
−
1)
[
(1
,
1
)
, W
s
(
−
1) =
{−
1
}
, W
s
(1) =
{
1
}
.
Twierdzenie 6.
Je»elipiqs¡ró»nymipunktamiokresowymikaskadygenerowanejprzezci¡gł¡
funkcj¦f
:R
!
R
,toW
s
(
p
)
\
W
s
(
q
) =
;
.
3
Plik z chomika:
lco1
Inne pliki z tego folderu:
Kolokwia.zip
(7125 KB)
CHiF_zadania_06_2013.pdf
(54 KB)
CHiF_zadania_05_2013.pdf
(30 KB)
CHiF_zadania_04_2013.pdf
(57 KB)
CHiF_zadania_03_2013.pdf
(58 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algorytmy i metody optymalizacji FTIMS PŁ
Matematyka dyskretna FTIMS PŁ (kurs dla matematyki)
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin