Program (maksimum) przedmiotu:

Algebra (IMiIP,  Rok I)

30 godz. wykładów + 15 godz. ćwiczeń

Wymagane wiadomości: Podstawowe wiadomości z teorii mnogości, logiki i arytmetyki.

1. Działania  na zbiorach. Struktury algebraiczne.

2. Grupa. Grupy przemienne i nieprzemienne. Przykłady grup. Grupa permutacji. Grupa Zn. Generatory grup. Homomorfizm grup.

3. Ciało. Ciała liczb rzeczywistych i wymiernych..

4. Liczby zespolone. Ciało liczb zespolonych. Postać algebraiczna i trygonometryczna, moduł i argument liczby zespolonej. Wzór de Moivre’a. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Geometryczna interpretacja zbioru pierwiastków stopnia n.

5. Macierze rzeczywiste i zespolone, działania na macierzach. Różne typy macierzy.

6. Wyznaczniki i ich własności. Obliczanie wyznaczników. Rozwinięcie Laplace’a.

Dopełnienie algebraiczne. 

7.Macierze zdegenerowane i niezdegenerowane. Macierz odwrotna . Algorytmy obliczania macierzy odwrotnych. Przykłady.

8. Przestrzenie wektorowe nad R i C. Podprzestrzeń. Liniowa niezależność wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej. Macierz przejścia od jednej bazy do innej.

9.Odwzorowania liniowe przestrzeni wektorowych. Jądro i obraz odwzorowania. Homomorfizm i izomorfizm.

10. Macierz odwzorowania liniowego w wybranej bazie. Zmiana macierzy odwzorowania liniowego przy przejściu do innej bazy.

11. Rząd macierzy  i odwzorowania liniowego.

12. Układy równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Układy Kramera. Przykłady.

13. Rozwiązanie bazowe układu jednorodnego. Wzór dla rozwiązań układu niejednorodnego.

14. Algorytmy rozwiązywania układów równań liniowych . Metoda eliminacji Gaussa –Jordana. Przykłady.

15. Wartości własne i wektory własne macierzy i odwzorowań liniowych. Wielomian charakretystyczny macierzy i odwzorowania liniowego.

16. Twierdzenie Cayley’a – Hamiltona. Warunek diagonalizowalności macierzy .

17. Iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej Rn. Przestrzeń euklidesowa.  Norma wektora, kąt między wektorami.

18. Iloczyn skalarny hermitowski w przestrzeni zespolonej. Przestrzeń unitarna.

19. Układy ortogonalne wektorów. Ortogonalizacja Grama-Schmidta układów wektorowych. Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni.

20. Odległość wektora do podprzestrzeni. Rzut wektora na podprzestrzeń.

21. Izometria. Operatory symetryczne i ortogonalne w przestrzeni euklidesowej. Przykłady.
23. Formy kwadratowe nad R i C. Postać kanoniczna i standardowa formy kwadratowej. Metoda sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej.

24. Macierze dodatnie określone, ujemnie określone i nieokreślone. Kryterium Sylwestera.

LIТERATURA PODSTAWOWA

1.       T.Jurlewicz , Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1,2. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław, 2005.

2.       T.Jurlewicz,  Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1,2. Przykłady i zadania, Oficyna

    wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

3.                  J.Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków,  2001

4.                  A.Herdegen, Wykłady z algebry liniowej i geometrii, Wydawnictwo Discepto, Kraków, 2005.

Program przygotował: Leonid Płachta