kwantycz1.pdf

(346 KB) Pobierz
Mechanika kwantowa I
Mechanika kwantowa I
Opracowanie:
Barbara Pac, Piotr Petelenz
1
Zwyczajowo, podstawy mechaniki kwantowej formułowane są w postaci kilku postulatów,
których numeracja i konkretna postać są różne w różnych ujęciach. W niniejszym zbiorze za punkt
wyjścia przyjmujemy następujące sformułowanie:
Ψ współrzędnych n
cząstek zawartych w układzie (przy czym każda cząstka ma f stopni swobody) oraz czasu, lub funkcję
pędów wszystkich cząstek zawartych w układzie oraz czasu. Funkcja ta nosi nazwę
funkcji falowej w reprezentacji, odpowiednio, współrzędnych lub pędów, i jest zdefiniowana przez tę
właściwość, że kwadrat jej modułu zadaje gęstość prawdopodobieństwa ( w
(
q
1
,
q
2
,.....
fn
,
t
)
Φ
(
p
1
,
p
2
,.....
p
fn
,
t
)
q lub w p ) znalezienia układu
w danym punkcie przestrzeni konfiguracyjnej lub pędowej:
Ψ
*
(
q
,
q
,.....
q
,
t
)
Ψ
(
q
,
q
,.....
q
,
t
)
=
Ψ
2
=
w
(
q
,
q
,.....
q
,
t
)
[ .3.1a]
1
2
n
1
2
n
q
1
2
n
Φ
*
(
p
,
p
,.....
p
,
t
)
Φ
(
p
,
p
,.....
p
,
t
)
=
Φ
2
=
w
(
p
,
p
,.....
p
,
t
)
[ .3.1b]
1
2
n
1
2
n
p
1
2
n
Postulat 2
zadaje relację pomiędzy funkcjami falowymi w reprezentacji współrzędnościowej i w reprezentacji
pędowej, mianowicie
i
nf
−
=
q
p
1
i
i
Ψ
=
h
−
nf
∫∫
...
Φ
*
e
h
d
τ
[ .3.2]
2
i
1
p
Postulat 3
Wartość spodziewana wielkości mechanicznej F wyraża się wzorem
F
=
∫
Ψ
*
F
Ψ
d
τ
q
[ .3.3]
gdzie oznacza operator tej wielkości mechanicznej, skonstruowany według reguł Jordana, mianowicie
F ˆ
a) w klasycznym wzorze określającym wielkość jako funkcję współrzędnych i pędów
zastępujemy wszędzie współrzędną q przez operator mnożenia przez tę współrzędną:
F
( p
q
)
ˆ
ˆ → q•
[W.3.4]
b) w klasycznym wzorze określającym wielkość
F
( p
q
) jako funkcję współrzędnych i pędów
zastępujemy wszędzie pęd p przez operator
− h
i
∂
, gdzie q oznacza odpowiednią współrzędną.
∂
p →
− h
i
∂
[ .3.5]
∂
q
Postulat 4
żąda, aby funkcja falowa układu spełniała następujące równanie Schrödingera zawierające czas
H ˆ
Ψ
=
ih
∂
Ψ
[ .3.6]
∂
t
gdzie H ˆ jest operatorem energii układu (operatorem Hamiltona, hamiltonianem), skonstruowanym
według podanych wyżej reguł Jordana.
2
Postulat 1
Stan układu kwantowo-mechanicznego opisany jest przez funkcję
q
ˆ
424134877.001.png
 
Konsekwencje i komentarze:
1. Funkcja falowa w pełni charakteryzuje stan kwantowo-mechaniczny układu , tj. zawiera maksimum
informacji o układzie, dostępnej na gruncie opisu kwantowo-mechanicznego.
2. Prawdopodobieństwo znalezienia układu w pewnej objętości przestrzeni konfiguracyjnej lub
pędowej dane jest całką po tej objętości
W
=
∫
Ψ
*
(
q
,
q
,.....
q
,
t
)
Ψ
(
q
,
q
,.....
q
,
t
)
d
τ
=
∫
Ψ
2
d
τ
=
∫
w
(
q
,
q
,.....
q
,
t
)
d
τ
[W.3.7a]
Vq
1
2
N
1
2
N
q
q
q
1
2
N
q
Vq
Vq
Vq
W
=
∫
Φ
*
(
p
,
p
,.....
p
,
t
)
Φ
(
p
,
p
,.....
p
,
t
)
d
τ
=
∫
Φ
2
d
τ
=
∫
w
(
p
,
p
,.....
p
,
t
)
d
τ
[W.3.7b]
Vp
1
2
N
1
2
N
p
p
p
1
2
N
p
Vp
Vp
Vp
W przypadku, gdy jest to całkowita objętość dostępna układowi (np. w skrajnym przypadku cała
przestrzeń), powyższe całki musza być równa jedności (układ na pewno znajduje się gdzieś i ma jakiś
pęd), co nazywamy warunkiem normalizacji.
∫ q
Ψ
2
d
τ
=
1
[.3.8a]
q
τ
∫ p
Φ
2
d
τ
=
1
[.3.8b]
p
τ
W dalszym ciągu skoncentrujemy się na funkcjach falowych Ψ w reprezentacji współrzędnościowej. Są
one z reguły uzyskiwane przez rozwiązanie równań różniczkowych, co powoduje pojawienie się
odpowiednich stałych całkowania. Jedna z nich (nazwijmy ją N ) wyznaczana jest z warunku
normalizacji. Przypuśćmy, że rozwiązanie odpowiedniego równania prowadzi do funkcji Ψ’; wówczas
unormowana funkcja falowa ma postać
'
Ψ N
=
Ψ
[.3.9]
1
/
2
1
[.3.10]
N
=
2
∫ q
Ψ
'
d
τ
q
τ
gwarantuje spełnienie wymagania normalizacji.
Uwaga: Warunek normalizacji dla tzw. stanów niezwiązanych ma nieco inną postać i nie będzie tu
omawiany.
3. Z oczywistych przyczyn fizycznych, funkcje falowe muszą być tzw. funkcjami porządnymi , inaczej
funkcjami klasy Q . Z definicji oznacza to, że muszą być skończone, ciągłe i jednoznaczne .
4. Istnieje odpowiednik wyrażenia [W.3.3] dla funkcji falowych zadanych w przestrzeni pędów, ale nie
będzie on tu używany. Podobnie, równanie Schrödingera analogiczne do [W.3.6] można również
zapisać dla funkcji falowej Φ (w reprezentacji pędowej).
5. Operatory odpowiadające mierzalnym wielkościom mechanicznym (obserwablom) muszą być
liniowe i hermitowskie .
Operator nazywamy liniowym , jeśli dla każdej pary funkcji u 1 i u 2
F
(
au
1
+
bu
2
)
=
a
ˆ
1
+
b
ˆ
2
[.3.11]
Operator nazywamy hermitowskim , jeśli spełnia on warunek
∫
u
1
*
F
ˆ
2
d
τ
=
∫
u
2
(
F
1
)
*
d
τ
[.3.12]
3
ˆ
ˆ
424134877.002.png
6. Dla każdej pary operatorów F , G definiujemy ich komutator
[
F
,
G
ˆ
]
=
F
ˆ
ˆ
−
G
ˆ
ˆ
[W.3.13]
Mnożenie operatorów jest na ogół nieprzemienne, z wyjątkiem przypadku, gdy komutator tych
operatorów jest równy zeru.
7. Z powyższego powodu, jeśli w klasycznym wzorze określającym wielkość F(q,p) jako funkcję
współrzędnych i pędów pojawia się iloczyn pędu i odpowiadającej mu współrzędnej, to konstruując
odpowiedni operator według reguł Jordana wyrażenie to symetryzujemy , tj. zastępujemy iloczyn
średnią dwóch iloczynów, w których pęd i współrzędna zapisane są w przeciwnej kolejności.
8. Operator hermitowski posiada pewien układ funkcji własnych , tj. takich, że
F φ i =F i φ i
[W.3.14]
W powyższym wyrażeniu φ i jest zwana funkcją własną , a liczba F i wartością własną . Funkcje własne
operatora hermitowskiego tworzą zbiór
a) ortonormalny , tj.
∫ *
φ =
i d δ
φ
j
τ
q
ij
[.3.15]
1
dla
i
=
j
gdzie
δ
ij
=
0
dla
i
≠
j
[.3.16]
b) zupełny , co oznacza w praktyce (ścisła definicja nie jest tu konieczna), że dowolna (dostatecznie
regularna) funkcja g daje się przedstawić jako szereg funkcji własnych φ i operatora F
g φ
=
∞
=
c
i
i
[.3.17]
i
1
gdzie c
l
=
∫
g τ
φ *
l
d
q
[.3.18]
9. Pojedynczy pomiar wielkości mechanicznej F może dać jako wynik jedynie jedną z wartości
własnych F i operatora F . W długiej serii takich pomiarów poszczególne wartości własne F i
pojawiają się z prawdopodobieństwem równym | c i | 2 .
10. Wartość wielkość mechanicznej F jest ostro zadana (tj. każdy kolejny jej pomiar daje ten sam wynik
F i ) wtedy i tylko wtedy, gdy układ znajduje się w stanie własnym operatora F , tj. gdy opisująca go
funkcja falowa g jest jedną z funkcji falowych φ i spełniających równanie
F φ
φ=
F
i
i
.
11. Dwie wielkości mechaniczne są równocześnie ostro mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich
operatory kwantowo-mechaniczne ze sobą komutują , gdyż tylko w tym przypadku operatory te mają
wspólny układ funkcji własnych .
Z tego powodu wartości komutatorów są bardzo istotne, gdyż determinują fizykę rozwiązywanego
problemu kwantowomechanicznego. Przy ich wyprowadzaniu przydatne są następujące zależności:
]
[
F −
ˆ
,
G
ˆ
]
=
[
G
ˆ
,
F
ˆ
[W.3.19]
[
F
ˆ
,
(
G
ˆ
+
H
ˆ
)]
=
[
F
ˆ
,
G
ˆ
]
+
[
F
,
H
]
[W.3.20]
[
F
ˆ
,
G
ˆ
ˆ
]
=
[
F
ˆ
,
G
ˆ
]
H
ˆ
+
G
[
F
,
H
]
[W.3.21]
12. Równanie [W.3.6] jest podstawowym równaniem ruchu mechaniki kwantowej. Jego rozwiązanie
pozwala wyznaczyć funkcję falową, tj. zdobyć o układzie wszelkie możliwe informacje, i jest
głównym problemem teoretycznego opisu układów mikroskopowych.
4
ˆ
ˆ
i
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ψ ψ [ .3.22]
przy czym funkcja ψ jest niezależna od czasu i spełnia równanie Schrödingera nie zawierające czasu
(niezależne od czasu )
ψ
⋅
i
e h
ˆ [ .3.23]
Rozwiązania postaci [W.3.22] odpowiadają tzw. stanom stacjonarnym (nazwa wynika z faktu, że
wielkości mierzalne są w takich stanach stałe w czasie).
5
−
13. Gdy hamiltonian układu nie zależy od czasu, równanie [W.3.6] posiada rozwiązania w postaci
Et
H =
ψ E

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin