kwantyczIII.pdf

(224 KB) Pobierz
Rotator sztywny
Mechanika kwantowa III
Opracowanie:
Barbara Pac, Piotr Petelenz
1
Powtórzenie
Moment pędu jest wielkością pojęciowo bardzo istotną, gdyż dla wszystkich pól o symetrii sferycznej operator jego
kwadratu (
2
H
)
ϑ, ).
M [ .3.61]
Zgodnie z regułami Jordana ([W.3.4] i [W.3.5]), operatory składowych momentu pędu są zdefiniowane jako:
[
ˆ
2
,
H
ˆ
]
=
0
M
ˆ
= h
i
(
x
∂ −
y
∂
)
[ .3.62a]
z
∂
y
∂
x
M
ˆ
= h
i
(
z
∂ −
x
∂
)
[W.3.62b]
y
∂
x
∂
z
M
ˆ
x
= h
i
(
y
∂
∂ −
z
z
∂
∂
y
)
[ .3.62c]
Spełniają one związki komutacyjne:
ˆ [ h
M
x
,
M
ˆ
y
]
=
i
M
ˆ
z
[ .3.63a]
ˆ [ h
M
y
,
M
ˆ
z
]
=
i
M
ˆ
x
[W.3.63b]
ˆ [ h
M
z
,
M
ˆ
x
]
=
i
M
ˆ
y
[ .3.63c]
oraz
[
M i
ˆ
,
M
ˆ
2
]
=
0
i=x,y,z
[W.3.64]
=
W dalszych rozważaniach przydatna będzie postać operatora kwadratu składowej momentu pędu i składowej zetowej
momentu pędu we współrzędnych sferycznych:
M
ˆ
2
M
ˆ
2
+
M
ˆ
2
+
M
ˆ
2
[W.3.65]
x
y
z
M
ˆ
2
=
−
h
2
1
⋅
∂
sin
ϑ
∂
+
1
⋅
∂
2
[ .3.66]
sin
ϑ
∂
ϑ
∂
ϑ
sin
2
ϑ
∂
ϕ
2
ˆ
M z
= i
∂
∂
[W.3.67]
Rotator sztywny
Rotator sztywny to układ dwóch związanych ze sobą cząstek o masach m 1 i m 2 . W trakcie ich ruchu odległość R
między cząstkami nie ulega zmianie.
Równanie Schrödingera dla rotatora sztywnego w układzie środka mas ma postać:
( ) EY
−
h
2
∆
+
V =
[ .3.68]
2
µ
gdzie ∆ oznacza operator Laplace’a:
∆
=
∂ +
2
+
∂
2
∂
2
[ .3.69]
2
2
2
∂
x
∂
y
∂
z
a µ masę zredukowaną układu:
1
=
m +
1
1
[ .3.70]
µ
m
1
2
We współrzędnych sferycznych operator ∆ ma postać:
∆
=
1
⋅
∂
r
2
∂
+
1
⋅
∂
sin
ϑ
∂
+
1
⋅
∂
2
[ .3.71]
r
2
∂
r
∂
r
r
2
sin
ϑ
∂
ϑ
∂
ϑ
r
2
sin
2
ϑ
∂
ϕ
2
W przypadku rotatora sztywnego r
=
R =
const
więc postać operatora Laplace’a redukuje się do postaci:
∆
=
1
⋅
∂
sin
ϑ
∂
+
1
⋅
∂
2
[ .3.72]
R
2
sin
ϑ
∂
ϑ
∂
ϑ
R
2
sin
2
ϑ
∂
ϕ
2
Równanie [W.3.68] ma zatem postać:
−
h
2
1
⋅
∂
sin
ϑ
∂
+
1
⋅
∂
2
Y
=
EY
[ .3.73]
2
I
sin
ϑ
∂
ϑ
∂
ϑ
sin
2
ϑ
∂
ϕ
2
gdzie
I =
R
2
[ .3.74]
2
M ) komutuje z hamiltonianem ( . (Pole o symetrii sferycznej to takie pole, którego potencjał,
wyrażony we współrzędnych sferycznych, zależy tylko od promienia, a nie zależy od kątów
424134879.004.png
Y (tzw. funkcje kuliste ) będące rozwiązaniami równania [W.3.68] można przedstawić w postaci
iloczynu dwóch funkcji
( ϑ
)
Θ i
Φ
, z których każda zależy od jednej zmiennej:
Y
J
,
M
(
ϑ
,
)
=
Θ
J
,
M
|
(
ϑ
)
Φ
M
(
ϕ
)
[ .3.75]
gdzie:
Φ
( =
ϕ
1
e
iM
ϕ
M
=
0
±
±
2
,...,
±
J
[ .3.76ab]
M
2
π
Θ
(
ϑ
)
=
N
P
M
|
(cos
ϑ
)
J = 0, 1, 2, ….
[W.3.77]
J
,
M
|
J
,
M
|
J
przy czym:
N
=
( ) 2
2
J
+ ⋅
1
(
J
−
|
M
|)!
1
[ .3.78]
J
,
M
|
2
(
J
+
|
M
|)!
a (oznaczając we wzorze [W.3.77] ϑ
cos przez x) dla
m ≤ mamy:
n
P
(
x
)
=
1
d
n
(
x
2
−
1
n
[W.3.79]
n
2
n
n
!
dx
n
P
m
n
(
x
)
=
(
−
x
2
)
m
d
m
P
(
x
)
[W.3.80]
Występujące w powyższych wzorach liczby kwantowe J i M to (odpowiednio) rotacyjna i magnetyczna rotacyjna
liczba kwantowa .
Energia własna rotatora sztywnego zależy wyłącznie od liczby J:
2
dx
m
n
E
= J
h
2
J
(
+
1
[ .3.81]
J
2
I
Y są równocześnie ([W.3.61]) funkcjami własnymi hamiltonianu, operatora kwadratu składowej
momentu pędu i składowej zetowej momentu pędu. Odpowiadające im ich wartości własne są następujące:
( ϑ
)
M h
2
= J
2
J
(
+
1
[ .3.82]
M z
=
h
M
[W.3.83]
3
Funkcje
1
|
Funkcje kuliste
424134879.005.png
Przykład 5
1. Podaj postać jawną wszystkich funkcji kulistych w stanach o J =1.
2. Jaki wynik i z jakim prawdopodobieństwem można otrzymać w pomiarze:
a) energii
b) kwadratu momentu pędu
c) składowej zetowej momentu pędu
w stanach, którym odpowiadają funkcje wyprowadzone w punkcie 1?
3. Podaj unormowaną postać jawną funkcji ψ będącej liniową kombinacją funkcji kulistych wyprowadzonych
w punkcie 1. Załóż, że udział wszystkich funkcji w tej kombinacji jest taki sam.
4. Jaki wynik pomiaru i z jakim prawdopodobieństwem można otrzymać w wyniku pomiaru:
a) energii
b) kwadratu momentu pędu
c) składowej zetowej momentu pędu
w stanie opisanym wyprowadzoną w punkcie 3 funkcją ψ ?
5. Obliczyć wartość spodziewaną:
ψ
M
ˆ
z
ϕ
M
ˆ
2 −
M
2
ϕ
M
ˆ
z
ψ
.
Ad. 1
Z informacji [W.3.76ab] wynika, że dla przy zadanej wartości J =1 magnetyczna kwantowa liczba rotacji M może
przyjmować trzy wartości: 1,0,-1. W takim razie (niejawne) postaci funkcji kulistych ([W.3.75]) zapiszemy jako:
Y
11
(
ϑ
,
)
=
Θ
11
(
ϑ
)
Φ
1
(
ϕ
)
[3.5.1a]
Y
10
(
ϑ
,
)
=
Θ
10
(
ϑ
)
Φ
0
(
ϕ
)
[3.5.1b]
Y
1
−
1
(
ϑ
,
)
=
Θ
11
(
ϑ
)
Φ
−
1
(
ϕ
)
[3.5.1c]
gdzie (wzór [W.3.77]):
Θ
10
(
ϑ P
)
=
N
10
0
1
(cos
ϑ
)
[3.5.2a]
Θ
11
(
ϑ P
)
=
N
11
1
1
(cos
ϑ
)
[3.5.2b]
Wielomiany
P n
( x
)
i
P n
( x
)
są zdefiniowane wzorami [W.3.79] i [W.3.80]. Dla n=1 mamy:
P
(
x
)
=
1
d
(
x
2
−
1
=
x
[3.5.3]
1
2
⋅
1
dx
a dla m=0 i m=1 otrzymujemy odpowiednio:
x
0
1
(
x
)
=
(
−
x
2
)
0
P
1
(
x
)
=
[3.5.4a]
P
1
(
x
)
=
(
−
x
2
)
1
d
P
(
x
)
=
(
−
x
2
)
1
2
2
[3.5.4b]
1
1
dx
Stałe normujące funkcji
Θ i
10 ϑ
(
)
Θ (określone wzorem [W.3.78]) przyjmują wartości:
11 ϑ
(
)
N
10 =
3
i
N
11 =
3
[3.5.5ab]
2
2
W takim razie:
Θ
10
(
ϑ cos
)
=
3
ϑ
[3.5.6a]
Θ
(
ϑ
)
=
3
(
−
cos
2
ϑ
)
1
=
3
sin
ϑ
[3.5.6b]
2
11
2
2
W skład funkcji kulistych wchodzą również funkcje
Φ ,
1 ϕ
)
Φ i
0 ϕ
)
Φ , których postaci są określone wzorem
1 ϕ
(
)
[W.3.76ab]:
Φ
( =
ϕ
)
1
e
i
ϕ
[3.5.7a]
1
2
π
Φ
( =
ϕ
)
1
[3.5.7b]
0
2
π
Φ
(
ϕ
)
=
1
e −
i
ϕ
[3.5.7c]
−
1
2
π
Ostateczna postać funkcji kulistych w stanach o J =1 jest więc następująca:
Y
(
ϑ
,
)
=
3
1
sin
ϑ
e
ϕ
=
1
3
sin
ϑ
e
ϕ
[3.5.8a]
11
2
2
2
π
2
π
Y
(
ϑ
,
)
=
3
1
sin
ϑ
e
−
ϕ
=
1
3
sin
ϑ
e
−
i
ϕ
[3.5.8b]
1
−
1
2
2
2
π
2
π
Y
(
ϑ
,
)
=
1
3
cos
ϑ
=
1
3
cos
ϑ
[3.5.8c]
10
2
π
π
4
ˆ
z
z
P
2
(
(
−
i
i
i
424134879.006.png 424134879.007.png 424134879.001.png 424134879.002.png
Ad.2a
Energia rotatora sztywnego zależy od wartości liczby kwantowej J i nie zależy od wartości liczby kwantowej
M [W.3.81]. We wszystkich stanach kwantowych, którym odpowiada J =1 (czyli stanach opisywanych funkcjami
) energia rotatora jest więc taka sama i równa:
11
(
ϑ
,
),
Y
10
(
ϑ
,
),
Y
1
−
1
(
ϑ
,
)
E
=
2
[3.5.9]
1
I
Pomiar energii daje powyższą wartość z prawdopodobieństwem 100%.
Ad.2b
Kwadrat momentu pędu, podobnie jak energia, jest kwantowany przez liczbę J (wzór [W.3.82]). We
wszystkich stanach o J =1 mamy:
2
M
2
=
2 h
[3.5.10]
Pomiar kwadratu momentu pędu daje wartość
2 h
2
z prawdopodobieństwem 100%.
Ad.2c
,
W każdym ze stanów opisanych funkcjami Y możemy w wyniku pomiaru uzyskać
tylko jedną wartość składowej zetowej momentu pędu i będzie ona uzyskana z prawdopodobieństwem 100%.
h −
0
h
.
11
ϑ
,
),
Y
10
(
ϑ
,
),
Y
1
−
1
(
ϑ
,
)
Ad. 3
Analogiczny problem był już rozwiązywany w przykładzie I. Unormowaną postać naszej funkcji zapiszemy jako:
))
ψ
=
1
(
Y
(
ϑ
,
)
+
Y
(
ϑ
,
)
+
Y
(
ϑ
,
[3.5.11]
11
10
1
−
1
3
Ad.4
Funkcja ψ jest liniową kombinacją trzech funkcji kulistych, którym odpowiada taka sama (równa 1) wartość
liczby kwantowej J . Pomiar kwantowanych wyłącznie przez liczbę J wielkości, czyli energii i momentu pędu, da
zatem (ze 100%-owym prawdopodobieństwem) obliczone już poprzednio wartości (odpowiednio [3.5.9] i [3.5.10]).
Funkcja ψ jest liniową kombinacją trzech funkcji kulistych, którym odpowiadają różne wartości liczby
kwantowej M (równe: 1,0, -1). Pomiar kwantowanej przez liczbę M składowej zetowej momentu pędu nie da zatem
jednej lecz trzy wartości:
h −
,
0
h
. Ponieważ udział wszystkich trzech funkcji Y
11
(
ϑ
,
),
Y
10
ϑ
,
),
Y
−
1
ϑ
,
)
w
kombinacji jest taki sam, to prawdopodobieństwo uzyskania każdej z wartości
h ,
0
−
h
jest takie samo i równe
33,3%.
Ad.5
Występujący w całce
ψ
M
ˆ
ϕ
M
ˆ
2 −
M
ˆ
2
ϕ
M
ˆ
ψ
operator
M
ˆ
ϕ −
M
ˆ
2
M
ˆ
2
ϕ
M
ˆ
można dość łatwo doprowadzić do
z
z
z
z
z
z
z
z
prostszej postaci:
M
ˆ
z
ϕ
M
ˆ
z
2
−
M
ˆ
2
ϕ
M
ˆ
z
=
[
M
ˆ
z
ϕ
M
ˆ
z
,
M
ˆ
z
]
=
M
ˆ
z
[
ϕ
M
ˆ
z
,
M
ˆ
z
]
+
[
M
ˆ
z
,
M
ˆ
z
]
ϕ
M
ˆ
z
=
M
ˆ
z
ϕ
[
M
ˆ
z
,
M
z
]
+
M
ˆ
z
[
ϕ
,
M
ˆ
z
]
M
z
=
=
M
ˆ
z
[
ϕ
,
M
ˆ
z
]
M
ˆ
z
[3.5.11]
Wartość komutatora [
ϕ
,
M
ˆ
z
]
wynosi:
[
ϕ
,
M z
]
χ
=
[
ϕ
,
−
i
h
∂ ]
χ
=
−
i
h
( ) (
ϕ
∂
χ
−
∂
ϕχ
=
−
i
h
ϕ
∂
χ
−
χ
−
ϕ
∂
χ
) χ
=
i
h
[3.5.12]
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
Wstawiając powyższą wartość do zależności [3.5.11] mamy:
2
M
ˆ
ϕ
M
ˆ
2
−
M
ˆ
2
ϕ
M
ˆ
=
M
ˆ
[
ϕ
,
M
ˆ
]
M
ˆ
=
i
h
M
ˆ
[3.5.13]
z
z
z
z
z
z
z
z
W takim razie postać naszej całki można zapisać jako:
ψ
M
ˆ
ϕ
M
ˆ
2
−
M
ˆ
2
ϕ
M
ˆ
ψ
=
i
h
ψ
M
ˆ
2
ψ
[3.5.14]
z
z
z
z
z
gdzie:
M
ˆ
2
ψ
=
M
ˆ
2
(
1
(
Y
(
ϑ
,
)
+
Y
(
ϑ
,
)
+
Y
(
ϑ
,
))
) ( )
=
1
h =
2
+
0
+
2
2
h
2
[3.5.15]
z
z
3
11
10
1
−
3
3
W takim razie:
ψ
M
ˆ
ϕ
M
ˆ
2
−
M
ˆ
2
ϕ
M
ˆ
ψ
=
i
h
2
h
2
ψ
=
2
i
h
3
[3.5.16]
z
z
z
z
3
3
5
Y
Wartość składowej zetowej momentu pędu jest kwantowana przez liczbę kwantową M i nie zależy od liczby J .
Magnetyczna kwantowa liczba rotacji M może przyjmować w interesujących nas stanach wartości: 1,0,-1. Składowa
zetowa momentu pędu (wzór [W.3.83]) będzie, odpowiednio, przyjmować wartości:
(
(
(
1
ˆ
ˆ
z
ˆ
1
424134879.003.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin