stat06.pdf

(143 KB) Pobierz
6
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
21
6. Średnia energia i średnie ciśnienie gazu doskonałego
Obliczenia przeprowadzimy przy założeniach, że:
energia oddziaływań jest dużo mniejsza od energii kinetycznej;
gaz jest niezdegenerowany, czyli danej konfiguracji odpowiada dokładnie
jeden stan i jedna energia;
cząstki są rozróżnialne, każdą możemy śledzić oddzielnie.
2
2
n
2
n
2
n
2
x
y
z
r
2 L
m
L
2
L
2
2
x
y
z

2
2
n
2
n
2
n
2
funkcja rozdziału: 
Z
exp
x
y
z
2
m
L
2
L
2
L
2
n n
x y
n
z
x
y
z
Powyższą funkcję rozdziału można przedstawić w postaci niezależnych
iloczynów:

2

2
n
2

2
2
n
2
2
2
n
2
x
y
z
Z
exp
-
exp
-
exp
-
2
m
L
2
2
m
L
2
2
m
L
2
n
n
n
x
x
y
y
z
z
Pierwszy czynnik oznaczamy jako Z x
exp n
m

2
2
2
Z
-
x
x
2
L
2
n
x
x
Obliczenia Z x można łatwo wykonać, jeżeli skorzystamy z faktu, że dla
dowolnego zbiornika o rozmiarach makroskopowych, czyli o dużych L x ,
współczynnik przy n x 2 jest bardzo mały (o ile tylko  nie jest duże, czyli jest to
słuszne dla wysokich temperatur).
A zatem kolejne wyrazy tej sumy będą się bardzo mało różnić, czyli z

2
2
n
2
dużym przybliżeniem możemy ją zastąpić całką:
z
exp dn
-
x
x
2
m
L
2
x
1
x
2
podstawiamy zmienne:
u
n
2
m
L
x
x
du
dn
2
m
L
x
x
2
m
L
  
2
m
L
Z
du
x
exp
u
2
du
x
exp
u
2
x

2
http://knujon.prv.pl
21
0
239476971.017.png 239476971.018.png 239476971.019.png 239476971.020.png 239476971.001.png 239476971.002.png 239476971.003.png 239476971.004.png 239476971.005.png
22
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
2
2
m
const
b
Z ;
b
L
x
Z ;
b
L
y
Z
b
L
z
x
y
z
Z
Z
Z
Z
b
3
L
x
L
y
L
x
y
z
3
2
Ostatecznie dla gazu doskonałego w przybliżeniu klasycznym (tj. wysokich
temperatur) otrzymujemy:
Z
b
3
V
3
2
Mając funkcję rozdziału, możemy policzyć średnią energię cząsteczek
gazu:
Z
ln
ln 
Z ln
 
ln
V
3
ln
const b
2
V ;
ln 
3
ln
3
1
; kT
2
1
3
2
2
kT
średnia energia N cząsteczek gazu ( n moli):
E A
2

3
NkT
3
nN
kT
2
3
E 2
nRT
Średnie ciśnienie gazu doskonałego.
Oznaczmy przez F siłę, z jaką działa cząsteczka w kierunku x na prawą
ściankę pudła, w którym gaz jest zamknięty (tzn. ścianę x=L x ). F r – wartość tej
siły dla cząsteczki znajdującej się w określonym stanie kwantowym r , w którym
energia wynosi  r . Przypuśćmy, że przesunęlibyśmy prawą ściankę zbiornika
bardzo powoli w prawą stronę o odcinek d L x . W takim procesie praca, którą
wykonałaby cząsteczka na tej ściance – F r d L x – musiałaby być równa ubytkowi
energii -d r tej cząsteczki.
F
d
L
d
F
r
r
x
r
r
L
x
http://knujon.prv.pl
22
z
3
N
239476971.006.png 239476971.007.png 239476971.008.png 239476971.009.png 239476971.010.png 239476971.011.png 239476971.012.png
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
23
Średnią siłę F wywieraną przez cząsteczkę na ścianę naczynia otrzymamy
uśredniając siłę F r po wszystkich możliwych stanach cząsteczki
F ,  
r
P
r F
r
P
r exp
1 
Z
r
F
1
exp[-

r
1
1
 
exp
 

1
exp[-

}
1
z
1
ln
Z
x
Z
r
L
Z
L
r
Z
L
r
z
L
L


r
x
r
x
x
r
x
x
z
F
1
ln
Z
x
L
x
Pamiętając, że b
ln 
Z ln
 
ln
V
3
ln
3
2
F
x
1
ln
Z
1
ln
V
1
k
B
T
L
L
L
L
x
x
x
x
Dla N cząsteczek wynik musimy pomnożyć przez N
Obliczamy średnie ciśnienie na ściankę naczynia dzieląc siłę przez
powierzchnię S = L y L z
p
N
k
B
T
Nk
B
T
L
L
L
V
y
z
x
Jest to równanie stanu dla niezdegenerowanego gazu doskonałego
http://knujon.prv.pl
23
]
239476971.013.png 239476971.014.png 239476971.015.png 239476971.016.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin