stat04.pdf

(132 KB) Pobierz
4
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
14
4. Układ kontaktujący się termicznie ze zbiornikiem ciepła
(rozkład kanoniczny).
Mamy stosunkowo mały układ A kontaktujący się termicznie z dużo
większym układem A ’ – zbiornikiem ciepła i badamy, jak one się zachowują. Z
makroskopowego punktu widzenia wyrównają się temperatury, ale nas
interesuje mikroskopowy stan układu A : jak będą obsadzane jego stany
kwantowe? Ściślej mówiąc, staramy się określić:
ile w warunkach równowagi wynosi prawdopodobieństwo P r , że układ A
znajduje się w dowolnym stanie r o energii E r ?
A+A ’= A *
E+E ’ =E *
A – jest to każdy układ mający znacznie mniej stopni swobody niż zbiornik
ciepła A ’ (może to być niewielki układ makroskopowy).
P r – prawdopodobieństwo, że układ A jest w stanie o energii E r . Załóżmy, że są
to stany niezdegenerowane, czyli dany stan jest realizowany przez jedną
konfigurację. P r jest proporcjonalne do liczby stanów układu.
. Ale gdy A znajduje się w tym jednym określonym stanie r ,
wtedy liczba stanów połączonego układu A * jest równa
E
' E
E
*
r
.
'
(
E
'
)
(
E
r
)
P
(
E

E
r E
)
'
(
E
'
)
(
E
r
)
'
(
E
'
)
'
(
E
*
)
1
P
r E
'
(
E
*
r
)
Jeżeli
E  , to rozwijamy w szereg Taylora logarytm
r E
*
ln E
E
'
(
E dalsze człony pomijamy
*
E
)
ln
'
(
E
*)
ln
'
r
r
'
ln
E w stanie równowagi
'
'

'
"
czyli
ln
'
(
E
*
E
r E
)
ln
'
(
E
*)
 
E
r
'
(
E
*
E
r
)

'
(
E
*)
exp[
r
]
C
http://www.knujon.prv.pl
14
Jeżeli układ A znajduje się w stanie o energii E r , to energia zbiornika
wynosi
r
239476634.003.png 239476634.004.png
15
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
Rozkład z takim prawdopodobieństwem nazywamy rozkładem kanonicznym:
P
r E
C
exp[ r
]
C- współczynnik proporcjonalności niezależny od r.
Układ w kontakcie cieplnym opisuje tzw. zespołem kanonicznym. Jeżeli układ
może dodatkowo wymieniać cząstki, to do opisu używamy tzw. dużego zespołu
statystycznego (duży rozkład kanoniczny).
P , gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich
możliwych stanach układu A niezależnie od ich energii. C musi spełniać
zależność:
r
1
r
C .
exp[ E
r 1
]
r
E
P
exp[
r
]
A zatem
r
exp[
E
]
r
r
Znajomość rozkładu prawdopodobieństwa pozwala nam bardzo łatwo
wyliczyć wartości średnie wszystkich parametrów charakteryzujących układ A ,
kontaktujący się termicznie ze zbiornikiem ciepła o bezwzględnej temperaturze
T 1
. Niech parametrem takim będzie na przykład jakaś wielkość y ,
przyjmująca w stanie r układu A wartość y r .
exp[
E
r
]
y
r
Wartość średnia y wynosi:
y
P
y
r
.
r
r
exp[
E
]
r
r
r
Dla układu makroskopowego prawdopodobieństwo, że energia układu A
znajdzie się w przedziale E i E +d E wyraża się wzorem:
P
( E
E
)
C
(
E
)
exp[
]
Ponieważ ( E ) jest silnie rosnącą funkcją energii, a czynnik ekspotencjalny jest
silnie malejącą funkcją energii, więc z bardzo dobrym przybli że niem można
uznać, że układ jest dokładnie w stanie określonym przez energię E .
Funkcja rozdziału
http://www.knujon.prv.pl
15
Współczynnik proporcjonalności C można wyznaczyć, korzystając z
warunku normalizacji:
k
239476634.005.png 239476634.006.png
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
16
suma stanów cząsteczki
Z
exp[ E
r ]
r
P
- dla rozkładu kanonicznego
1
exp[
E
]
Z
r
Przykład (średnia energia układu)
E
P
r  
E
1
E
exp[
E
]
1
(
exp[
E
]
r
Z
r
r
Z
r
r
r
z
r


E ln
1
z
Z
Z
 
Jeśli znamy funkcję rozdziału, to można policzyć różne wartości średnie układu.
http://www.knujon.prv.pl
16
239476634.001.png 239476634.002.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin