BUD_czesciTeoretyczne.pdf

Egzaminpoprawkowy,semestr1,2010/2011

Zad1-4pkt Zapisa¢ wzór Taylora dla funkcjiy=f(x). Reszt¦ zapisa¢ odpowiednim wzorem. Nast¦pnie

napisa¢ wzór Maclaurina rz¦du n=1 dla funkcjif(x)=arctgx.

Zad2-4pkt Poda¢ twierdzenie Rolle’a. Czy funkcjaf(x)=(jxj1) 2 spełnia zało»enia twierdzenia Rolle’a

na przedziale[1;1]?

Zad3-4pkt Poda¢ deﬁnicj¦ pochodnej funkcji w punkcie. Wykaza¢, »e funkcjaf(x)= 3 p xnie jest ró»niczkowalna

w punkciex 0 =0.

0x=0

Zad4-4pkt Poda¢ deﬁnicj¦ minimum lokalnego funkcji. Czy funkcjaf(x)=

ma minimum

1x6=0

lokalne?

Zad5-4pkt Poda¢ deﬁnicj¦ ró»niczki funkcji. Korzystaj¡c z ró»niczki obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia

0:99 0:99 .

Egzamin,semestr1,2010/2011

n =0.

Zad2-4pkt Poda¢ i zastosowa¢ twierdzenie Lagrange’a do funkcjif(x)=lnxna przedziale[1;e]. Zas-

tosowa¢, to znaczy wyznaczy¢ punkty o istnieniu których mówi to twierdzenie.

Zad3-4pkt Poda¢ deﬁnicj¦ ró»niczki funkcji. Obliczy¢ w przybli»eniu p 1+(2:1) 3 .

Zad4-4pkt Wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡ funkcjif(x)=arctgxi poda¢ twierdzenie o pochodnej funkcji

odwrotnej, z którego trzeba skorzysta¢.

Zad5-4pkt Poda¢ deﬁnicj¦ funkcji pierwotnej. Wykaza¢, »eF(x)=arcsinx+

1x 2 jest funkcj¡ pierwotn¡

dlaf(x)= 1x

p 1x 2 w pewnym przedziale. Wyznaczy¢ ten przedział.

Egzamin,semestr1,2009/2010

Zad1-5pkt Podaj deﬁnicj¦ funkcji odwrotnej. Czy funkcjaf(x)=e 2x 1posiada funkcj¦ odwrotn¡?

(n+1)! jest malej¡cy.

Zad3-4pkt Podaj deﬁnicj¦ pochodnej funkcji w punkcie. Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcjif(x)= 3 p x.

Zad4-3pkt Podaj deﬁnicj¦ funkcji pierwotnej. Wykaza¢, »eF(x)=arcsinx+

1x 2 jest funkcj¡ pierwotn¡

p 1x 2 w pewnym przedziale. Wyznacz ten przedział.

Zad5-4pkt Napisz deﬁnicj¦ ró»niczki funkcji. Oblicz w przybli»eniu

0:98.

Zad1-4pkt Poda¢ deﬁnicj¦ granicy ci¡gu i w oparciu o ni¡ wykaza¢, »e lim

n!1

Odpowied¹ uzasadnij. Wyznacz t¦ funkcje (podaj jej dziedzin¦ i przecwidziedzin¦).

Zad2-4pkt Podaj deﬁnicj¦ ci¡gu malej¡cego. Uzasadnij, »e ci¡ga n = 2 n

dlaf(x)= 1x