06. Całki potrójne.pdf

(135 KB) Pobierz
Całki potrójne
CAŁKI POTRÓJNE
Dany jest prostopadłościan P zwarty w
R
3
,
a
x
b
P :
c
y
d
p
z
q
oraz funkcja f ,
f :
P
R
f – ograniczona.
Dla dowolnego wyznaczamy podział prostopadłościanu P
- P dzielimy na n prostopadłościanów o objętościach gdzie k=1,...,n
- dla k=1,...,n wyznaczamy długość przekątnej prostopadłościanu
- wybieramy maksymalną z długości przekątnych i oznaczamy
n
N
n
P
V
,
d
P
k
,
n
n
:
max
d
k
k
,...,
n
- średnica podziału
n
W ten sposób utworzyliśmy ciąg podziałów prostopadłościanu P.
Następnie
- zakładamy, że ciąg jest ciągiem normalnym podziałów, gdzie
- ciąg normalny podziałów :
 
n
 
n
n
  N
n
n
lim 
n
0
.
- dla każdego k=1,...,n wybieramy punkt i tworzymy sumę całkową
A
k
P
k
,
A
k
 
x
k
,
y
k
,
z
k
S
n
,
n
1
  k
S
n
:
f
x
k
,
y
k
,
z
k
V
k
z
q
P
P k
p
d k
A k
c
d
a
y
b
x
1
n
n
35153287.031.png 35153287.032.png 35153287.033.png 35153287.034.png 35153287.001.png 35153287.002.png 35153287.003.png 35153287.004.png 35153287.005.png 35153287.006.png 35153287.007.png 35153287.008.png 35153287.009.png 35153287.010.png 35153287.011.png 35153287.012.png 35153287.013.png
Definicja ( całki potrójnej )
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P, ciąg sum cząstkowych
jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów A k , to tę granicę
nazywamy całką potrójną funkcji f w prostopadłościanie P i oznaczamy
  n
n

P
f
  ,
x
,
y
,
z
dV
 

f
x
,
y
,
z
dV
:
lim
n
0
S
n
.
Uwaga
Jeśli funkcja ograniczona f jest ciągła poza zbiorem miary zero ( zbiór miary zero w R 3 to taki zbiór,
który można pokryć skończoną liczbą prostopadłościanów, których suma objętości jest dowolnie
mała (czyli mniejsza niż ε )), to funkcja f jest całkowalna w prostopadłościanie P.
P
Interpretacja geometryczna
f
 
x
,
y
,
z
1

dV
V
P
- objętość prostopadłościanu P.
P
Interpetacja fizyczna
1. - gęstość objętościowa masy prostopadłościanu P
- masa prostopadłościanu P.
 
x ,
,
y
z

 
x ,
,
y
z
dV
P
2. - gęstość objętościowa ładunku elektrycznego prostopadłościanu P
- całkowity ładunek elektryczny zgromadzony w P.
 
x ,
,
y
z
 

x ,
,
y
z
dV
P
Własności całki potrójnej
Całka potrójna ma własności analogiczne jak całka podwójna (liniowość, addywność,
ograniczoność).
Twierdzenie ( całkowe o wartości średniej )
Jeśli
f – ciągła w prostopadłościanie P,
to
-objętość prostopadłościanu P.
c
P
:
f
(
c
)
V
P

f
 
x
,
y
,
x
dV
,
gdzie
V
P
P
Twierdzenie ( o zamianie całki potrójnej na cąłkę iterowaną )
Jeśli
P
      ,
a
,
b
c
,
d
p
,
q
f
C
( P
)
,
to
b
d
q
 
 

f
x
,
y
,
z
dV
  
f
x
,
y
,
z
dz
dy
dx
P
a
c
p
oraz prawdziwe są analogiczne wzory dla pozostałych pięciu całek iterowanych.
Oznaczenia
b
d
q
ozn
.
b
d
q
 
 
  
f
x
,
y
,
z
dz
dy
dx
dx
dy
f
x
,
y
,
z
dz
a
c
p
a
c
p
dV
ozn
.
dxdydz

f
 
x
,
y
,
z
dV
ozn
.

f
  dxdydz
x
,
y
,
z
P
P
2
S
35153287.014.png 35153287.015.png 35153287.016.png
Rozszerzmy teraz definicję całki na całkę potrójna w obszarze normalnym.
Całka potrójna po obszarze normalnym
Obszar dom k nięty określony nierównościami
   ,
:
x
,
y
z
x
,
y
gdzie
 
D
,
D
obszar
regularny,
D
OXY
,
,
C
 
D
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
z
q
z=Ψ(x,y)
p
_
Ω
z=φ(x,y)
c
d
a
y
b
D
← najmniejszy
prostokąt
zawierający D
x
Analogicznie określamy obszar normalny względem płaszczyzny OYZ oraz względem OXZ.
Niech -obszar normalny względem płaszczyzny OXY ,
  .
f
C
Aby wyznaczyć całkę z funkcji f w obszarze umieszczamy ten obszar w najmniejszym
prostopadłościanie
      gdzie
P
a
,
b
c
,
d
p,
q
,
a
:
inf
x
D
b
:
sup
x
D
c
:
inf
y
D
d
:
sup
y
D
p
 
inf
 
x
,
y
x
,
y
D
  ,
q
:
sup
x
,
y
 
,
y
D
  .
Zatem
P
i
f
C
3
x,y
:
x
35153287.017.png 35153287.018.png 35153287.019.png 35153287.020.png 35153287.021.png 35153287.022.png 35153287.023.png 35153287.024.png
 
Definiujemy nową funkcję:
f
*
 
x
,
y
,
z
f
   
 
x
,
y
,
z
dla
x
,
y
,
z
,
0
dla
x
,
y
,
z
P
\
,
funkcja f* jest ciągła ewentualnie poza zbiorem miary zero (może być nieciągła na powierzchniach:
z=φ(x,y) , z=ψ(x,y) )
f* -całkowalna w prostopadłościanie P.
Zatem możemy zdefiniować

f
 
x
,
y
,
z
dxdydz
:

f
*
 

x
,
y
,
z
dxdydz

całka potrójna, dla której możemy
zastosować tw. o zamianie całki
na całkę iterowaną
i otrzymujemy wzór
*
tw
.
b
d
q
*

f
 
x
,
y
,
z
dxdydz
dx
dy
f
 
,
y
,
z
dz
P
a
c
p
Jednakże dla dowolnych (x,y) należących do rzutu prostopadłościanu P na płaszczyznę 0XY,
P
XY
P XY
    mamy
a
, d
b
c
,
 
x
,
y
   
q
f
x
,
y
,
z
dz
,
gdy
x
,
y
D
,
*
 
f
x
,
y
,
z
dz
 
x
,
y
p
 
0
,
gdy
x
,
y
P
\
D
.
xy
Stąd
 
x
,
y
 
 

f
x
,
y
,
z
dxdydz
 
f
x
,
y
,
z
dz
dxdy
.
D
 
x
,
y
Podobnie prawdziwe są analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych
względem pozostałych płaszczyzn układy 0XYZ.
Wniosek
Jeśli
a
x
b
   
   
:
x
y
x
x
,
y
z
x
,
y
to
b
(
x
)
 
x
,
y
 
 

f
x
,
y
,
z
dxdydz
dx
dy
f
x
,
y
,
z
dz
.
a
(
x
)
 
x
,
y
4
x
35153287.025.png 35153287.026.png 35153287.027.png
Wprowadźmy jeszcze jeden wzór na całę potrójną w obszarze normalnym. będzie
obszarem regularnym otrzymanym z rzutowania przekroju obszaru płaszczyzną z= const .
Niech
D
z
z
z= const
Ω
y
D
P
D z
x
XY
Wtedy dla dowolnego
z
  mamy
p
, q
f
*
 
x
,
y
,
z
f
   
 
x
,
y
,
z
,
gdy
x
,
y
D
z
,
0
,
gdy
x
,
y
P
\
D
XY
z
stąd
d
b
*
dy
f
   
x
,
y
,
z
dx

f
x
,
y
,
z
dxdy
c
a
D
z
a zatem
q

f
 
x
,
y
,
z
dxdydz
dz

f
  .
x
,
y
,
z
dxdy
p
D
z
Definicja ( obszaru normalnego )
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu OXYZ o parami
rozłąc zny ch w nęt rza ch nazy wa my obs za rem regularnym w przestrzeni.
Niech
1
2
...
n
, tzn.
i
obszar
normalny
dla
 .
1
n
obszar obszary normalne o parami
regularny rozłącznych wnętrzech
Wtedy definiujemy
 

n
 

f
x
,
y
,
z
dxdydz
:
f
x
,
y
,
z
dxdydz
i
1
i
suma całek po obszarach normalnych
Uwaga
Całki po obszarch regularnych mają te same własności co całki po prostopadłościanach
(addywność, liniowość, ograniczoność).
opracowali Marcin Uszko i Mateusz Targosz
5
i ,
35153287.028.png 35153287.029.png 35153287.030.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin