2przestrzenie zwarte.pdf

Przestrzenie zwarte

Niech X – przestrzeń metryczna oraz niech E ⊂ X .

Definicja

Zbiór E nazywamy zwartym ( ciągowo zwartym ), jeśli

∀ x n  n ∈ℕ ⊂ E ∃ x n k  k ∈ℕ : lim

k ∞

x n k ∈ E.

i piszemy E ∈ Comp X .

Definicja

Przestrzeń metrycznną (X,d) nazywamy przestrzenią zwartą , jeśli X jest zbiorem zwartym.

Pr zykł a d

1) ∅ - zbiór zwarty

2) Zbiorem zwartym jest każdy zbiór skończony

Twierdzenie

Niech

K n - przestrzeń metryczna ze standardową metryką,

E ⊂ K n .

Wtedy

E ∈ Comp K n ⇔ E − domknięty i ograniczony.

Twierdzenie

Niech

 X,d − przestrzeń metryczna,

E ⊂ X ,

U j ∈ TopX dla j ∈ J .

Wtedy

E ∈ Comp X ⇔ [ E ⊂∪ j ∈ J U j ⇒ ∃ { j 1 , ... ,j r } ⊂ J : E ⊂ U j 1 ∪...∪ U j u ]

(z każdego pokrycia zbioru E zbiorami otwartymi można wybrać

podpokrycie skończone)

Twierdzenie (o zachowaniu zwartości)

} ⇒ f [ E ]− zwarty,

tzn. obraz ciągły zbioru zwartego jest zwarty.

- 1 -

X,Y − przestrzenie metryczne

E − zwarty w X

f ∈ C  X 

Dowód

Niech  y n  n ∈ℕ ⊂ f [ E ].

Wtedy ∀ n ∈ℕ wybieramy x n ∈ f −1 [{ y n }] ∈ E .

Stąd

 x n  n ∈ℕ ⊂ E ⇒



E - zwarty

∃ x n k  k ∈ℕ ⊂ x n  n ∈ℕ : lim

k ∞

x n k ∈ E ⇒

f − ciągłe

lim

k ∞

f  x n k ∈ f [ E ]

Wniosek (twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów)

} ⇒ ∃ a,b ∈ X : {

f  a = inf{ f  x  : x ∈ X }

f  b = sup{ f  x  : x ∈ X }

- 2 -

X ∈ Comp

f:X ℝ

f ∈ C  X 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: