Rozdz_8A.pdf
(
142 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 37
8. RìWNANIA RUCHU PýYNìW LEPKICH
8.1. ZwiĢzek miħdzy naprħŇeniami i odksztaþceniami
RozwaŇajĢc ruch pþynu rzeczywistego musimy uwzglħdnię siþy powierzchniowe
spowodowane wystħpowaniem lepkoĻci pþynu. Wpþyw lepkoĻci przejawia siħ nie
tylko przez powstawanie naprħŇeı stycznych (rozdz.1.3), ale takŇe przez zmianħ
wielkoĻci naprħŇeı normalnych, w porwnaniu z ich wartoĻciami w przypadku ruchu
pþynu doskonaþego.
Rys. 8.1
, (rys. 8.1). Na kaŇdĢ Ļciankħ
tego elementu dziaþa ciĻnienie statyczne oraz trzy skþadowe naprħŇenia: jedna nor-
malna i dwie styczne. NaprħŇenie normalne powstaþe w wyniku ruchu pþynu i dziaþa-
xd ,
d
y
d
209
W celu okreĻlenia stanu naprħŇenia w punkcie wytniemy z poruszajĢcego siħ
pþynu prostopadþoĻcienny element o bokach z
nia siþ lepkoĻci oznaczamy przez s, a styczne przez t. KaŇdy symbol naprħŇenia
zaopatrzony jest w dwa indeksy: pierwszy oznacza kierunek normalny do rozpatry-
wanej powierzchni, drugi zaĻ kierunek osi, na ktrĢ rzutowana jest dana skþadowa.
Stan naprħŇeı w pþynie lepkim okreĻla wiħc ciĻnienie p i dziewiħę funkcji skalar-
nych:
s
x
x
,
t
x
y
,
t
x
z
,
Í
Û
t
y
x
,
s
y
y
,
t
y
z
,
(8.1)
Í
Ü
t
z
x
,
t
z
y
,
s
z
z
.
Í
Napiszemy rwnanie momentw siþ dziaþajĢcych na rozwaŇany elementarny
prostopadþoĻcian wzglħdem osi rwnolegþej do osi y i przechodzĢcej przez Ļrodek S
prostopadþoĻcianu (rys. 8.2). Otrzymamy
Ç
Å
Æ
t
z
x
Õ
Ö
×
d
z
Ç
Å
Æ
t
x
z
Õ
Ö
×
d
x
È
É
t
+
t
+
d
z
Ø
Ù
d
x
d
y
-
È
É
t
+
t
+
d
x
Ø
Ù
d
y
d
z
=
0
.
z
x
z
x
z
2
x
z
x
z
x
2
È
Ø
È
Ø
W granicy, gdy wymiary elementu dĢŇĢ do zera, uzyskamy zaleŇnoĻę
t
z
x
=
t
x
z
.
(8.2)
W analogiczny sposb moŇna wykazaę rwnieŇ rwnoĻę pozostaþych dwu par
naprħŇeı stycznych:
t
y
x
=
t
x
y
,
t
y
z
=
t
z
y
;
(8.3)
niezaleŇnych jest wiħc tylko szeĻę skþadowych naprħŇeı (8.1).
Rys. 8.2
*
210
Ú
Ä
Ô
Ä
Ô
UoglniajĢc wzr Newtona (1.6) okreĻlimy obecnie wielkoĻci naprħŇeı stycz-
nych, jako proporcjonalnych do odpowiednich prħdkoĻci odksztaþceı kĢtowych
elementu pþynu. Na podstawie wzoru (3.28) mamy
t
=
t
=
m
Å
Æ
V
z
+
V
y
Õ
Ö
=
2
x
m
q
,
(8.4)
y
z
z
y
y
z
gdyŇ odksztaþcenie elementu przedstawionego na rys. 3.4 zostaþo spowodowane
dziaþaniem pary naprħŇeı stycznych:
t , (rys. 8.3).
y
z
t
z
y
Rys. 8.3
Pozostaþe naprħŇenia styczne wyraŇajĢ siħ wzorami:
t
=
t
=
m
Å
Æ
V
z
+
V
x
Õ
Ö
=
2
m
q
,
Ú
Í
Û
z
x
x
z
x
z
y
(8.5)
V
Ä
Ô
V
Í
t
=
t
=
m
Å
Æ
y
+
x
Õ
Ö
=
2
m
q
.
Í
x
y
y
x
x
y
z
Ü
W celu wyznaczenia naprħŇeı normalnych za pomocĢ prħdkoĻci odksztaþceı
postaciowych i prħdkoĻci odksztaþceı objħtoĻciowych (3.25) rozwaŇymy rwnowagħ
elementu w ksztaþcie klina (rys. 8.4), pomijajĢc siþy masowe i siþy bezwþadnoĻci jako
wielkoĻci proporcjonalne do objħtoĻci elementu (rozdz. 2.1).
W rozdziale 2.1 udowodniliĻmy, Ňe siþy pochodzĢce od ciĻnienia statycznego sĢ
ze sobĢ w rwnowadze; wynika stĢd, Ňe rwnieŇ siþy powierzchniowe spowodowane
wystħpowaniem lepkoĻci pþynu muszĢ byę ze sobĢ w rwnowadze. PiszĢc rwnania
rzutw tych siþ na kierunki osi x oraz z
:
s
x
x
d
y
d
z
-
t
z
x
d
x
d
y
-
s
n
n
d
y
d
s
sin
a
+
t
n
s
d
y
d
s
cos
a
=
0
,
211
Ä
Ô
Ä
Ô
Rys. 8.4
-
s
z
d
x
d
y
-
t
x
z
d
z
d
y
+
s
n
n
d
y
d
s
cos
a
+
t
n
s
d
y
d
s
sin
a
=
0
,
po wykorzystaniu wzoru (8.2) i zaleŇnoĻci:
d
x
=
d
s
cos
a
,
d
z
=
d
s
sin
a
otrzymujemy ukþad rwnaı:
(
s
x
x
-
s
n
n
)
sin
a
-
(
t
x
z
-
t
n
s
)
cos
a
=
0
,
-
(
s
z
z
-
s
n
n
)
cos
a
+
(
t
x
z
+
t
n
s
)
sin
a
=
0
,
z ktrego obliczamy
t
=
t
cos
2
a
-
1
(
s
-
s
)
sin
2
a
.
(8.6)
n
s
x
z
2
x
x
z
z
NaprħŇenie styczne
s
t
n
zapisujemy w postaci analogicznej do wzorw (8.4) (8.5)
t
=
m
Å
Æ
V
s
n
+
V
Õ
Ö
.
(8.7)
n
s
s
n
WykorzystujĢc zaleŇnoĻci pomiħdzy odpowiednimi wspþrzħdnymi i prħdkoĻciami
w ukþadzie )
x i ukþadzie obrconym :
( n
s
,
)
x
=
s
cos
a
-
n
sin
a
,
z
=
s
sin
a
+
n
cos
a
,
V
s
=
V
x
cos
a
+
V
z
sin
a
,
V
n
=
-
V
x
sin
a
+
V
z
cos
a
,
obliczamy pochodne:
212
z
Ä
Ô
( z
,
V
n
=
V
n
x
+
V
n
z
=
s
x
s
z
s
=
1
Å
Æ
-
V
x
+
V
z
Õ
Ö
sin
2
a
+
V
z
cos
2
a
-
V
x
sin
2
a
,
2
x
z
x
z
V
s
=
V
s
x
+
V
s
z
=
n
x
n
z
n
=
1
Å
Æ
-
V
x
+
V
z
Õ
Ö
sin
2
a
+
V
x
cos
2
a
-
V
z
sin
2
a
2
x
z
z
x
i po ich podstawieniu do (8.7) otrzymujemy
t
=
m
È
É
Å
Æ
V
z
+
V
x
Õ
Ö
cos
2
a
-
Å
Æ
V
x
-
V
z
Õ
Ö
sin
2
a
Ø
Ù
. (8.8)
n
s
x
z
x
z
Z porwnania wzorw (8.6) i (8.8) uzyskujemy zwiĢzek
s
-
s
=
2
m
Å
Æ
V
x
-
V
z
Õ
Ö
,
x
x
z
z
x
z
ktry moŇemy przepisaę w nastħpujĢcej postaci uoglnionej
s
-
2
m
V
x
=
s
-
2
m
V
y
=
s
-
2
m
V
z
=
C
.
(8.9)
x
x
x
y
y
y
z
z
z
Z zsumowania powyŇszych rwnoĻci stronami wynika wzr na staþĢ C
C
=
-
2
m
div
V
C
,
(8.10)
3
div jest wielkoĻciĢ niezaleŇnĢ od przyjħtego ukþadu wspþ-
rzħdnych (wyraŇa prħdkoĻę wzglħdnego przyrostu objħtoĻci) musi znikaę Ļrednia
wartoĻę normalnych naprħŇeı lepkich
s poniewaŇ ciĻnienie
statyczne
p
przyjħliĻmy juŇ jako funkcjħ skalarnĢ charakteryzujĢcĢ stan naprħŇeı
w pþynie lepkim.
PodstawiajĢc wartoĻci staþej C do zaleŇnoĻci (8.9) wyznaczymy naprħŇenia nor-
malne
(
x
x
+
s
y
y
+
s
z
z
)
3
,
s
=
2
m
V
x
-
2
m
div
V
C
,
(8.11)
x
x
x
3
213
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ç
×
Ä
Ô
gdyŇ wobec faktu, Ňe V
C
Plik z chomika:
Lilamayi
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_4B.pdf
(122 KB)
Rozdz_7C.pdf
(109 KB)
Rozdz_7D.pdf
(82 KB)
Rozdz_7E.pdf
(153 KB)
Rozdz_8A.pdf
(142 KB)
Inne foldery tego chomika:
hydromechanika
Mechanika płynów
Mechanika płynów 2
Mechanika Płynów 3
Mechanika płynów i Hydraulika
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin